さまざまな複雑度クラスの数論的または代数的問題のリスト

さまざまな数論的/代数的問題の既知または未知の複雑さに関するリストを探しています。例えば、

GCD は開いていますが、 $NC^1$
因数分解が開いている、 $P$
計算束コホモロジーは -hard $\#P$ 、
アローラとバラクは、ファクタリングのバリアントは完全であると述べています（ただし、これはファクタリングのNP完全バリアントでの議論に基づいて明確ではありません）。 $NP$
Barbulescu et alの離散対数に関する画期的な研究。

Adlemanはかつてと焦点を当てたリストを公開していましたが、時代遅れのようです。Mumfordには、複雑性に関係なく、代数幾何学で計算可能なものに関する論文があります。 $P$ $NP$

これらのリストが公開されてからの（主要な）発見のリストを知っている人はいますか？

（上記のリストが公開されたため）複雑度クラスが既に既知である可能性のある数論的/代数的フレーバーの問題点は何ですか？

問題のいくつかの経路は、補間問題（さまざまなフィールドにわたる単変量または多変量）、中国の剰余定理、曲線上のポイントカウントの複雑さなどです。

— T ....
ソース

複雑さがわかっていないだけでなく、どこかにあると推測されていない問題だけが本当に必要ですか？Pとの間の中間にあることが推測されるので、それは非常に限定的だが、例えば整数の因数分解は、その質問を満たさないと

...しかし、私は思う（と希望）あなたはもう少し寛容な質問を意味します。そのようなリストを見るのは面白いでしょう。

U P \cap c o U P

$UP \cap coUP$

— ジョシュアグロチョフ

@JoshuaGrochowが広がりました。

— T ....

GCDはログスペースにあることがわかっていますか？

$\;$

いいえ、NC階層のどこにあるかは未解決の問題です。

— エミルイェジャベク3.0

回答:

代数幾何

明示的な品種のネーターの正規化補題（NNL）は現在（一般的なNNLのように）にあることが知られていますが、にあると推測されます（PITがブラックボックスであると仮定してます）ランダム化）。更新4/18/18：これは、最近さまざまなことが示されたがであり、有理数（上フォーブス＆Shpilka）、次いで、任意のフィールド（上郭、Saxena、＆Sinhababu）。 $\mathsf{EXPSPACE}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\overline{\mathsf{VP}}$ $\mathsf{PSPACE}$
与えられた多項式のセットに代数依存性があるかどうかをテストします。この問題は、最近であることが示されたによって郭、Saxena、＆Sinhababu（アッパーの結合前改善起因しMittmann、Saxena、＆Scheblechnerも上で、arXivのを）。 $\mathsf{AM} \cap \mathsf{coAM}$ $\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$
複雑な種類のトポロジ不変量を計算するためのいくつかの（arXiv）新しいアルゴリズムがあります（滑らかさなどのさまざまな制限付き）。これらのほとんどについて、最適な上限はまだ開いていると思います。
Hilbertのヌルステルレンサッツ（HN）：与えられた整数多項式は、それらが共通の複雑な解を持っているかどうかを決定し、GRH（Koiran）を仮定したます。あるかどうかは不明です。 $\mathsf{AM}$ $\mathsf{NP}$
特性ゼロにおける代数多様体の特異点の解決のためのアルゴリズム。現在のベストタイムは、上限に起因Bierstone、Grigoriev、ミルマン、及びWłodarczykである、種々の寸法であり、ある原始再帰関数のグジェゴルチク階層。（どんな？）この問題の下限が、関連の下限が知られている、一見非常に簡単な問題のために、すなわち特に良いはありませんされています。中に理想あり高々度で生成された変数必要と $\mathcal{E}^{d+3}$ $d$ $\mathcal{E}^{\bullet}$ $n$ $n$ $\mathcal{E}^{n+1}$ そのような発電機。したがって、特異点の解決の現在の上限は真実からそれほど遠くないかもしれませんが、実際にはほとんどわかっていません。

同型問題

置換基上の多くの問題-などコセット交差点、置換群同型としては、 -ている、彼らはにある場合、それは不明である、それは彼らことが疑われますはありません。グラフ同型はこれらの問題の大部分を削減するため、それらのより良い上限はGIのより良い上限を意味します。 $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$ $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$
特に、順列群同型の場合、現在の最適な上限は、そしてそれはで行うことができれば、それは開いている（唯一の置換基の程度ではなく、その順序に依存して）時間、おろかGIとコセット交差点等準ポリ時間。 $2^{O(n)}|G|$ $2^{O(n)}$
グループが乗算表によって与えられるグループ同型は、にあることが知られていますが、にあると疑われています。であることが知られているのためのいくつかのクラスのグループ：（及び更新4/18/18 カップル（arXivの）より（arXivのではなく、一般的には））。 $\mathsf{TIME}(n^{O(\log n)})$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

その他

更新4/18/18：任意のフィールドを超えるテンソルランクある -complete（シェーファー＆Stefankovic）。~~テンソル~~はを~~超えていますか？~~ -hard（Håstad）であることが知られており、有限体上ではます。 $\mathbb{F}$ $\exists \mathbb{F}$ ~~$\mathbb{Q}$ $\mathsf{NP}$~~ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$
より一般的には、上のテンソルに関する多くの問題は -hardですが、にあることは知られていません（HarlarとLim、arXivでも）。 $\mathbb{Q}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Adleman-McCurleyの調査は、21歳であっても、である $\mathsf{PRIMES}$ $\mathsf{P}$ ...

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

HNがNPにあることは不明です。あなたがしなければならないのは、各多項式の解をチェックすることだけですよね？

— T ....

I特異点の解決のギャップは何ですか？

— T ....

@Turbo：HNの場合、多項式は整数多項式ですが、解は、多項式のビット数はもちろんのこと、有限のビット数で表現する必要さえない複素数にすることができます。また、AMを取得するには、GRHが必要だと思います。

— ジョシュアグロチョフ

（最初に、HNがAMにあるという証明をGRHに依存しています。）@Turbo：入力は整数多項式のセットであるため、有限ビット数で定義されます。HNの明らかな証明書は、システムの解決策になります。しかし、ジョシュアが言うことは、そのようなソリューションの記述は必ずしも有限ビット数で表現できるとは限らないということです。したがって、多項式サイズの証明書を取得するにはほど遠いです！

— ブルーノ

@Nikhil：PITはNNLに上限を与えないため。ブラックボックスヒットセットは、限界を与えるものです。NNL（PITのPSPACEアルゴリズム）のすべての可能なヒットセットを列挙する際の問題は、それぞれについて特定のプロパティを検証する必要があり、検証はEXPSPACEにのみあることがわかっていることです。OTOHを使用すると、保証されたヒットセットを直接構築できる場合、基本的に確認する必要はありません。論文を読むとわかります。

— ジョシュアグロチョフ

ガロア理論と計算ガロア理論に重点を置いて、さらにいくつか追加します（cs.SEに関する関連質問を参照）。

整数上の与えられたmonic既約多項式がラジカルによって解けるかどうかを決定する計算の複雑さは、 Ref にあります。 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

ここでのArvindとKururによるいくつかのガロア理論問題の複雑性に関する上限の論文によれば、Landauの定理は、サイズの特定の定義の下で多項式のサイズの指数的な上限を与えます。より正確には、彼女の定理は、ガロア群のサイズと多項式のサイズに関して多項式限界を与えます。ただし、グループのサイズは、多項式のサイズで指数関数的になる可能性があります。ガロア群が可解である場合、オラクルを使用したランダム化多項式時間アルゴリズムによって順序を計算できます。 $NP$

MOのリンクされた質問から再現

— ニコス・M
ソース