CNFを同じ変数で定義された同等の3-CNFに変換する

（私はこの質問を10日前にCSに投稿しましたが、それ以降は回答がありません。ここに投稿します。）

新しい変数を使用することで、CNF数式を多項式時間で3-CNF数式に変換できます。新しい変数が許可されていない場合、常に可能であるとは限りません（たとえば、単式：）。 $(x_1 \lor x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

（SATから3-SATへの）問題を定義してみましょう：与えられた、CNF式。それは、変換することが可能である定義した同等の3-CNFに同じ変数にとして？-「同等」とは、同じモデルのセットを意味します。 $F$ $F$ $F$

この問題の複雑さは何ですか？

cc.complexity-theory complexity-classes sat

— ザビエルラブーズ
ソース

同等とは、あなたが同等に満足できるという意味だと思いますか？

— Jan Johannsen 2013年

むしろ、「モデルの同じセットを使って」。

— Xavier Labouze 2013年

fyi tseitin変換は、追加の変数を使用した -SATから3-SATへの変換の名前です。あなたの質問はSATの圧縮アルゴリズムの存在について尋ねるようなものです。節を3つ以下の変数に短縮することで、同じ解決策が必要なように聞こえます。EEから、これはすべてのmintermを列挙し、最小限のカバーを見つけ、基準に一致するものが存在するかどうかを尋ねることに関連しています（この場合、すべての句の3つ以下の変数）。潜在的に高い複雑さを持っているようです。

n

$n$

— vzn 2013年

多分それはco-NP-completeです：3CNF式を選択し、新しい式に4つの新しい変数ます。は、が充足可能でない場合に限り、同じ変数に対して3CNFに相当する式を持っています。

φ = C_{1} \land . . . \land C_{n}

$\varphi = C_1 \land ... \land C_n$

φ^{'} = (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land C_{1} \land . . . \land C_{n}

$\varphi' = (y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land C_1 \land ... \land C_n$

y_{1}, . . ., y_{4}

$y_1,...,y_4$

φ^{'}

$\varphi'$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi 2013年

@MarzioDeBiasi。いいね！しかし、co-NPの完全性を証明するのに十分かどうかはわかりません（どういうわけか、より高い複雑性を期待していますが、それは直観にすぎません...）

— Xavier Labouze

（上記のコメントから）問題はcoNP難しいようです。単純な削減は3CNF-UNSAT（これはcoNP完全です）からです。3CNF式、4つの新しい変数で新しい句を追加して拡張します。 $\varphi = C_1 \land ... \land C_m$

φ^{'} = (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land C_{1} \land . . . \land C_{m}

$\varphi' = (y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land C_1 \land ... \land C_m$

$\varphi'$ は、元の式が満足できない場合にのみ、同じ変数で定義された同等の3CNF式があります。 $\varphi$

（）3CNF式 is $\Leftarrow$ $(y_1 \lor y_2 \lor y_3) \land (y_1 \lor y_2 \lor y_4) \land C_1 \land ... \land C_m$ $\varphi'$

（）に同等の3CNF式あり、が満足できると仮定します。満足のいく割り当て of、と両方を簡略化して、変数を対応する真理値に置き換えます値。当社は、取得充足場合にのみ（両方とも変数だけ含まれている充足可能）。明らかに $\Rightarrow$ $\varphi'$ $\varphi''$ $\varphi$ $X = \langle \dot{x}_1,...,\dot{x}_n \rangle$ $\varphi$ $\varphi'$ $\varphi''$ $x_i$ $\dot{x}_i$ $\varphi'_X$ $\varphi''_X$ $y_i$ $\varphi'_X = (y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4)$ 。すべての句には最大3つの変数が含まれているため、それらの1つたとえば、それを使用して満足できる割り当てを構築できます：これは満足のいく割り当てではなく、矛盾。 $\varphi''_X$ $(y_1 \lor \lnot y_2 \lor y_3)$ $\varphi'$ $\langle y_1=false, y_2=true, y_3=false,y_4=true,\dot{x}_1,...,\dot{x}_n \rangle$ $\varphi''$

— マルツィオデビアシ
ソース

答えのTks。取得できません。が信頼できない場合、も空の句（サイズ0）と同等であると言いました。用）だけあれば考え、その後、に相当します ...

(\Leftarrow)

$(\Leftarrow)$

φ

$\varphi$

φ^{'}

$\varphi'$

(\Rightarrow

$(\Rightarrow$

φ = (x \lor \neg x)

$\varphi = (x \lor \lnot x)$

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land (x \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land (x \lor \lnot x)$

(y_{1} \lor y_{2} \lor x) \land (y_{3} \lor y_{4} \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor x)\land (y_3 \lor y_4 \lor \lnot x)$

— Xavier Labouze 2013年

@XavierLabouze：はい、あなたのほうがいいようです。（では、同等の3CNFがあると想定し、元のが満足できると想定することから矛盾を導き出します。あなたはそれが間違っていると思いますか？

(\Leftarrow)

$(\Leftarrow)$

\Rightarrow)

$\Rightarrow)$

φ^{'}

$\varphi'$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi 2013年

あなたは正しい-は。

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4}) \land (x \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4) \land (x \lor \lnot x)$

(y_{1} \lor y_{2} \lor x) \land (y_{3} \lor y_{4} \lor \neg x)

$(y_1 \lor y_2 \lor x)\land (y_3 \lor y_4 \lor \lnot x)$

— Xavier Labouze 2013年

あなたがいることがわかりましたに等しい？あなたはこれを説明できますか：「が満足できる場合に限り、満足できるを取得します」、「（どちらも変数のみを含む）」を追加するよりも、どうすれば確実にのみを含みますか？また、私は結論を理解していません。同じ変数から3-cnfに4つの変数句を追加することはcoNP-Completeであることを証明しましたか？

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3}) \land (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{4})

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3) \land (y_1 \lor y_2 \lor y_4)$

(y_{1} \lor y_{2}) \land (y_{3} \lor y_{4})

$(y_1 \lor y_2) \land (y_3 \lor y_4)$

φ_{X}^{'}

$\varphi'_X$

φ_{X}^{″}

$\varphi''_X$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

— Ilya Gazman

φ_{1} = (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3}) \land (y_{1} \lor y_{2} \lor y_{4})

$\varphi_1 = (y_1 \lor y_2 \lor y_3) \land (y_1 \lor y_2 \lor y_4)$ とは同等ですが、同等ではありません（同じです）モデルのセット）：Y1 = F、Y2 = F、Y3 = T、Y4 = Tのための有効なモデルであるではなく、ため。質問では、同等の数式について話している。証明は、が3CNF式の同じモデルセットを持つことができないという事実に依存しています。

φ_{2} = (y_{1} \lor y_{2}) \land (y_{3} \lor y_{4})

$\varphi_2 = (y_1 \lor y_2) \land (y_3 \lor y_4)$

φ_{1}

$\varphi_1$

φ_{2}

$\varphi_2$

(y_{1} \lor y_{2} \lor y_{3} \lor y_{4})

$(y_1 \lor y_2 \lor y_3 \lor y_4)$

— Marzio De Biasi