低次多項式の因数分解

変数と総次数多項式を因数分解するために知られている最速のアルゴリズムは何ですか？ここで、は増加し、は固定です。ほとんどの作業は、が増加し、が固定されている場合を考慮しているようです。有限体と有理数の両方の結果に興味があります。$n$$\leq d$$n$$d$$d$$n$

ましょうである特性のフィールド又は少なくとも、および最大で合計次の多項式である。場合固定され、成長している、一つの因数分解の減少のために、以下の複雑さの限界を有する学位の分解に（表記：単変量多項式無視対数要因）$\mathbb K$$0$$d(d-1)+1$$p\in\mathbb K[x_1,\dotsc,x_n]$$d$$d$$n$$p$$d$$\tilde{\mathcal O}(\cdot)$

1. 確定的アルゴリズム：

   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+d}{n}^4 \right)$フィールド演算、単純な乗算アルゴリズムを使用。
   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+2d-2}{n-1} d^\omega \right)$フィールド演算、高速乗算アルゴリズムが利用可能な場合、は線形代数の許容指数。¹$2<\omega\le 3$

2. 確率的アルゴリズム：

   • $\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$フィールド演算（高速乗算アルゴリズムが利用可能な場合）。

次に、1変量の次数多項式を因数分解する必要があります。このステップの複雑さは依存しなくなったため、上記の範囲は完全な因数分解アルゴリズムに対して引き続き有効です。唯一の違いは正の特性にあります。一変量多項式を因数分解する確定的多項式時間アルゴリズムは知られていないため、確定的縮小でも確率的アルゴリズムが得られます。それにもかかわらず、が実際に固定され、小さい場合、確率的多項式時間アルゴリズムを決定論的指数時間アルゴリズムに置き換えることができます。$d$$n$$d$

確率的限界は、が入力。$\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$$\binom{n+d}{n}$

詳細については、「グレゴワールレセルフの改良された密な多変量多項式因数分解アルゴリズム（ペイウォールのないリンク）」を参照してください。

特に小さな特性のフィールドに関する別のリファレンスは、EL Kaltofen＆G. Lecerf、多変量多項式の因数分解（ペイウォールなしのリンク）、GL MullenおよびD. Panarioの11.5章、エディター、有限フィールドのハンドブックです。

¹結果はと想定する必要があります。$\omega>2$