Pの多くをキャプチャする帰納法のないロジックはありますか？

Immerman-Vardiの定理は、 PTIME（又はP）は、秩序構造のクラスの上に、固定小数点演算子とともに第1順序論理の文によって記述することができる言語のクラスが正確であることを述べています。固定小数点演算子は、最小固定小数点（ImmermanおよびVardiで検討）またはインフレ固定小数点のいずれかです。（Stephan Kreutzer、最小およびインフレ固定小数点論理の表現的同等性、純論と応用論理の年報130 61–78、2004）。

ユリ・グレビッチは、PTIMEを捕捉するロジックはないと推測しました（論理とコンピューターサイエンスの挑戦、理論的コンピューターサイエンスの現在の動向、エゴンボーガー編1-57、コンピューターサイエンスプレス、1988年）。あまり確実ではありません（ロジックキャプチャPTIME、FOCS 2008）。

固定小数点演算子は、再帰の力をキャプチャするためのものです。固定小数点は強力ですが、必要であることは私には明らかではありません。

FOL + XがPTIMEの（大きな）フラグメントをキャプチャするような、固定小数点に基づかない演算子Xはありますか？

編集：私が理解する限り、線形ロジックは、非常に制限された形式を持つ構造に関するステートメントのみを表現できます。理想的には、固定小数点を避けながら、リレーショナル構造の任意のセットのプロパティを表現できるロジックへの参照またはスケッチを参照したいと思います。線形論理の表現力について間違っている場合は、ポインタまたはヒントを歓迎します。

一部の人々がグレーデルの定理と呼ぶものを見てみたいと思います。これは、Papadimitriouの本「Computational Complexity」（176ページの定理8.4）またはGrädelのオリジナルの論文で見つけることができます。

一言で言えば、グレーデルの定理はPに対するものであり、ファギンの定理はNPに対するものです。それは、後継関係を持つ有限構造のクラスで、多項式時間決定可能特性のコレクションが、実存的二次論理のホーン断片で表現可能なものと一致することを述べています。これらはという形式の2次論理の文です。 ここで、は2次関係変数のシーケンス、は1次変数のシーケンス、は、数量詞のない式であり、CNF形式で記述された場合、 -Horn節（つまり、の変数に関係する最大で1つの非否定アトムを持つ節）の組み合わせです。

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$$R$

私が理解している限り、線形論理は非常に制限的な形式の構造に関するステートメントのみを表現できます。理想的には、固定小数点を避けながら、リレーショナル構造の任意のセットのプロパティを表現できるロジックへの参照またはスケッチを参照したいと思います。線形論理の表現力について間違っている場合は、ポインタまたはヒントを歓迎します。

これは正しくありません。すべての残差可換モノイド格子は線形論理のモデルです。有限グラフからそのようなラティスを作成する簡単な方法を次に示します。セットから始める

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

したがって、強制関係はになり、直観はは式によって「所有」されたノードのセットであるということです。部分的な操作として定義されます： $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

これは、グラフが等しく、所有セットが互いに素である場合、所有セットをマージすることにより2つの要素を結合します。

これで、線形論理のモデルを次のように指定できます。

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

このモデルは、実際にはヒープを操作するプログラムの検証で広く使用されている分離ロジックで使用されているものの変形です。（必要に応じて、グラフをヒープのポインター構造と考えてください。これは正確です！）

しかし、これは実際には線形論理について考える正しい方法ではありません。その真の直観は証明理論であり、複雑さへの接続はカット除去定理の計算の複雑さによってもたらされます。線形論理のモデル理論は、その証明理論によって投げかけられた影です。

PTIMEをキャプチャするロジックの検索に関する最近の刺激的な結果があります。ただし、Cai、Fürer、およびImmermanによる有名な例は、LFP + CがPTIMEをキャプチャしないことを示していますが、見かけ上は人工的なクラスのグラフに基づいています。もちろん、LFP + Cの制限を示す特定のタスクのために構築されました。最近になってようやく、Dawarによって、このクラスはまったく人工的なものではないことが示されました。むしろ、LFP + Cが線形方程式系を解けないという事実の例とみなすことができます！

したがって、Dawar、Grohe、Holm、およびLaubnerは、線形代数からの演算子、たとえば、定義可能な行列のランクを定義する演算子によって論理を拡張しました。結果のロジックLFP + rankは、LFP + Cよりも厳密に表現できます。実際、LFP + rankが表現できない既知のPTIMEプロパティはありません。

FO + rkでさえ驚くほど強力であり、決定論的で対称的な推移的閉包を表現できます。グラフの一般的な推移的閉包を表現できるかどうかはまだ開いています。

「キャプチャ」の意味に応じて、Yves LafontのSoft Linear LogicとPolynomial Timeが興味深いかもしれません。文字列を入力または出力0または1として使用するこのロジックおよびPTIMEアルゴリズムには、1対1の対応があります。

線形論理に関するウィキペディアの記事はこちらです。これは、定点ロジックではありません。「ブール代数の代わりに代数に対する古典的論理」の直感は、私にとって理解しやすいものです。$C^*$

この問題に関するいくつかの古い研究は、ここでもリニアロジックの分野で、Jean-Yves Girard、Andre Scedrov、およびPhilip Scottです。有界線形論理：多項式時間計算可能性へのモジュール式アプローチ。理論計算機科学、97（1）：1–66、1992。

最近の研究には、Ugo Dal LagoとMartin Hofmannが再訪したBounded Linear Logicが含まれます。