比較独立集合決定問題の複雑さ

次の問題を検討してください。

入力：（G1、G2）ここで、G1とG2は無向グラフです

質問： G1の最大独立セットのサイズは、少なくともG2の最大独立セットのサイズと同じですか？

これはかなり自然な質問のように思えますが、この問題が完全な複雑度クラスを見つけることができませんでした。誰かがそのことを知っていますか？開始点として、問題はNP困難であり、多くのクエリをログに記録するNP oracleへのアクセス権を持つPに含まれていることがすぐにわかります。

この問題は、（としても知られているログ多くのクエリでのNPオラクルへのアクセス権を持つ多項式時間チューリングマシンのクラスのために実際に完了した）。結果は題しSpakowskiとフォーゲル2000年FST TCS紙に現れる「Θ P 2 -Completeness：新しい結果のための古典的なアプローチ」証拠が提示され、私はに依存している両方の独立に到着したことを証明Θ P 2ワーグナーの-completeness基準（アーカイブ19巻5号、1990年10月コンピューティングの「有界照会クラス」SIAMジャーナル）。$\Theta_2^p$$\Theta_2^p$$\Theta_2^p$

私はあなたの問題は、クラスのためのチューリング完全である、と思われる。質問で述べたように、あなたはそれがこのクラスに分類されることをすでに知っています。チューリング完全性を示すために、一つのサイズの独立したセット取ることに気付くことができ、LをするためのG 1はで最大独立集合かどうか私たちは（oracleとしてタスクを使用して）決定することを可能にするG 2がある≤ L。バイナリ検索でこれを繰り返す1 ≤ L ≤ N、我々は決定することができ、E X A ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$$l$$G_1$$G_2$$\leq l$$1\leq l \leq n$内の最大独立集合の大きさ G 2。$exact$$G_2$

上記をグラフの補数に適用して、独立セットではなく、最大クリークの正確なサイズを決定します。最大クリークのサイズを決定したら、それを特定の数kで割り切れるかどうかを判断できます。その後、我々はグラフの最大クリークの大きさが所定の数で割り切れるかどうかを決定するために完了したという結果を呼び出すことができるP N P [ O （ログN ] ）]（Krentel、「最適化問題の複雑さを、」参照J.コンピュータおよびシステム科学、36（1988/3）、pp。490–509、定理3.5）$G_2$$k$${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$

参照されたKrentelの結果はの問題の多元完全性を証明しますが、上記の削減はチューリング完全性のみを示しています。log n）回。${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$$\log n$

あなたの問題もあり、多くの-1 NPインスタンス間の影響のためにハード。

意味の右側を独立セットに簡便な方法で削減し、グラフの左側が独立セットに削減されて、グラフがターゲットサイズよりも大きな独立セットを持たないようにします。 $\:$（たとえば、CNF-SATに削減してから、必ずしも3 SATインスタンスではなく、一般的なCNF-SATインスタンスがあるにもかかわらず、この削減を適用します。）$\:$ターゲットサイズの差に等しい数の孤立した頂点を、
インスタンスのターゲットサイズのどちらか小さい方に追加し、 そのインスタンスのターゲットサイズを
同じ数だけ増やします。$\:$ それは明らかに同等のインスタンスを与え、結果のターゲットサイズを等しくします。 $\:$ターゲットサイズがゼロの場合は、問題の空のインスタンスを返します。
それ以外の場合
は、インプリケーションの右側のインスタンスに対応するグラフに[ターゲットサイズ-1]の孤立した頂点を 追加し、それらの頂点をそれぞれの頂点すべてに接続します
この文の前にあり 、G1がそのグラフに等しく、G2が他のグラフに等しい状態で戻ります。

（また、あなたの問題インスタンスは自明多く、いずれかになります
に減少の接続詞 NPインスタンス間の含意。）