理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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証明の複雑さと下限
NP coNP を証明する1つの方法は、多項式時間で計算可能な命題証明システムごとに、が超多項式証明長を必要とするトートロジーのファミリーが存在することを示すことです（証明されるトートロジーの長さを書きます）。HakenとAjtaiのような結果は命題証明システムを修正し、特定のファミリ（この場合はPHP）が超多項式の長さの証明を必要とすることを証明します。≠≠\neqffffff 私の質問：証明システムを修正せず、おそらく非常に弱いが、証明の長さの自明ではない下限を示す結果はありますか？例：すべての命題証明システムについて、超線形証明長を必要とするトートロジーのファミリが存在することを示す結果はありますか？
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敵対者が検証オラクルを持っている場合のMACの保護
メッセージ認証コード（MAC）は、効率的なアルゴリズムの三重によって定義される（定義はセクション4.3から取得され、次を満たす、カッツ・リンデル帳） ：（G e n、M A C、V e r i f）(Gen,MAC,Verif)(\mathsf{Gen}, \mathsf{MAC}, \mathsf{Verif}) 入力上の、アルゴリズムGのE Nキー生成K ≥ Nを。1ん1n1^nGenGen\mathsf{Gen}k≥nk≥nk \ge n 入力にによって生成されたG 、E 、N、およびいくつかのメッセージM ∈ { 0 、1 } *、アルゴリズムM A Cは、タグ生成Tを。t ← M A C k（m ）と書く。kkkGenGen\mathsf{Gen}m∈{0,1}∗m∈{0,1}∗m \in \{0,1\}^*MACMAC\mathsf{MAC}tttt←MACk(m)t←MACk(m)t \gets \mathsf{MAC}_k(m) 入力トリプルで、アルゴリズムV e r i fは単一ビットbを生成します。b ← V e r i f …
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自然なグラフの問題は普遍的に難しいのでしょうか？
自然な完全なグラフの問題はありますか。それは、多項式時間で認識可能なグラフクラスに制限されている場合でもN P完全なままです。縮退のケースを避けるために、私たちが唯一考える密な非同型の数れるグラフクラス、≤ nは -vertexグラフは指数関数的に増大してn個を。N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP}≤ n個≤ん\leq nんんn ノート： （1）「はい」または「いいえ」の答えはどちらも非常に興味深いでしょう。答えが「はい」の場合、合理的なグラフクラスに制限されている場合でも硬度を維持するため、普遍的にハードに呼び出すことができる自然な 完全なグラフプロパティがあります。答えが「いいえ」の場合、すべての自然なN P完全なグラフプロパティを、いくつかの重要なグラフクラスで簡単に作成できることを意味します。N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP} （2）プロパティの硬度がクラスに単純にシフトされることを除外するために、多項式時間で認識可能なグラフクラスのみを考慮することが重要です。たとえば、3-COLORABILITYは、3-colorableグラフに制限されている場合、簡単になります。
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低次多項式の因数分解
変数と総次数多項式を因数分解するために知られている最速のアルゴリズムは何ですか？ここで、は増加し、は固定です。ほとんどの作業は、が増加し、が固定されている場合を考慮しているようです。有限体と有理数の両方の結果に興味があります。nnn≤d≤d\leq dnnnddddddnnn
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比較独立集合決定問題の複雑さ
次の問題を検討してください。 入力：（G1、G2）ここで、G1とG2は無向グラフです 質問： G1の最大独立セットのサイズは、少なくともG2の最大独立セットのサイズと同じですか？ これはかなり自然な質問のように思えますが、この問題が完全な複雑度クラスを見つけることができませんでした。誰かがそのことを知っていますか？開始点として、問題はNP困難であり、多くのクエリをログに記録するNP oracleへのアクセス権を持つPに含まれていることがすぐにわかります。
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多対1削減へのチューリングのリファレンス
私は、チューリング削減を多元削減に「削減」するためのリファレンスを探しています。私は次の形式のステートメントを念頭に置いています（十分に類似したステートメントでも満足します）。 定理。 もし、次に。A≤fTBA≤TfB\mathsf{A}\leq_T^f \mathsf{B}A≤2fmBttA≤m2fBtt\mathsf A\leq_m^{2^f}\mathsf B^{tt} ここで、「」と「」は、それぞれ、確定時間チューリングと削減を示し、「」は、「真理値表」のバリアントを示します言語、チェックのブール値の組み合わせを評価します " "。≤fT≤Tf\leq_T^f≤fm≤mf\leq_m^ff(n)f(n)f(n)BttBtt\mathsf{B}^{tt}BB\mathsf{B}x∈Bx∈Bx\in\mathsf{B} ステートメントの証明アイデア：チューリング縮約で使用される時間制限のあるオラクルチューリングマシンを シミュレートする：オラクルの答えを推測する時間でも非決定性チューリングトランスデューサーを取得するのは簡単ですそして、出力のチェック「」または「」の組み合わせを書き込み、マシンによって評価されます。このトランスデューサーは、オラクルコールの両方の結果を調査し、出力の論理和を通じてそれらを処理することによって決定できます。現在はます。f(n)f(n)f(n)f(n)f(n)f(n)BB\mathsf Bx∈Bx∈Bx\in\mathsf Bx∉Bx∉Bx\not\in\mathsf{B}BttBtt\mathsf B^{tt}2f(n)2f(n)2^{f(n)} 奇妙なことに、複雑な教科書で関連する結果を見つけることができないようです。 編集：@MarkusBläserによって指摘されたように、真理値表との関係を強調するために、「」を「」に名前変更。ABABA\mathsf BBttBtt\mathsf B^{tt}
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アルゴリズム分析を自動化できますか？
コンパイラが最悪の場合の漸近分析を自動的に実行できるように、プログラミング言語とコンパイラの可能性について誰かが考えましたか？私が考えているユースケースは、コードを書いてコンパイルするプログラミング言語です。コンパイラーは、コードがO（n ^ 2）で実行されることを教えてくれます（たとえば）。これは、アルゴリズム分析を行う賢い人々が行うこと、おそらくループを数えることなどによって行われます。 問題の問題を停止するため、そしてP = NPの場合の多項式時間で実行されるSATのLevinアルゴリズムなど、ダブテールで機能するプログラムを使用できるため、プログラミング言語を十分に制限して、このようなもの。特定の種類のプログラミング言語がそのようなコンパイラーを使用できないようにする否定的な結果はありますか？ 正確な漸近分析ではなく、「興味深い」上限を与えるシステムにも興味があります。 私は特にしていないでブラックボックスと特定の長さの入力からのサンプルの統計的手法に興味を持って、プログラムにかかる時間を見つけます。これらの方法は非常に興味深いですが、私が探している方法ではありません。おおよその限界を与える正確な方法に興味があります。 誰かが私にこの方向での仕事についてのいくつかの参照を指摘してくれれば私は非常に感謝します。
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パーティション間のエッジを最小化しながらグラフをパーティション分割する
三角形分割されたグラフを接続されたサブグラフに分割しようとしています。パーティション間のエッジの数はある程度保証されています。以下は、4つの「クラスター」に分割された三角グラフの例です。 私が最初に欲しかったのは、およそk個の三角形のパーティションを作成できるアルゴリズムであり（大きすぎない限り、エラーが発生する可能性があります）、計算することができました。そのようなパーティションを見つけることができるアルゴリズム（ここでpはパーティションの総数）。次に、パーティション間エッジが多数あると、このアルゴリズムが必要なアプリケーションにとって有害で​​あることがわかりました。O （k2p2（v + e ））O（k2p2（v+e））O(k^2p^2(v+e)) 理想的には、各パーティションを一定の範囲内に保つことができるアルゴリズムが理想的です。理想的には、2のような一定の因子である必要があります。また、エッジ間の数に上限を持たせることができるようにしたいそれは「低い」です。kkk さらに、これらのプロパティを持つパーティションがあり、次のいずれかを実行してグラフを変更する場合にも問題があります。 既存の頂点に接続する一連のエッジを追加する 頂点と、追加した頂点に接続する一連のエッジを追加する エッジのセットを削除する 頂点とこの頂点に接続するすべてのエッジを削除する グラフを再分割できるようにしたいのですが、サイズとカットエッジの数が最小化された各分割がまだあります。（これは私が賞金を上げているソリューションです）。つまり、このアルゴリズムを使用すると、空のグラフから始めて、頂点とエッジを1つずつ追加して再パーティション化することで、任意のパーティションを構築できます。kkk この問題に対する追加の制約は次のとおりです。 グラフは平面です 各「三角形」は、エッジを共有する三角形への無向エッジを持つ頂点です 上記のステートメントから、このグラフの各頂点の次数は最大3であることは明らかです グラフが接続されています パーティションの各サブグラフは接続されています 各サブグラフには約k個の頂点があります 最大でのパーティション間エッジ（異なるパーティションの頂点を含むエッジ）があります。やようなパーティション間エッジの同様の境界を見つけることができれば、それも機能する可能性があります。パーティション間のエッジの上限が未満になる可能性があるかどうかは完全にはわかりません。 2 √ん−−√ん\sqrt n O（logn）O（n）2 n−−√2ん2\sqrt nO （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)O （n ）O（ん）O(n) 私は立ち往生しているところにいるので、この問題に対するどんな助けも素敵です。この問題を完全に解決できれば、あなたはミツバチの膝です。そうでなければ、あなたが私に指摘できる論文や教科書やアルゴリズムを知っているなら、私はそれを非常に感謝します。 明確にする必要がある場合はお知らせください。 編集：問題を簡単にするための追加の制約を次に示します。 制限付きのドロネー三角形分割を扱っています 制約は決して単一の頂点にはならない 三角形分割から作成されたグラフは、次のように構成されます。各三角形は頂点として表されます。グラフの各エッジは、三角形分割の制約のないエッジに対応しています。これは、2つの三角形間の拘束されたエッジが、三角形分割のグラフ表現に表示されないことを意味します。 私は実現もう一つは、我々は変更する必要があるかもしれないことであるとして成長するために成長し、そうでなければサブがないことができますパーティション間のエッジの数に保証します。n O （n ）kkkんんnO （n ）O（ん）O(n)
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CNFを同じ変数で定義された同等の3-CNFに変換する
（私はこの質問を10日前にCSに投稿しましたが、それ以降は回答がありません。ここに投稿します。） 新しい変数を使用することで、CNF数式を多項式時間で3-CNF数式に変換できます。新しい変数が許可されていない場合、常に可能であるとは限りません（たとえば、単式：）。(x1∨x2∨x3∨x4)(x1∨x2∨x3∨x4)(x_1 \lor x_2 \lor x_3 \lor x_4) （SATから3-SATへの）問題を定義してみましょう：与えられた、CNF式。それは、変換することが可能である定義した同等の3-CNFに同じ変数にとして？-「同等」とは、同じモデルのセットを意味します。FFFFFFFFF この問題の複雑さは何ですか？
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最小三角形カバー
グラフ与えられた場合、グラフの三角形を自由にするために削除する必要があるGのエッジの最小数はいくつですか？私の訓練されていない目には、これは難しい問題のようです。GGGGGG この問題はNP完全であることがわかっていますか？有向グラフ（つまり、平行エッジのない有向グラフ）と有向3サイクルの類似物はどうですか？参考文献をいただければ幸いです！ 編集：デビッドは、以下の無向のケースで私の質問に非常に役に立ちました。指示された/指向のバージョンに関する情報は大歓迎です。
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ダイグラフ内の長さ制限のある単純なstパスの一部であるすべてのノードとエッジを含むサブグラフ
注：無向グラフに関する同様の質問を投稿しました。 与えられた 複数辺やループのない有向グラフGGG ソースノードsss ターゲットノードttt 最大経路長lll 私が探していますのサブグラフ-任意のノードと任意のエッジ含まから少なくとも一つの単純なパスの一部である（とのみ）、を長さ。G′G』G'GGGGGGsssttt≤l≤l\leq l パスを列挙する必要がないことに注意してください。
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時間をかけてスムーズに情報を漏らす
私は1つのランダム変数ビットを持っていると言う、およびlet nは自然数です。ランダム変数のシーケンスが必要0 = X 0、X 1、… 、X n = X stバツ∈ { 0 、1 }X∈{0,1}X \in \{0,1\}んnn0 = X0、X1、… 、Xん= X0=X0,X1,…,Xn=X0 = X_0, X_1, \ldots, X_n = X H（X | { X 0、… 、Xk} ） = 1 − kんH(X | {X0,…,Xk})=1−knH\left(X~|~\{X_0,\ldots,X_k\}\right) = 1-\frac{k}{n} つまり、各追加提供する1 / Nの情報のXすべてがによって明らかにされるまで、X N = X。このシーケンスに適切な構成はありますか？バツkXkX_k1 / …
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文が相対化することを証明するための手法
文が相対化していることを証明する方法に興味があります。もちろん、Baker-Gill-Solovayの結果に見られるように、文が相対化しないことを証明するのは簡単です。しかし、文が相対論的であること、つまり、それが神託に対して真実であることをどのように証明するのでしょうか。これを任意の文で達成するための既知の技法はありますか？ この質問に言及している参考文献をご存じの場合は、それらについてお聞かせください。ありがとう。
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「マトリックスの複雑さ」-それは可能ですか？
古いCStheory.seの投稿を閲覧しているときに、マトリックスの死亡率の問題に関する興味深いブログ投稿を見つけました。私が問題を誤って解釈していない限り、各マトリックス値の整数エントリを持つ3 x 3マトリックスの有限コレクションが与えられた場合、すべてのゼロで構成されるマトリックスに等しいこれらのマトリックスの有限積が存在するかどうかを決定する必要があります。 驚くべきことに、この問題はPostの対応問題からの削減により決定不可能です。私の質問は次のとおりです。問題の決定不能性と、チューリングマシンにリンクされている問題へのリンクを考えると、すべてのre言語、クラスP、およびクラスNPを特徴付ける方法が存在することを示すことができますか（例）行列を使用していますか？ 私はこれについて少し作業をしましたが、私の信念が正しいかどうかを確認するためのトレーニングが不足しています。この問題を解決するには、読者側で少し作業が必要だと思います。 LaTeXを使用してSEで行列を書き込む方法はわかりませんが、NPを特徴付ける最初の試みは次のとおりです。 整数のエントリと整数を持つ3 x 3行列の有限集合がNPの「クエリ」として与えられた場合、追加の行列「構造」と見なします。ゼロのみで構成される行列に等しいからの行列の積が存在する場合、「クエリ」は「構造」を受け入れます。SSSkkkMMM| M|k+ k|M|k+k|M|^k + kSSS ご覧のとおり、この試みは完全ではなく、証拠も含まれていますが、問題について最初に考えて、マトリックスの複雑さの概念を形式化するためのより洗練された試みができるかどうかを確認したいと思います。Faginによる記述の複雑さを使用したNPの特徴付けと同様に、これはマシンに依存しない方法でNPを特徴付けるために使用できるため、これは興味深いものです。
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頂点グラフ
ましょHHHグラフの最大誘導された間隔部分グラフであるG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)。場合 V | n=|V|n=|V|n=|V|、それでは最小数はいくつV(H)V(H)V(H)ですか？ 数が最大である3n/43n/43n/4：互いに素の集合考える444 -holesを。 小さくできますか？
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