コミュニケーションの複雑さ…クラス？

議論：

私は最近、複雑なコミュニケーションのさまざまなことを学ぶために個人的な時間を費やしてきました。たとえば、私はアローラ/バラクの関連する章に再び精通し、いくつかの論文を読み始め、Kushilevitz / Nisanに本を注文しました。直感的に、通信の複雑さと計算の複雑さを対比したいと思います。そして、特に、計算の複雑さが、計算の問題を複雑なクラスに分類する豊富な理論に発展したという事実に驚いています。その一部は、次の完全な問題に関して（少なくとも1つの観点から）想定することができます。各クラス。たとえば、N Pを説明するとき$NP$ 初めて誰かに、SATや他のNP完全な問題との比較を避けるのは難しいです。

それに比べて、コミュニケーションの複雑さのクラスに類似した概念を聞いたことはありません。「定理に完全な」問題について、私が知っている多くの例があります。例えば、一般的なフレームワークとして、著者らは、所与の通信の問題について説明かもしれない、次いで、関連定理ことを証明保持する、通信の問題がで解決することができるまたはいくつかのために少ないビット（特定の定理/問題に依存します問題のペア）。文学で使用される用語は、PがTに対して「完全」であるということです。T i f f X $P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

さらに、Arora / Barakの通信の複雑さの章のドラフト（最終印刷で削除/調整されたと思われる）には、「一般に、、c o N Pに類似した通信プロトコルを検討できます。、P Hなど」ただし、次の2つの重要な欠落があります。$NP$$coNP$$PH$

1. 「類似の」概念は、さまざまなタイプのリソースへのアクセスで特定のプロトコルを解決する通信の複雑さを計算する方法のように見えますが、適切な通信の複雑さのクラスを定義するだけでは終わりません。
2. 通信の複雑さのほとんどは、結果/定理などの圧倒的多数が意味するという意味で、比較的「低レベル」であるようです。小さな、特定の、多項式サイズの値を中心に展開します。これは、たとえば、なぜが計算にとって興味深いのかという疑問を招きますが、類似の概念は通信にとってそれほど面白くないようです。（もちろん、単に「高度な」通信の複雑さの概念に気付いていないというだけのせいかもしれません。） $NEXP$

質問：

通信の複雑さのための計算の複雑さのクラスに類似した概念はありますか？

そして：

もしそうなら、複雑度クラスの「標準」概念とどのように比較しますか？（たとえば、「通信の複雑さのクラス」に自然な制限があり、本質的にすべての計算の複雑さのクラスに足りない場合）通信の複雑さのために？

このペーパーを探しているようです：http : //portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

コミュニケーションの複雑さにおける複雑さのクラスは、Noamが引用した論文でBabai、Frankl、Simonによって紹介されました。この論文はまた、適切な削減のもとで完全性の概念を発展させます。たとえば、クラスNPおよびco-NPを記述する場合、（co-NP完全な）素性問題も記述することは非常に理にかなっています。

あなたの2番目の質問に関して、Pが（通信の複雑さで）決定的にpolylog（n）通信で解決可能な問題のクラスである場合、クラスEXPは単にすべてであるpoly（n）通信で解決可能な問題のセットでなければなりません したがって、このようなクラスは面白くないようです。

ただし、より大きなクラスを取得する別の方法があります。すでにPSPACEが定義されている（Babai et al。による）スペースの概念ではなく、交替の観点から定義されています。インタラクティブな証明は、大きな複雑さのクラスを取得する別の方法です。したがって、クラスMIPは、2人の証明者（互いに話すことができない）と2つの検証者（互いに話すことができ、証明者と話すことができる）のコミュニケーションゲームで解決できる問題のセットとして定義できます。

チューリングマシンの世界では、MIP = NEXPですが、通信の複雑さ（NEXPが意味をなさない場合）はどうでしょうか。まず、MIPは単純なカウント引数によるすべての問題の集合ではありません。

アンドリュー・ドラッカー（修士論文）は、このクラスについて興味深いことを示しました。彼は、PCPの通信の複雑さを考慮します。これは（標準的な手法により）MIPプロトコルと同等です（その結果は、ここで述べたものよりも少し強力です）。

彼が示しているのは、NP（チューリングマシンクラス）のすべての問題と入力を分割する任意の方法について、結果の通信問題には通信polylog（n）を持つMIPプロトコルがあります（つまり、問題は（通信の複雑さ）クラスMIP）。

したがって、MIPはすべてではありませんが、MIPにない明示的な問題を見つけるのは難しいはずです（NPにない問題を見つけることができないからではなく、チューリングマシンの複雑さがどのように作用するか想像するのは簡単ではないからです） ）。

AMプロトコルの下限を証明する方法すら知らないので、MIPの下限を表示するのは難しいかもしれません。

複雑動物園のセクションでは、最も重要なコミュニケーション複雑性クラスを示します。

通信の複雑さにこのような制限がある根本的な理由は、通信する必要がある情報（入力）が直線的な量しか存在しないことです。Hartmut Klauckは彼の答えで本質的にこれをすでに指摘していましたが、この根本的な制限の根本的な理由、つまりプレイヤーが計算上無制限であるという他のOQへの答えを強調したかったのです。

「より高い」コミュニケーションクラスを検討する場合、（代わりに）見るべき自然なことは、コミュニケーション/計算の複雑さを組み合わせたものであり、人々は間違いなく認識しており、さまざまな装いで研究されていますが、実際にはそうではありません体系的に研究した。たとえば、インタラクティブな証明の研究では、プレイヤーの計算上の制限の影響を考慮することが一般的ですが、通信されるビットの総数を考慮することはそれほど一般的ではありません。後者は、PCPの研究でより一般的であり、たとえば、ポリサイズのPCPは$d(n)$ クエリのみが必要 $O(d(n)\log n)$通信するビット。いつ$d(n)=O(1)$、その逆も本質的に真実だと思うので、PCPのクエリの複雑さは、通信/計算の複雑さのこの問題に密接に関連しています。