理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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整数分解問題はRSA分解より難しいですか？？
これは、math.stackexchangeからのクロスポストです。 ような素数整数与えられた、FACTが整数因数分解問題を表すとしますn∈N,n∈N,n \in \mathbb{N},pi∈N,pi∈N,p_i \in \mathbb{N},ei∈N,ei∈N,e_i \in \mathbb{N},n=∏ki=0peii.n=∏i=0kpiei.n = \prod_{i=0}^{k} p_{i}^{e_i}. RSAは、およびが素数である因数分解問題の特殊なケースを示します。つまり、素数またはそのような因数分解がない場合はNONEを見つけます。n=pqn=pqn = pqp,qp,qp,qnnnp,qp,qp,q 明らかに、RSAはFACTのインスタンスです。FACTはRSAよりも難しいですか？多項式時間でRSAを解くオラクルを考えると、多項式時間でFACTを解くのに使用できますか？ （文献へのポインタは大歓迎です。） 編集1：計算時間の制限を多項式時間に追加しました。 編集2：Dan Brumleveによる回答で指摘されているように、FACTよりも難しい（または簡単な）RSAを支持する、または反対する論争がある論文があるという。これまでに次の論文を見つけました。 D.ボーネとR.ベンカテサン。RSAを破る方が、ファクタリングよりも簡単かもしれません。EUROCRYPT1998。http ：//crypto.stanford.edu/~dabo/papers/no_rsa_red.pdf D.ブラウン：RSAを破ることは、ファクタリングと同じくらい難しいかもしれません。Cryptology ePrint Archive、Report 205/380（2006）http://eprint.iacr.org/2005/380.pdf G.リアンダーとA.ラップ。汎用リングアルゴリズムに関するRSAとファクタリングの等価性について。ASIACRYPT2006。http ： //www.iacr.org/archive/asiacrypt2006/42840239/42840239.pdf D.アガーワルとU.マウラー。RSAを一般的に破ることは、ファクタリングと同等です。EUROCRYPT2009。http ：//eprint.iacr.org/2008/260.pdf 私はそれらを調べて結論を見つけなければなりません。これらの結果を知っている人は要約を提供できますか？
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mod_mゲートが興味深いのはなぜですか？
ライアン・ウィリアムズは、すべての可能なmについて、アンバウンドのファンインとゲートAND、OR、NOT、およびMOD_mを使用して一定の深さの回路を持つ問題のクラスであるACCに下限を投稿しました。 MOD_mゲートの特別な点は何ですか？ これにより、任意のリングZ_mで算術をシミュレートできます。 ライアンの結果の前に、MOD_mゲートをミックスにスローすると、既知の下限が機能しなかった最初のクラスが得られました。 MOD_mゲートを研究する他の自然な理由はありますか？
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グラフの選択可能性を下限にするには、いくつの異なる色が必要ですか？
頂点を色のセットにマッピングするすべての関数、すべての頂点に対してような色割り当てがある場合、グラフは選択可能（ -list- colorableとも呼ばれます）です。、すべてのエッジに対して。kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) ここで、グラフが選択できないと仮定します。つまり、頂点から有効な色の割り当てを持たない個の色のタプルまでの関数が存在します。私が知りたいのは、必要な色の合計はどれくらいですか？どれくらい小さくできますか？異なる色のみを使用する色付け不可能なを見つけることが保証されるような数（依存しないますか？GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) CSとの関連性があれば、つまり存在し、我々がテストすることができる定数の-choosability単独指数時間（ちょうどすべての試みを\ binom {N（K）}、{K}を^ n個の選択肢F、及びそれぞれについて、時間内に色付けできることをチェックしますk ^ nn ^ {O（1）}）。そうでなければ、n ^ {kn}のようなより急速に成長するものが必要になるかもしれません。N(k)N(k)N(k)kkkkkk(N(k)k)n(N(k)k)n\binom{N(k)}{k}^nfffknnO(1)knnO(1)k^n n^{O(1)}nknnknn^{kn}
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真の乱数発生器：チューリング計算可能？
「真にランダムな」数の生成がチューリング計算可能かどうかの決定的な答えを探しています。これを正確に表現する方法がわかりません。 「乱数生成のための効率的なアルゴリズム」に関するこのStackExchangeの質問は、私の質問に答えるところです。チャールズ・スチュワートは彼の答えで、「それ（マーティン・ロフの乱雑さ）は機械によって生成することはできません。ロス・スナイダーは、「決定論的なプロセス（チューリング/登録マシンなど）は、「哲学的」または「真の」乱数を生成することはできません。」真の乱数ジェネレーターの構成要素について明確で受け入れられている概念はありますか？もしそうなら、それはチューリング機械によって計算できないことが知られていますか？ おそらく関連する文献を示してくれれば十分でしょう。あなたが提供できる助けをありがとう！ 編集。知識豊富な答えをしてくれたIanとAaronに感謝します！私はこの分野では比較的学校に通っていませんが、支援に感謝しています。この補遺で質問を少し拡張することができます：ランダム性の純粋なソース（オラクル？）にアクセスできるTMは、古典的なTMではできない関数を計算できるのでしょうか？
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理論でエラー訂正コードを使用する
エラー修正自体以外の理論上のエラー修正コードの用途は何ですか？私は3つのアプリケーションを知っています。ハードコアビットに関するゴールドライヒ-レビンの定理、抽出器のトレビザンの構築およびブール関数の硬さの増幅（スーダン-トレビサン-バダンによる）。 エラー修正コードの他の「深刻な」または「レクリエーション」アプリケーションとは何ですか？ UPD：Reed-Solomonコードのリストデコードの面白いアプリケーションの1つは、20問のゲームの特定のバリエーション（および別の、より簡単なバリエーション）に対するソリューションです。
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アドバイザーの意志に反する単著者論文ですか？
私は、理論的なCSの分野で3年生の博士課程の学生であり、アドバイザーとの困難な状況に対する助言を求めています。 私の顧問は、私の研究プロジェクトには一切関与していません。特に、私はすべての論文のアイデアを思いつき、単独で論文を実行しました。ただし、彼女は常に自分の名前を共著者として追加することを主張しています。私は自分の研究に非常に一生懸命に取り組んでおり、そのことを認めるべきだと信じているため、これはますます気になり始めています。さらに、彼女はいじめっ子であり、私を非常にひどく扱います。そのため、この方法で彼女に利益をもたらすことはさらに難しくなります。 最近の論文で、著者がIEEE 1またはACM 2の著者のガイドラインを満たしているとは思わないことを取り上げ、自分が論文の唯一の著者であると信じていることを伝えました。彼女は目に見えて怒っていたが、彼女は著者であってはならないことに同意した。彼女は私がこれを行うのは「変人」であり、アドバイザーは学生の仕事を評価し、アドバイザーと一緒に出版することは単独で出版することと同じであることを誰もが既に知っていると言いました。しかし、最も重要なことは、彼女は、私が教授と仕事をしていないので、「大学とは関係がない」という理由で、彼女の名前を複数のトップティアの論文に追加しないと、私の提案/論文を承認しないと私に言った、したがって、私の博士号を受け取ることができません。 明らかに、新しいアドバイザーが必要です。しかし、私の研究領域には私の部署には誰もいません。研究分野や部門の切り替えはオプションではありません。したがって、残りのオプションは次のとおりです。 （1）彼女の名前をさらにいくつかの論文に追加します。それは非倫理的であり、このオプションで何かが得られる保証もないため、私はこの考えが好きではありません。私は彼女にたくさんの論文を受け取った後、彼女は単に私を推薦することを単に拒否することができました。 （2）彼女の脅威を無視し、著者一人の論文を出版しながら博士号を取得するように強制します。私はすでにまともな出版記録を持っているので、彼女が私を卒業させるのを止めることができるとは思わないし、おそらく私の仕事を出し続けるだろう。私には交わりがあるので、彼女は私の資金をコントロールできません。この場合、明らかに推薦状はありません。一方、私は多数の単著者論文を持っています。 （3）無関係な研究領域の教授に私のアドバイザーになるよう説得してみてください。私は独立しており、自分で仕事をすることができると強調しています。私の学部には数人の理論教授がいますが、それらは全く異なる分野です。これがうまくいくかどうかはわかりません。 （4）部門の椅子に行き、彼に全体の話をして、何をすべきか尋ねます。 私は何をすべきだと思いますか？
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GCTを学習するための前提条件
幾何学的複雑性理論は、代数幾何学、表現理論などの純粋な数学の多くの知識を必要とするようです。 私はCSの学生であり、非常に抽象的で純粋な数学のクラスはありませんが、このプログラムに興味があります。 この理論を学習するための「最小知識」のリストはありますか？ このリストには、CSまたは数学部門の講義ノート、任意のジャーナルまたは会議の調査、および純粋な数学の教科書が含まれています。 [ 編集：後で追加 ]コメントありがとうございます。 コンピューティングの一般理論：「計算理論の紹介」というタイトルのSipserの本を読みました 複雑性理論：特に、複雑性の下限の具体的なモデルに興味があります。したがって、私はアロラ・バラクの教科書の「具体的な下限」の部分を読みました。また、Nisanが書いたコミュニケーションの複雑さの本のいくつかの章に、基本的な知識があります。 基本的な数学：ベクトル空間などの一般的な定義や、イプシロン-デルタ引数に基づく計算の正確な引数など、証明ベースの線形代数について学びました。 代数：グループ、リング、フィールドの定義と例について学びました。私はcsの学生のためのクラスを持っていましたが、この代数システムの一般的な理論については学びませんでした。
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MulmuleyのGCTプログラム
Ketan Mulmuleyの幾何学的複雑性理論は、P対NP質問のような複雑性理論の未解決の問題を解決するための唯一のもっともらしいプログラムであると時々主張されます。このプログラムについて、有名な複雑性理論家からのいくつかの肯定的な解説がありました。Mulmuleyによると、目的の結果を達成するには長い時間がかかります。一般的な複雑性理論家にとっては、この領域に入ることは容易ではなく、代数幾何学と表現理論を理解するためにかなりの努力が必要です。 GCTがP対NPを安定させることができると考えられるのはなぜですか？そこに到達するために100年以上かかると予想される場合、クレームの価値は何ですか？他の現在のアプローチに対する利点は何ですか？また、今後100年間で上昇する可能性のあるアプローチは何ですか？ プログラムの現在の状態は何ですか？ プログラムの次の目標は何ですか？ プログラムに根本的な批判はありましたか？ 私は、代数幾何学と表現理論からの最小限の背景を想定した一般的な複雑性理論家が理解できる答えを好むでしょう。
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Church-Turing論文のインタラクティブな計算モデルへの適用性
Paul WegnerとDina Goldinは10年以上にわたり、主に教会チューリングの論文がしばしばCS理論コミュニティや他の場所で誤って伝えられていると主張する論文や本を出版してきました。つまり、実際にはすべての計算の非常に小さなサブセットである関数の計算にのみ適用される場合、すべての計算を包含するものとして表示されます。代わりに、計算中に外部との通信が発生するインタラクティブな計算のモデル化を模索する必要があることを示唆しています。 この作品について私が見た唯一の批評は、ラムダ・ザ・アルティメット・フォーラムです。そこでは、明らかに知られていることを継続的に公開したことで、誰かがこれらの著者を嘆きました。私の質問は、この考え方、特に永続的チューリングマシンに対する批判がこれ以上ないかということです。そうでない場合、なぜそれが一見非常にほとんど研究されていないのですか（私は間違っているかもしれません）。最後に、普遍性の概念はどのようにインタラクティブなドメインに変換されますか。
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Han's時間、線形空間、整数ソートアルゴリズム
Yijie Hanの、線形空間、整数ソートアルゴリズムに精通している人はいますか？この結果は、かなり短い論文（時間と線形空間での決定論的ソート。J. Alg。50：96–105、2004）に表示されます。適応。私の問題は、詳細に深く入り込むことなく、かなり手を振って書かれていることです。これは以前の論文に大きく依存しており、中でも特にHanによる別の論文（線形空間での高速整数ソートの改善）O(nloglogn)O(nlog⁡log⁡n)O(n \log\log n)O(nloglogn)O(nlog⁡log⁡n)O(n \log\log n)。Information and Computation 170（1）：81–94）はほぼ同じスタイルで書かれています。私はこれらの2つの論文、特に以前の結果をどのように適合させて使用するかを理解するのに大きな困難を抱えています。助けていただければ幸いです。 もちろんこれはあまりに広範で曖昧すぎて適切な質問とは言えませんが、明確に定義されたいくつかの質問と回答にまたがって議論を展開したいと思っています。 先に進むために、ここに私の最初の具体的な質問があります。情報の補題2で。比較 論文には、それぞれが RAMワードにパックされた小さな整数のセットでm番目に小さい整数を見つけるための、再帰的な時間アルゴリズムがあります。アルゴリズムの説明では、ベースケース処理方法については言及していません。この場合、時間で選択を行う必要があり。これをどのように行うことができますか？O(n/klogk)O(n/klog⁡k)O(n/k \log k)nnnkkkk=O(n)k=O(n)k=O(n)O(logk)O(log⁡k)O(\log k)
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四色定理を暗示する推測
4色定理（4CT）は、すべての平面グラフが4色付け可能であると述べています。[Appel、Haken 1976]と[Robertson、Sanders、Seymour、Thomas 1997]によって与えられた2つの証明があります。これらの証明は両方ともコンピューター支援であり、非常に威圧的です。 グラフ理論には、4CTを暗示するいくつかの推測があります。これらの推測の解決には、おそらく4CTの証拠のより良い理解が必要です。そのような推測の1つを次に示します。 推測：平面グラフ、Cを色のセット、f ：C → Cを固定小数点の自由なインボリューションとします。ましょL = （LのV：V ∈ V （Gが））ようなものでGGGCCCf：C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = （Lv：V ∈ V（G ））L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) すべてのためのV ∈ Vと| Lv| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4V ∈ Vv∈Vv \in V もし次いで、F （α ）∈ LのVすべてのためのV ∈ Vすべてについて、α ∈ C。α ∈ Lvα∈Lv\alpha …
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NP困難問題のための最適な欲張りアルゴリズム
より良い言葉がないので、欲は良いです。アルゴリズム入門コースで教えられた最初のアルゴリズムパラダイムの1つは貪欲なアプローチです。貪欲なアプローチは、Pの多くの問題に対してシンプルで直感的なアルゴリズムをもたらします。さらに興味深いことに、一部のNP困難な問題については、明白で自然な欲張り/ローカルアルゴリズムが（適切な複雑性の理論的仮定の下で）最適な近似係数をもたらします。典型的な例はSet Cover Problemです。自然な欲張りアルゴリズムは、P = NPでない限り最適なO（ln n）近似係数を与えます。 適切な複雑さの理論的仮定の下で証明可能な最適であるNP困難問題のいくつかの自然な欲張り/ローカルアルゴリズムに名前を付けます。
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最終学年の高校生のための感動的な話
学部からは、高校1年生にコンピューターサイエンスのより数学的な要素について話し合うように依頼されることがよくあります。TCSから関心を喚起する可能性のあるトピック（主にHaltingの問題に関係するもの）を選択するように最善を尽くしますが、他の人のアイデア/成功/失敗を聞きたいです。 これらは、まともな大学でCS学士号を申請することを検討している生徒であるが、数学や他の科学にもっと引き付けられる可能性があるということです。最短経路アルゴリズムやより高速な並べ替え方法の通常のトピックは、彼らの興味をそそるのに実際にはもはや機能しないことがわかります。
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Pの多くをキャプチャする帰納法のないロジックはありますか？
Immerman-Vardiの定理は、 PTIME（又はP）は、秩序構造のクラスの上に、固定小数点演算子とともに第1順序論理の文によって記述することができる言語のクラスが正確であることを述べています。固定小数点演算子は、最小固定小数点（ImmermanおよびVardiで検討）またはインフレ固定小数点のいずれかです。（Stephan Kreutzer、最小およびインフレ固定小数点論理の表現的同等性、純論と応用論理の年報130 61–78、2004）。 ユリ・グレビッチは、PTIMEを捕捉するロジックはないと推測しました（論理とコンピューターサイエンスの挑戦、理論的コンピューターサイエンスの現在の動向、エゴンボーガー編1-57、コンピューターサイエンスプレス、1988年）。あまり確実ではありません（ロジックキャプチャPTIME、FOCS 2008）。 固定小数点演算子は、再帰の力をキャプチャするためのものです。固定小数点は強力ですが、必要であることは私には明らかではありません。 FOL + XがPTIMEの（大きな）フラグメントをキャプチャするような、固定小数点に基づかない演算子Xはありますか？ 編集：私が理解する限り、線形ロジックは、非常に制限された形式を持つ構造に関するステートメントのみを表現できます。理想的には、固定小数点を避けながら、リレーショナル構造の任意のセットのプロパティを表現できるロジックへの参照またはスケッチを参照したいと思います。線形論理の表現力について間違っている場合は、ポインタまたはヒントを歓迎します。
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