文が相対化することを証明するための手法

文が相対化していることを証明する方法に興味があります。もちろん、Baker-Gill-Solovayの結果に見られるように、文が相対化しないことを証明するのは簡単です。しかし、文が相対論的であること、つまり、それが神託に対して真実であることをどのように証明するのでしょうか。これを任意の文で達成するための既知の技法はありますか？

この質問に言及している参考文献をご存じの場合は、それらについてお聞かせください。ありがとう。

通常、人々が複雑性定理が相対論化することを証明する方法は、次の2ステップの手順を使用することです。

1. 定理を証明します。

2. 証明が相対化していることを確認してください！つまり、証明で言及されているすべてのマシンが同じオラクルAにアクセスできる場合、証明の内容はまったく変わりません。

はい、それは本当にそれと同じくらい簡単です。それを厳密にするために、あちこちに「A」の上付き文字を追加して、証明全体を書き直す必要があります。ただし実際には、この問題に気付いた場合は、通常、「この結果は相対化すると簡単にわかる」などのコメントを追加するだけです。

人々がこれについて無頓着に思われる場合、それは彼らが経験から学んだためです（算術などの）特定のテクニックだけが相対化しない証拠を引き起こす可能性があるということです。したがって、証明がこれらの手法を使用しない場合は、相対化します。

（近いアナロジー：実数についての定理を証明するとしますが、証明は実数についてはフィールドであるという事実以外は何も使用しないと仮定します。次に、その事実に注意して、類似の定理が成り立つ必要があることを示すだけで十分です。複素数、p-adicsなどの場合。証明をやり直す必要はありません。）

さらに議論が必要な状況の1つは、定理を相対化することが何を意味するのかさえ明らかでない場合です。（たとえば、オラクルのアクセスメカニズムは何ですか？）Kavehが上記で指摘したように、実数に関する定理を「複雑化」する明確に定義された数学演算がないように、複雑な定理を「相対化」する明確に定義された数学演算はありません。後者の場合、Rのすべての出現箇所をCで置き換えるだけでは不十分であることに注意してください。おそらく、x ²も| x |で置き換える必要があります。²（他の場所ではなく一部の場所で！）、数学者には「自明」であるが正式にリストするのが難しい他の変更を行います。同様に、複雑さの理論では、それは通常定理を「相対化」することの意味（つまり、Aにアクセスする必要がある人、およびAにアクセスすることの意味）は明らかですが、場合によっては非常に微妙なこともあります。この問題の詳細については、こちらをご覧ください。

質問を振り返ると、次のように質問できます。

相対化複雑性定理の例はありますか？定理が真実であるよりも定理が相対化していることを証明するのが非常に難しい例はありますか？

興味深いことに、私は議論の余地のない1つの例を思い付くことはできません（たぶん他の誰かができるかもしれませんが）。これが私ができる最善のことです：

1. （Broadbent-Fitzsimons-Kashefi、Reichardt-Unger-Vaziraniなどによる）ブラインドおよび認証済み量子コンピューティングに関する最近の研究は、例につながる可能性があります。そのような場合には、状況は定理が相対化するかどうか、我々が知らないということである---彼らがあればやる相対化し、確かに新しいアイデアは、既存の証明に何を超えて必要とされるであろう。

2. おそらく、別の例としては、＃Pのランダムな自己還元可能性があります。それが真実である理由をほとんどの複雑性理論家に尋ねた場合、おそらくパーマネントは#P完全であり、ランダム自己還元可能であるからだと言われるでしょう。それは事実ですが、＃Pがオラクルに対してrsrであるかどうかの質問には答えません。まあ、それは#P がオラクルに比べてrsrであり、それを証明することさえ難しいことではないことが判明しました---しかし、パーマネントのプロパティにアピールするのではなく、多項式を使用して直接引数を与える必要があります。

3. 私とAvi Wigdersonの代数化ペーパーのセクション8で、GMWの定理（NPには計算ゼロ知識証明がある）が代数化していることを示しました。そして、それは本当になかった「劇的に」新しいものではないが、確かどこGMW定理の通常の証明に見つからないことが新しいアイデアを取ります。もちろん、これは相対化よりも代数化のためです。

補遺： OPのさらなる質問への回答では、それを示すためのテクニックはまったくわかりません。もしあなたが特定の複雑さの推測を証明できれば（まだ証明していません）、証明は必然的に相対化します。はい。「証明の検索」を相対化する手法のみに制限している限り、証明の発見に成功した場合、証明は必ず相対化するはずです。そして実際には、それはしばしば人々が行うことです（たとえば、彼らは証明がどのように見えるかについて特定のアイデアを持ち、それらのアイデアが相対化するためです）。しかし、非相対化手法を含むように検索範囲を広げることによって、以前にあなたを逃した証拠を見つけることができなかったことをアプリオリに保証する方法は知りません。