理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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P / poly
P/poly=NP/polyP/poly=NP/polyP/poly = NP/poly意味NP⊆P/polyNP⊆P/polyNP \subseteq P/poly順番に多項式階層の崩壊のような興味深い結果をもたらします。 に興味深い影響はありP/poly≠NP/polyP/poly≠NP/polyP/poly \neq NP/polyますか？
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さまざまな複雑度クラスの数論的または代数的問題のリスト
さまざまな数論的/代数的問題の既知または未知の複雑さに関するリストを探しています。例えば、 GCD は開いていますが、NC1NC1NC^1 因数分解が開いている、PPP 計算束コホモロジーは -hard#P#P\#P、 アローラとバラクは、ファクタリングのバリアントは完全であると述べています（ただし、これはファクタリングのNP完全バリアントでの議論に基づいて明確ではありません）。NPNPNP Barbulescu et alの離散対数に関する画期的な研究。 Adlemanはかつてと焦点を当てたリストを公開していましたが、時代遅れのようです。Mumfordには、複雑性に関係なく、代数幾何学で計算可能なものに関する論文があります。N PPPPNPNPNP これらのリストが公開されてからの（主要な）発見のリストを知っている人はいますか？ （上記のリストが公開されたため）複雑度クラスが既に既知である可能性のある数論的/代数的フレーバーの問題点は何ですか？ 問題のいくつかの経路は、補間問題（さまざまなフィールドにわたる単変量または多変量）、中国の剰余定理、曲線上のポイントカウントの複雑さなどです。
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アルゴリズム設計における加法組み合わせ論的応用
TCSでの加算的組み合わせのアプリケーションに関するTrevisanとLovettによる調査を読んでいます。これらのアプリケーションの大部分は、計算の複雑さ、たとえば下限に該当します。加算的組み合わせ論はアルゴリズム設計にも応用できるのだろうか。 私の質問の動機は次のとおりです：加算的組み合わせ論と複雑さの関係はやや自然に思えますが、効率的なアルゴリズムを設計する際に、加算的組み合わせ論によって明らかにされた代数構造がどのように活用されるのか興味があります。文献へのポインタをいただければ幸いです。
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データ（文字列のセット）を並べ替えて圧縮を最適化しますか？
圧縮のために最適化するためにデータを並べ替えるアルゴリズムはありますか？これはデータと圧縮アルゴリズムに固有のものであると理解していますが、このトピックに言葉はありますか？この分野の研究はどこで見つけることができますか？ 具体的には、150万文字列のjsonリストがあり、gzip（HTTP用）圧縮が最適化されるように文字列を並べ替えたいと思います。文字列の並べ替えは非常にうまくいきますが、それが最適かどうかはわかりません。
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これらの着色ゲームは解決されましたか？
「いくつかのカラーリングゲームの複雑さについて」の論文で、Bodlaenderは、いくつかのグラフカラーリングゲームでプレイヤー1または2が勝利戦略を持っているかどうかを判断する複雑さについて、いくつかの未解決の質問をしています。誰かが解決したかどうか知っていますか？ 1）1つのゲームで、2人のプレーヤーが交互にグラフの1つの頂点を選択し、固定された有限セットの色で適切に色付けします。敗者は、頂点に色を付けることができない最初のプレイヤーです。シェーファーの論文では、1色でpspace-completeであることが示されており、Bodlaenderは2色でpspace-completeであることを示していますが、それ以上の色では答えがありません。まだ開いていますか？ 2）別のバリエーションでは、頂点の番号は1..nです。プレイヤーのターンで、彼は、まだ色付けされていない最も小さい番号の頂点を適切に色付けしなければなりません。繰り返しますが、彼らは固定セットの色を使用しており、敗者は自分の頂点に色を付けることができない最初のプレイヤーです。Bodlaenderは、一般的なグラフに対してpspace完全であることを示しています。彼は誰が木で勝つかを尋ねます、それは知られていますか？ ありがとう
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自然証拠バリアの範囲
RazborovとRudichの自然な証明の障壁は、信頼できる暗号化の仮定の下では、建設的で大きく、有用な関数の組み合わせの特性を見つけることによってNPをP / polyから分離することは望めないと述べています。障壁をどうにかして回避するいくつかの有名な結果があります。また、3つの条件に考えられる抜け穴を議論するいくつかの論文があります。たとえば、Chowがバリアが大きな大きさの弱い違反に敏感であることを示した結果や、Chapman and Williamsの最近の論文です。有用性条件を緩和することにより、潜在的に障壁を回避する方法を提案する。私の質問は、建設的、大規模、または有用性に違反するのではなく、完全にその範囲外になることによって、自然な証明の障壁を回避する例、または可能性さえあるかどうかです。つまり、すべての潜在的な証明方法が、組み合わせの「プロパティ」を見つけて、すべての機能を、プロパティを満たすものと満たさないものに分割することに基づく必要がある理由は、私にはまったく明らかではありません。なぜこの操作のフレームワークはすべての可能な証明に適用する必要があり、そうでない場合、他のタイプの証明はどのようになるのでしょうか？
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PSPACE-completeであることが知られていない問題
次のプロパティの問題は何ですか： 1）PSPACE完全な（おそらくよく知られている）問題の制限です。 2）制限されたバージョンはPSPACEにありますが、PSPACEが完全な場合（またはNPハードな場合でも）、未解決の問題です。 「パズル＆C」からの4つの例： 1x1ラッシュアワーの複雑さ[1]（サイズ2x1のブロックのPSPACE完了）; 【解決しよう平面地下鉄シャッフル[1]の複雑さ（平面グラフのPSPACE完全であっても、紙のドラフトをすることができる] ここでダウンロード）。 固定ブロックを使用しないLunar-Lockoutの複雑さ[1]（固定ブロックを使用したPSPACE完了）。 （それほど有名ではありません）（私の）スイッチネットワークの問題の複雑さ（非平面の場合はPSPACE完全な倉庫番、NPハードの制限です。cstheoryに関するこのQ＆Aを参照してください）。 多数ある場合は、トピックごとにグループ化します。 [1] Robert A. Hearn、Erik D. Demaine：ゲーム、パズル、計算。AK Peters 2009、ISBN 978-1-56881-322-6、pp。I-IX、1-237
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ラムダ計算は、計算可能性の直感的な概念をどの程度正確にキャプチャしますか？
私は何を、なぜ、どのように -calculusに巻き込もうとしていましたが、「なぜそれが機能するのか」を理解することができませんか？λλ\lambda 「直感的に」Turing Machines（TM）の計算可能モデルを取得します。しかし、この -abstractionは、私を混乱させます。λλ\lambda TMが存在しないと仮定しましょう-そして、計算可能性のこの概念をキャプチャする -calculusの能力について、どのようにして「直感的に」納得させることができますか。すべての機能とその構成可能性のために多数の機能を持つことは、どのように計算可能性を意味しますか？ここで何が欠けていますか？私はそのことについてアロンゾ教会の論文を読んでいますが、私はまだ混乱しており、同じものについてより「くすんだ」理解を探しています。λλ\lambda
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パリティゲームの実用化
パリティゲーム、つまり現実世界のシステムで、パリティゲームとして表現できる実用的なアプリケーションの例はありますか？ 通常、パリティゲームに関する関連ドキュメントには、このアプリケーションの実用的な例はほとんどありません。
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TCS での
私は理論的なコンピューター科学者ではありません。私はカテゴリを使用した安定したホモトピー理論家です。カテゴリ理論とトポス理論の理論計算機科学への応用を見てきましたが、理論計算機科学で∞カテゴリ（そしてできれば私にとって安定ホモトピー理論）を使用できる方法があるかどうか疑問に思っていました。HoTT mughtはそのようなアプリケーションの1つであると思いますが、HoTTについてほとんど何も知らないので、私は非常に間違っているかもしれません。（したがって、TCSでHoTTがどのように使用されるのかもわかりません。）∞∞\infty∞∞\infty
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感度ブロック感度推測-含意
ましょう感度とブール関数であるS （F ）とブロック感度B S （F ）。fffs(f)s(f)s(f)bs(f)bs(f)bs(f) が存在すること感度ブロック感度推測推測状態よう∀ F 、B S （F ）≤ S （F ）C。c>0c>0c>0∀f, bs(f)≤s(f)c∀f, bs(f)≤s(f)c\forall f,\mbox{ }bs(f)\leq s(f)^c この推測の真実と虚偽の意味は何ですか？ 参考文献も引用してください。
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有限オートマトン用の擬似乱数ジェネレーター
してみましょう一定です。有限オートマトンをだます疑似乱数ジェネレーターを証明可能に構築するにはどうすればよいですか？ddddddd ここで、有限オートマトンには、個のノード、開始ノード、受け入れ状態を表すノードのセット、および各ノードから出てくる0、1というラベルの付いた2つの有向エッジがあります。入力を読み取ると、自然に状態が変化します。与えられると、見つけて、すべての有限オートマトンが関数計算するようにします。D ε F ：{ 0 、1 } K → { 0 、1 } N D Addddddϵϵ\epsilonf:{0,1}k→{0,1}nf:{0,1}k→{0,1}nf:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}^ndddAAA |Px∼Uk(A(f(x))=1)−Px∼Un(A(x)=1)|&lt;ϵ.|Px∼Uk(A(f(x))=1)−Px∼Un(A(x)=1)|&lt;ϵ.|\mathbb P_{x\sim U_{k}}(A(f(x))=1)-\mathbb P_{x\sim U_n}(A(x)=1)|< \epsilon. ここで、は変数の均一分布を示し、をできるだけ小さくしたい（たとえば、）。私はと思っていますの順であること我々はまた、より一般的に（例を。ビット数が増えると必要となる質問をすることができますが、？）。 k k log n d n nUkUkU_kkkkkkklognlog⁡n\log ndddnnnnnn いくつかの背景 擬似ランダムジェネレータの構築は、ランダム化解除において重要ですが、一般的な問題（多項式時間アルゴリズムのPRG）はこれまでのところ非常に困難であることが判明しています。しかし、PRGの有界空間計算の進展がありました。たとえば、この最近の論文（http://homes.cs.washington.edu/~anuprao/pubs/spaceFeb27.pdf）は、通常の読み取り1回の分岐プログラムについて約を提供します。一般的な読み取り1回の分岐プログラムに関する質問はまだ開いています（）ので、この単純化の答えがわかっているかどうか疑問に思っています。（有限オートマトンは、すべての層が同じである読み取り1回の分岐プログラムのようなものです。）lognlogdlog⁡nlog⁡d\log n\log dk=lognk=log⁡nk=\log n
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次のアイデアの文献ソースを探しています
私が提示しようとしているアイデアを楽しませるのは私が最初ではないことは確かです。ただし、アイデアに関連する文献を見つけられると助かります。 アイデアは、P = NPの場合、Mが多項式時間で3-SATを解くという特性を持つチューリングマシンMを構築することです。（3-SATの選択は任意です。NPで実際に問題になる可能性があります）。 明確にするために、これはP = NPであるという主張ではありません。実際、私はその反対を信じています。P = NPの場合、Mは多項式時間の解を提供する、とだけ述べています。効率的なソリューションを探している場合、これは効率的ではないことを警告する必要があります。 Mは次のように構成されます。最初に、すべてのチューリングマシンの標準的なエンコーディングを想定し、これらのマシンに番号を適用します。したがって、チューリングマシン番号1、番号2などがあります。提供されたマシンの形式を読み取って、そのマシンが別の入力で実行されることをシミュレートできるユニバーサルチューリングマシンのアイデアはよく知られています。Mは、ユニバーサルチューリングマシンを使用して、各チューリングマシンを順番に構築およびシミュレーションします。 最初に、単一ステップのチューリングマシン1の実行をシミュレートします。 次に、Turing Machine 1の出力を確認します。TuringMachine 1 の実行を2ステップでシミュレートし、出力を確認してから、Turing Machine 2を2ステップでシミュレートします。続けてこの方法でループし、順番にkステップでチューリングマシン1を実行し、次にkステップで2を実行し、最終的にkステップでkを処理します。 各シミュレーションの実行後、実行の出力を調べます。出力が3-SAT問題インスタンスを満たす変数の割り当てである場合、Mは受け入れ状態で停止します。一方、出力が、検証可能な証明言語の証明文字列であり、問​​題のインスタンスが満足できないという証明された結果である場合、Mは拒否状態で停止します。（証明言語の場合、たとえば、2次論理を備えたペアノ公理と基本的なヒルベルトスタイルの論理公理を使用できます。P= NPの場合、有効な証明言語が存在し、多項式時間検証可能です）。 ここで、P = NPの場合にのみ、Mは多項式時間で3-SATを解くと主張します。最終的に、アルゴリズムは番号Kの魔法のチューリングマシンを見つけます。これは偶然、3-SAT問題の効率的なソルバーであり、成功または失敗のいずれかの結果の証明を提供できます。Kは最終的に、ある多項式に対してpoly（strlen（input））ステップを実行してシミュレートされます。Mの多項式は、最大係数のkの多項式の約2乗ですが、多項式にいくつかのひどい定数があります。 ここで私の質問を繰り返します。この考えを採用している文献資料があるかどうか知りたいです。私はアイデア自体について議論することにあまり興味がありません。
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NP完全問題の結び目理論定式化はありますか？
NPの完全な（またはNPの困難な、またはNPの）問題があり、研究するのに適したトポロジ特性を持っています。NP問題には結び目理論がありますか？Jones多項式に関する結果について知っています。グラフの問題（埋め込み？）、特にグラフの色付けには、優れた結び目理論特性があることがわかります。これは自由回答形式の質問であり、このトピックへの参照は歓迎します。PPP
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最適なランダム化比較ソート
したがって、我々はすべての比較ツリーの下限を知っています！⌉（決定）比較ソートアルゴリズムによって行われた比較の最悪の場合の数に。ランダム化された比較ソートには適用されません（最悪の場合の入力に対して予想される比較を測定する場合）。たとえば、n = 4の場合、決定論的な下限は5回の比較ですが、ランダム化アルゴリズム（入力をランダムに並べ替えてからマージソートを適用）は4 2⌈ ログ2n ！⌉⌈ログ2⁡n！⌉\lceil\log_2 n!\rceiln = 4n=4n=4すべての入力について期待される 3つの比較。4 234234\frac{2}{3} 情報理論的な議論により、ランダム化された場合には上限なしでバインドされますが、 k + 2 （n ！− 2 k）ログ2n ！ログ2⁡n！\log_2 n! これは、入力をランダムに並べ替えてから（決定論的）決定木を適用する最適なアルゴリズムがあり、最適な決定木（存在する場合）はすべての葉が2つの連続したレベルにあるものだからです。k + 2 （n ！− 2k）n ！、 K = ⌊ ログ2n ！⌋ 。k+2（n！−2k）n！、 どこ k=⌊ログ2⁡n！⌋。k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor. この問題の上限について何かわかっている場合はどうなりますか？すべてのについて、ランダム化された比較数（予想される場合、最悪の場合の入力、可能な限り最高のアルゴリズム）は、常に最高の決定論的アルゴリズムよりも厳密に優れています（本質的に、n ！は2のべき乗ではないため） 。しかし、どれほど良いですか？n &gt; 2n&gt;2n>2n ！n！n!
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