最適なランダム化比較ソート

したがって、我々はすべての比較ツリーの下限を知ってい（決定）比較ソートアルゴリズムによって行われた比較の最悪の場合の数に。ランダム化された比較ソートには適用されません（最悪の場合の入力に対して予想される比較を測定する場合）。たとえば、場合、決定論的な下限は5回の比較ですが、ランダム化アルゴリズム（入力をランダムに並べ替えてからマージソートを適用）は $\lceil\log_2 n!\rceil$ $n=4$ すべての入力について期待される比較。 $4\frac{2}{3}$

情報理論的な議論により、ランダム化された場合には上限なしでバインドされますが、 $\log_2 n!$ これは、入力をランダムに並べ替えてから（決定論的）決定木を適用する最適なアルゴリズムがあり、最適な決定木（存在する場合）はすべての葉が2つの連続したレベルにあるものだからです。

k + \frac{2 （ n ！ - 2^{k} ）}{n ！} 、 どこ k = ⌊ {ログ}_{2} n ！ ⌋ 。

$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$

この問題の上限について何かわかっている場合はどうなりますか？すべてのについて、ランダム化された比較数（予想される場合、最悪の場合の入力、可能な限り最高のアルゴリズム）は、常に最高の決定論的アルゴリズムよりも厳密に優れています（本質的に、は2のべき乗ではないため）。しかし、どれほど良いですか？ $n>2$ $n!$

ds.algorithms reference-request sorting

— デビッド・エップスタイン
ソース

l g (n!) + o (n)

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

あなたの質問は、「何が知られているのですか？」ここに何かあります：

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$ $c$

— パット・モリン
ソース

n \log n - 1.415 n

$n\log n-1.415n$

n \log n - 1.399 n

$n\log n-1.399n$

私は専門家ではありません。これについて知っている唯一の理由はジョン・イアコノです。ただし、nが2の累乗にどれだけ近いか（4/3倍）に基づく変動に関係していると思います。ここでの分析を見ると、link.springer.com / content / pdf /10.1007%2FBF01934989.pdf、-1.415nの境界は、整数kに対してn = floor（（4/3）2 ^ k）の場合にのみ保持されるようです。たぶん、Knuthの-1.329nバウンドがすべてのnに当てはまるのでしょうか？

— パットモリン

確かに変動がありますが、私は（4/3）2 ^ kが最悪のケースであり、他のケースではより良いと思いました。

— デビッドエップシュタイン