「ほぼ簡単な」NP完全問題

ほとんどすべての入力でを正しく決定する多項式時間アルゴリズムがある場合、言語はP密度に近いとしましょう。 $L$ $L$

つまり、 Pがあり、が消滅します。つまり、また、一様なランダム入力では、のポリタイムアルゴリズムが1に近い確率での正しい答えを与えることを意味します。したがって、を表示することはほとんど簡単です。 $A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

ことを注意 $L\Delta A$ スパースである必要はありません。たとえば、 $2^{n/2}$ $n$ ビットの文字列がある場合、であるため、（指数関数的レートで）まだ消えています。 $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$ 。

上記の定義に従って、P-密度に近いNP完全問題を（人工的に）構築することは難しくありません。たとえば、を任意のNP完全言語とし、を定義します。次に、はNP完全性を保持しますが、最大でビットのyesインスタンスを持ちます。したがって、すべての入力に対して「いいえ」と答える簡単なアルゴリズムは、ほぼすべての入力でを正しく決定します。ビット入力の分数でのみエラーが発生します。 $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

一方、NP完全問題がすべて P密度に近い場合は、非常に驚くべきことです。ある意味で、すべてのNP完全問題はほとんど簡単であることを意味します。これが質問の動機です。

P $\neq$ NPを仮定します。これは、 P -density-close ではない自然な NP完全な問題です。

— アンドラス・ファラゴ
ソース

以来Heuristicaが除外されていない、P≠NPの問題はPにほとんどないことを意味することが知られているため、必ずしも天然ではないという問題もありません

通信後の問題は良い候補問題だと思います。一様にランダムなインスタンスに対しても困難であるため、平均的なケースでは困難です。

— モハマドアルトルコ

参考：命名法の選択は自然ですが、一部の既存の命名法と矛盾します：クラスAlmost-Pは、がメジャー1である言語Lで構成されます。定義のスパースバージョンが既に使用されており、他のいくつかのアイデアと関連があることを知ってください。P-closeを参照してください。P-closeの定義を考えると、おそらく概念の良い名前はP-density-close、またはP-close-enoughです:)。

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— ジョシュアグロチョフ

一方、「グラフの色付け」決定問題は、おそらくそのような問題の候補です。

$\;$

これが正しい定義だとは思いません。の密度が消失すると、実際の困難さに関係なく、些細な言語を介して「ほぼ簡単」になります。しかし、単にエンコーディングのために、密度がゼロではないアルファベットで自然なハード言語を示すことは困難です。交差点は、すべての文字列ではなく、サイズ有効な入力（したがって、これは約束の問題です）とは異なりますか？それ以外の場合、これは主に質問に答える必要があります：密度が消えないNPハード言語のブールエンコーディングがありますか？

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— アンドラスサラモン

複雑性理論に一般に受け入れられている仮説があるかどうかを調べました。これは、ほぼすべての入力（問題で定義されている）で多項式時間で受け入れられないNP完全言語が存在する必要があることを意味します。

興味深いことに、最も「標準的な」仮説はそれを暗示していないようです。つまり、P NP、P BPP、 NP coNP、E NE、EXP NEXP、NP PSPACE、 NP EXPから（何かを見落としていなければ）従わないようです。NP P / poly、PHは崩壊しません、など。 $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

一方、私は、わずかに標準的ではない仮説を見つけました。これは、自然ではないものの、求められているNP完全問題の存在を暗示しています。リソース制限メジャーの理論では、基本的な仮説は、NPには NPで示されるメジャーゼロがないことです。非公式には、これはE内のNP言語が無視できるサブセットを形成しないことを意味します。詳細については、こちらの調査をご覧ください。この理論では、 NPがP $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ $)\neq 0$ 中-bi-免疫言語NP。もその補数もPに無限のサブセットがない場合、言語はP -bi-immuneです。このような言語は、強力な方法で要件を満たします。 $L$ $L$

ただし、自然な問題を表す例が存在するかどうかは依然として不明です。

— アンドラス・ファラゴ
ソース

バイ免疫もあるくらいのあなたの状態よりも強く、そして「ほとんどすべて」「全てが、有限個のために」、すなわち構造的な複雑性理論、中のより一般的な使用法に関連している...

— ジョシュアGrochow

@JoshuaGrochow同意しますが、ある意味でP-bi-immunityは強すぎる 難治性を意味するようです。自然なNP完全問題では発生しないようです。「ほとんどどこにでも」手に負えないNP完全言語が存在するための条件を提供するだけの結果が得られないことは、私にとって驚くべきことです。「ほとんどすべての場所で」とは、「限りなくほとんどすべて」という条件が、「ほとんどすべてではない」という条件に置き換わることを意味します。それは実際に実際に遭遇することにより良く関連するかもしれません。

— アンドラスファラゴ

NPはp測定可能なことが知られていますか？

@RickyDemer私の知る限り、NPがp測定可能かどうかは不明です。

— アンドラスファラゴ