自然証拠バリアの範囲

RazborovとRudichの自然な証明の障壁は、信頼できる暗号化の仮定の下では、建設的で大きく、有用な関数の組み合わせの特性を見つけることによってNPをP / polyから分離することは望めないと述べています。障壁をどうにかして回避するいくつかの有名な結果があります。また、3つの条件に考えられる抜け穴を議論するいくつかの論文があります。たとえば、Chowがバリアが大きな大きさの弱い違反に敏感であることを示した結果や、Chapman and Williamsの最近の論文です。有用性条件を緩和することにより、潜在的に障壁を回避する方法を提案する。私の質問は、建設的、大規模、または有用性に違反するのではなく、完全にその範囲外になることによって、自然な証明の障壁を回避する例、または可能性さえあるかどうかです。つまり、すべての潜在的な証明方法が、組み合わせの「プロパティ」を見つけて、すべての機能を、プロパティを満たすものと満たさないものに分割することに基づく必要がある理由は、私にはまったく明らかではありません。なぜこの操作のフレームワークはすべての可能な証明に適用する必要があり、そうでない場合、他のタイプの証明はどのようになるのでしょうか？

ましょうの関数であること、およびlet Cは、有限のスライスに取り組んアルゴリズムのクラスであるF。一切下限すべての回路は、プルーフつまりF ∉ Cいくつかのために、Fおよび一部C。「ブール関数の組み合わせのプロパティ」を検討P fは、このような、$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$$C$$f$$f \notin C$$f$$C$${\cal P}_f$

と Pの F（G）=0全てについてのG≠F。${\cal P}_f(f) = 1$${\cal P}_f(g) = 0$$g \neq f$

証拠証拠であるP fがあるに対する有用C RazborovとRudichの用語で、。つまり、「有用性」は完全に避けられません。「その範囲外」になる方法はありません。回路の下限がまったく証明されている場合、いくつかの有用な特性を与えています。$f \notin C$${\cal P}_f$$C$

なおは、場合、その後、P fは RazborovとRudichの用語では、同様にも建設的です。関数のようにF内の計算Eが、（例えば）でないP / P O LのY、構成性はまたに対して有用であるブール関数の少なくとも一つの特性に適用されるP / P O リットルY。$f \in TIME[2^{O(n)}]$${\cal P}_f$$f$$E$$P/poly$$P/poly$

したがって、RazborovとRudichは、当初考えていたよりも基本的なものです。

その通りです。自然証明定理は自然の性質に関するものです（そして、証明については非公式にのみ）。Razborov自身もほぼ同時に2つの論文を書き、形式的な証明と複雑さの下限のクラスを調べました。

• ブール計算量の有界演算と下限、1995
• 有界演算の特定のフラグメントにおける回路サイズの下限の証明不能性、1995

最初の研究は、算術の弱い断片における既存の下限証明の形式化を証明します（証明する複雑性理論の下限の硬さの上限）。

2番目の論文は、より強力な複雑性理論の下限を証明する難しさの下限に関するものです。P ≠ N Pを証明するには、どれだけの数学が必要ですか？$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$が必要ですか？Z F？P A？たぶん少なくともP V？（P Vは、で使用概念を推論に対応する理論であると考えられるPを）。2番目の論文の理想的な結果は次のとおりです。$ZFC$$ZF$$PA$$PV$$PV$$\mathsf{P}$

は、 P ≠ N P（の合理的な形式化）を証明できません。$PV$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

これを行うために、我々はそれを非公式アイデアを形式化する必要があるだろう、我々は下界証拠から、自然的特性を抽出することができますで$PV$

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$