準多項式時間には自然な問題がありますが、多項式時間にはありませんか？

LászlóBabaiは最近、グラフ同型問題が準多項式時間にあることを証明 しました。シカゴ大学での 彼の講演もご覧ください。 ジェレミー・クンによる講演からの コメントGLL post 1、 GLL post 2、 GLL post 3。

場合ラドナーの定理によると、$P \neq NP$、その後、$NPI$空になっていない、つまり$NP$どちらにある問題含ま$P$も$NP$ -completeを。しかし、ラドナーによって構築された言語は人工的なものであり、自然な問題ではありません。P ≠ N Pの 下で条件付きで$NPI$することが知られている自然な問題はありません。ただし、ファクタリング整数やGIなど、一部の問題はN P Iの適切な候補と考えられています。$P \neq NP$$NPI$

$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

準多項式時間アルゴリズムを知っている問題がいくつかありますが、多項式時間アルゴリズムは知られていません。このような問題は、近似アルゴリズムで発生します。有名な例は有向シュタイナー木問題で、 （は頂点の数近似比を達成する準多項式時間近似アルゴリズムがあり。ただし、このような多項式時間アルゴリズムの存在を示すことは未解決の問題です。$O(\log^3 n)$$n$

私の質問：

ではあるがではない自然な問題を知っていますか？$QP$$P$

実際、主に指数時間仮説に基づいて、計算問題の準多項式実行時間の下限を証明する最近の研究が非常に多くあります。私が非常に自然だと思う問題の結果をいくつか示します（以下の結果はすべてETHを条件としています）。

• アーロンソン、インパリアッツォ、およびモシュコヴィッツ[1]は、密な制約充足問題（CSP）の準多項式時間の下限を示しています。ドメインが小さい場合はPTASを持つことが知られているため、このペーパーでCSPを定義する方法により、ドメインを多項式的に大きくすることができます。

• Braverman、KOおよびワインスタイン[2]下部見つけるための結合準多項式時間証明 -ベストεリプトンらのアルゴリズム[3]を一致-approximateナッシュ均衡を、。$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman、コ、ルービンシュタインとワインスタインは、[4]は最も密な近似する下限準多項式時間を示している完全完全と-subgraph（すなわち含まグラフ所与のk -cliqueを、サイズのサブグラフ見つかっKである（1 - ϵ ）いくつかの小さな定数の場合は高密度ϵ）。繰り返しますが、問題には準多項式時間アルゴリズムがあります（Feige and Seltser [5]）。$k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

参照資料

1. AMと複数のマーリン。計算複雑性（CCC）、2014 IEEE 29th Conference on、44〜55ページ、2014年6月。

2. マーク・ブレイバーマン、ヤング・クン・コ、オムリ・ワインスタイン。 -time で最良のナッシュ平衡を近似すると、指数時間仮説が破られます。第26回離散アルゴリズムに関する第26回ACM-SIAMシンポジウムの議事録、SODA '15、970〜982ページ。SIAM、2015年。$n^{o(log n)}$

3. リチャード・J・リプトン、エヴァンジェロス・マルカキス、アランヤク・メタ。シンプルな戦略を使用して大規模なゲームをプレイします。電子商取引に関する第4回ACM会議の議事録、EC '03、36〜41ページ、ニューヨーク、ニューヨーク、米国、2003年。ACM。

4. Mark Braverman、Young Kun-Ko、Aviad Rubinstein、およびOmri Weinstein。Densest- 完全な完全性を持つサブグラフのETH硬度。計算量に関する電子コロキウム（ECCC）、22：74、2015年。$k$

5. U.フェイジュとM.セルツァー。最も密なサブグラフ問題について。テクニカルレポート、1997。$k$

MegiddoとVishkinは、トーナメントの最小支配セットがであることを証明しました。彼らは、SATが準指数時間アルゴリズムを持っている場合、トーナメント支配セットがP時間アルゴリズムを持っていることを示しました。したがって、トーナメント支配セットの問題は、ETHが偽でない限り、Pにはなりません。$QP$$P$

指数関数的時間仮説は、トーナメント支配集合が多項式時間アルゴリズムを持つことができず、完全$NP$であることができないことを同時に意味することに注意することは非常に興味深いです。言い換えれば、ETHはトーナメント支配セットが中間にあることを意味します。$NP$

Woegingerは、準多項式時間で解ける候補問題を提案し、おそらく多項式時間アルゴリズムを持たない：整数が与えられた場合、合計が0になるそれらの対数nを選択できますか？$n$$\log n$$0$

VC次元の計算は、多項式時間では考えられませんが、準多項式時間アルゴリズムがあります。

また、ランダムグラフでサイズ植えられたクリークを検出するのは難しいようですが、準多項式時間で見つけることができます。ただし、この約束の問題の性質は他の言及した問題とは多少異なります。$O(\log n)$

指数時間仮説が正しい場合（またはより弱いバージョンでも）、多項式時間の変数のポリグログ数を持つインスタンスの3SATを解くことはできません。もちろん、準多項式時間はそのようなインスタンスを簡単に解決できます。

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

パリティゲームの解決は最近QPにあることが示されています：https : //www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

パリティゲームは、LTL合成や$\mu$計算の充足可能性など、多くの正式な検証コンテキストで自然に発生します。

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

しかし、上記の最近の論文はQPに大きく飛躍しました。これらのゲームがPであるかどうかはまだ不明です。

古典的アルゴリズム、相関崩壊、及び量子多体系の分配関数の複素零点アラムハロー、サイードMehraban、およびメディSoleimanifarによって

熱相転移点を超える温度での量子多体系の分配関数を推定する準多項式時間古典アルゴリズム

提示されます。

ここでは、質問の「多項式時間ではない」部分についてはあまり言えません。以前の研究の履歴を考えると、多項式時間アルゴリズムが後で見つかる可能性が高くなります。以下を参照してください。

「パーティション関数の推定」と近似アルゴリズムの関係は？前の作品（p。11）：

パーティション関数を推定するための最近の概念的に異なるアプローチがあり、これがこの作業の基礎です。このアプローチでは、パーティション関数を高次元の多項式と見なし、切り捨てられたテイラー展開を使用して、計算を容易にする点で解をパラメーターの自明でないレジームに拡張します。導入[Bar16a]以来、この方法は、有界グラフ上の強磁性および反強磁性イジングモデル[LSS19b、PR18]などのさまざまな興味深い問題の決定論的アルゴリズムを取得するために使用されてきました。

含む

[LSS19b] Jingcheng Liu、Alistair Sinclair、およびPiyush Srivastava。イジングパーティション関数：ゼロと決定論的近似。Journal of Statistical Physics、174（2）：287–315、2019。arXiv ：1704.06493

関連する作業のtisセクションで次のことに言及しています。

並行して、Barvinokは、パーティション関数の対数のテイラー近似の研究を開始し、さまざまなカウント問題の準多項式時間近似アルゴリズムを導きました[6、7、9、10]。最近、Patel and Regts [41]は、誘導サブグラフの合計として記述できるいくつかのモデルについて、実際にこのアプローチからFPTASを取得できることを示しました。

[41] V. PatelおよびG. Regts。パーティション関数とグラフ多項式の決定論的多項式時間近似アルゴリズム。SIAM J. Comput。、46（6）：1893–1919、2017年12月。arXiv：1607.01167

結論として、「パーティション関数の推定」は近似アルゴリズムに密接に関連しており、さまざまなカウント問題に対する準多項式時間近似アルゴリズムがあり、それらの一部についてはFPTASが取得されています。したがって、全体として、パーティション関数に関連するこのクラスの問題は両方とも準多項式時間近似アルゴリズムを生成するようですが、多くの場合、後で改良することで多項式時間が達成されます。