頂点グラフ

ましょ$H$グラフの最大誘導された間隔部分グラフである$G=(V,E)$。場合 V $n=|V|$、それでは最小数はいくつ$V(H)$ですか？

数が最大である$3n/4$：互いに素の集合考える$4$ -holesを。

小さくできますか？

答えは$\Theta(\log n)$で、証明は古典的なラムジーの定理証明と同じです。一方では、常にこれらの多くの頂点を持つ完全または空のサブグラフがあります。もう1つは、ランダムグラフでは、$C_4$ない大きな部分グラフは生成されません。この後者の場合、$t$個の頂点に誘導されたサブグラフの数を$n^t$で制限し、それぞれの制限について、c t 2によって$C_4$フリーになる確率を計算し。$c^{t^2}$ここで、$c<1$は定数です。これは、$t$頂点の完全なグラフにΩが含まれているために実行できます$\Omega(t^2)$ばらばらの$K_4$。

より詳細には、任意の頂点間の可能なエッジを4つの頂点の\ Omega（t ^ 2）の互いに素なクリークに分割し。このような4つの頂点のクリークでは、頂点間のエッジがC_4を形成しない確率は、定数p <1です。したがって、どのクリークにもC_4がない確率は、p ^ {\ Omega（t ^ 2）}です。これは明らかに、ランダムグラフがC_4フリーになる上限です。$t\choose 2$$t$$\Omega(t^2)$$C_4$$p<1$$C_4$$p^{\Omega(t^2)}$$C_4$

を実行できます。完全な -partiteグラフを検討してください。2つのパーティがあり、両方に複数のノードがあり、が誘導されているため、それを整数にすることはできません。したがって、誘導されたをすべて破壊するには、少なくともノードを削除する必要があります。$2\sqrt{n}-1$$\sqrt{n}$$C_4$$(\sqrt{n}-1)^2 = n - 2\sqrt{n} + 1$$C_4$