P / poly

$P/poly = NP/poly$意味$NP \subseteq P/poly$順番に多項式階層の崩壊のような興味深い結果をもたらします。

に興味深い影響はあり$P/poly \neq NP/poly$ますか？

EmilJeřábekのコメントは質問に答えます：

P /ポリ NP /ポリNPと等価である⊆ P /ポリ$=$$\subseteq$

結果に注意してください

P / poly NP / polyは、P ≠ NPを意味します。$\neq$$\neq$

帰結の証明：

1. P / poly NP / polyはNPと同等⊆P / poly （エミルのコメント）$=$$\subseteq$$\ $
2. NP Pは/ポリP /ポリ意味= NP /ポリ（1によって暗黙に）$\subseteq$$=$$\ $
3. P / poly NP / polyはNPを意味します⊈P / poly （2に相当）$\neq$$\not\subseteq$$\ $
4. NP Pは/ポリ意味P ≠ NP （P ⊆ P /ポリ）$\not\subseteq$$\neq$$\ $$\subseteq$
5. P / poly NP / polyは、P ≠ NPを意味します（3および4によって暗示されます）$\neq$$\neq$$\ $

Emilのコメントの証拠： / polyはP / poly = NP / polyを意味することを示すだけで十分です。$\subseteq$$=$

1. / poly と仮定しましょう。$\subseteq$
2. SATので NPが存在するP S A T ≥ K S A T > 0とアドバイス列のシーケンスS Nとは| s n | ≤ N kはS A T、サイズのSATインスタンスを決定することができる決定論的アルゴリズムN時間≤ N P S A Tを、それがアクセス権がある場合、SをN。WLOG、またサイズのSATインスタンスを決定することができ、そのアルゴリズム≤ $\in$$p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$$s_n$$\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$$n$$\leq n^{p_{SAT}}$$s_n$$\leq n$なぜなら、修正シーケンスを|で定義できるからです。s ′ n | ≤ N kはS A T + 1、以前のすべてのアドバイス文字列がに含まれ、S ' N。$s'_n=s'_{n-1}s_n$$\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$$s'_n$
3. 今聞かせて NP /ポリ我々が表示される必要があるため、任意の言語、もL ∈ P /ポリ。が存在するのp L ≥ k個のL > 0とアドバイス一連の文字列リットルをNと| l n | ≤ N k個のLと決定することができる非決定的アルゴリズムLのサイズのインスタンスをN個の時間≤ N のP L、それへのアクセスがある場合、LをN。$L\in$$L\in$$p_L\geq k_L>0$$l_n$$\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$$L$$n$$\leq n^{p_L}$$l_n$
4. それぞれについて、で| w | = N、サイズのSATインスタンス≤ C ⋅ N p個のLは、計算することができる（時間O （n個のP L）を正確場合に充足可能である）のw ∈ L。$w$$|w|=n$$\leq c\cdot n^{p_L}$$O(n^{p_L})$$w\in L$
5. だから、アドバイス一連の文字列のためのと| t n | ≤ n個のk L + （C ⋅ N のP L）K S A T、2及び4から決定的アルゴリズムの組み合わせが決定論を決定することができるアルゴリズムを与えるLのサイズのインスタンスをN個の時間でO （（C ⋅ N PをL）$t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$$|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$$L$$n$、tnにアクセスできる場合。$O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$$t_n$
6. ので、 NP /ポリこのショーNP /ポリ、任意の言語であった⊆ NPという仮定の下で、P /ポリ⊆ P /ポリ。$L\in$$\subseteq$$\subseteq$

NP完全問題の存在は相対化された世界でも当てはまるため、上記の証明はすべて相対化されます。これは、P / poly NP / poly であるという証拠を検索することは無益であることを示唆しています。ただし、削除されたモチベーションセクションを要約しましょう$\neq$「アドバイス文字列は、入力の長さに応じて強度が急速に増加する正式な公理システム（自動的に一貫性があり、邪悪な笑顔が保証される）である可能性があります。NPはこのアドバイスを活用するのに非常に優れています」「一連のアドバイスの刺し傷」が固定形式システムに比べて「形式」の意味しか持たないことにあまり注意を払わない場合、そのセットアップは見かけのパラドックスの構築を可能にする可能性が高い。しかし、それでもこのようなパラドックスの構築は楽しいかもしれませんし、おそらく独立した証明を構築する方法を提案するかもしれません（十分に弱い形式システムの場合）。