GCTを学習するための前提条件

幾何学的複雑性理論は、代数幾何学、表現理論などの純粋な数学の多くの知識を必要とするようです。

私はCSの学生であり、非常に抽象的で純粋な数学のクラスはありませんが、このプログラムに興味があります。

この理論を学習するための「最小知識」のリストはありますか？

このリストには、CSまたは数学部門の講義ノート、任意のジャーナルまたは会議の調査、および純粋な数学の教科書が含まれています。

[ 編集：後で追加 ]コメントありがとうございます。

コンピューティングの一般理論：「計算理論の紹介」というタイトルのSipserの本を読みました

複雑性理論：特に、複雑性の下限の具体的なモデルに興味があります。したがって、私はアロラ・バラクの教科書の「具体的な下限」の部分を読みました。また、Nisanが書いたコミュニケーションの複雑さの本のいくつかの章に、基本的な知識があります。

基本的な数学：ベクトル空間などの一般的な定義や、イプシロン-デルタ引数に基づく計算の正確な引数など、証明ベースの線形代数について学びました。

代数：グループ、リング、フィールドの定義と例について学びました。私はcsの学生のためのクラスを持っていましたが、この代数システムの一般的な理論については学びませんでした。

簡単な答え：GCTの計画の前半を理解するための数学の本当に最小限の知識は、グループ、リング、およびフィールドの少しを見た後、基本的に私の論文の第3章（恥知らずな自己プラグ）。しかし、この章は、物事の表現理論の部分に到達しないという点で不完全です。表現理論は、計画の後半に不可欠です（だから、その章を含めて、この章を拡張することに取り組んでいます）。

あなたが本当にGCT、に取得したい場合はグッドマンとウォラックによって対称性、表現、および不変条件とアクションとW. Ferrersのサントスによる代数群の不変の両方の比較的自己完結型であり、GCTに関連ある良い情報をたくさん持っています。私がこの資料の多くを学んだ後に彼らについて学んだので、彼らが学ぶのに最適なソースであるかどうかはわかりませんが、彼らはGCTに関連するものに対するカバーするものの比率の点で良いです。フルトン・アンド・ハリスは表現理論に優れており、本の例/運動の多くはGCTに関連しています。

長い答え：それは本当にビジェイが指摘したように/どのくらいあなたは、GCTについて学びたいかに依存します。以下のトピックは、それが問題であったため、必要な背景だと思うものです。これが完全なリストであるかどうかはわかりません。GCTに関する論文のいくつかを読むことをお勧めします。迷った場合は背景資料を探してください。背景資料を学習しているときに、GCTの論文に頻繁に戻って、さらにフォローできるかどうかを確認してください。

（何を学びたいかに応じて、最初に大学院の可換代数を試してみるべきだとZeyuに反対しますが、GCTの学習のある時点でこれが必要になります。）

たとえば、Mulmuleyの最近のFOCS論文を理解する場合は、次のことを理解してください。

• 硬度対ランダム性の原則（Impagliazzo--Kabanetsを参照してください。また、Bill Gasarchの硬度vランダム性に関する論文リストも参照してください）
• HilbertのNullstellensatzおよびNoetherの正規化補題までの基本的な代数幾何学。これらは代数幾何学に関する基本的な教科書とおそらくそれに関するほとんどの講義ノートで見つけることができます。
• いくつかの古典的な不変理論（この論文では、幾何学的不変理論、スキーム、およびMumford-Fogarty-Kirwan本は本当に必要ありません）。Sturmfelsの本 『Invariant Theoryのアルゴリズム』が思い浮かびます。
• 紙で一定の成果については、一般的には紙でないこと、あなたは（そしてこれらの文献は、紙で見つけることができます）のいくつかの場合があります：の表現論のように、フルトンとハリス、行列の不変量の結果を[ Artin、Procesi、Razymslov]、...$SL_n$

GCTアプローチの一般的な概要を理解したいが、数学的な詳細が必要な場合は、以下をお勧めします。

• 永続的な問題と決定要因の問題。#P-パーマネントの完全性およびGapL-行列式の完全性。Agrawalにはこれに関する優れた調査（非常にわずかに古い）があり、完全性の証明はBurgisserの著書 『Completeness and Reductions in Algebraic Complexity Theory』にあります。

• グループとグループアクション（代数グループと代数グループアクションは役立ちますが、このレベルでは必要ありません）。Orbit-Stabilizerの定理を理解する必要があります。

• ヒルベルトのヌルステルレンサッツによるアフィン代数幾何学。基本的には、アフィン代数多様体とそれらの座標環の間の対応を理解する必要があります。

• フルトンとハリスのような基本的な表現理論。基本的な定義とは別に、これらの表現の完全な還元可能性、および表現がパーティションによって分類されているという事実を知る必要がありますが、必ずしも後者の証明/構造を知る必要はありません。 G L $GL_n$$GL_n$

何が起こっているかを深く理解したい場合（そして、まだそこにいると主張できるかどうかはわかりませんが、そこに到達するために知っておくべきことは知っていると思います）、おそらく理解すべきです：

• 還元的代数群の構造とそれらの表現における軌道閉包。以下のようなI W. Ferrersのサントスの著書このため、だけでなく、ボレルによる線形代数群、ワイルによってクラシックグループ、および他の古典。

• Luna-Vustの機械（Lunaのスライス定理、Luna-Vustの複雑さ）

• Tannakian Duality（Deligne--Milneの論文を参照してください。これは、カテゴリー理論およびアフィン代数群の背景がなくても読むのは難しいでしょう）。これは本質的に「（プロ）アフィン代数群はそれらの表現によって決定される」と言っています。表現のカテゴリからグループを回復する方法（Cor。3.4）ほど、論文全体は必要ないと思います。

• 特に代数群とそれらの軌道閉鎖の座標環に適用されるような、より多くの表現理論。GoodmanとWallachのこの本は本当に気に入っています。特に基本的に自己完結型であり、GCTを理解するために必要なものがたくさんあるためです。（また、フルトンとハリスの説明/サイドセクションと演習の多くは、特にリトルウッドリチャードソン係数とクロネッカー係数に関するGCTにとって重要です。）

実際に表現理論に取り組みたい場合は、おそらく、より代数的な組み合わせ論/組み合わせ表現論を理解する必要があります。私はこれに関するすべての正しい参照を本当に知りませんが、リトルウッド・リチャードソンの規則を確実に理解することは必須であり、フルトンの本ヤングタブローはこれに適しています。

私が知っているこの側面に関する最新の論文は、Blasiak、Kumar、Bowman、De Visscher、Orellanaです。

どの方向に進むかによっては、量子グループを調べることもできますが、これは必ずしも必要ではありません（注：これらはグループの特殊なケースではなく、特定の方向への一般化です）。

物事の多くの幾何学的な面では、あなたは接線とosculatingスペース、曲率、デュアル品種のための微分幾何学のようなものに見たいと思うでしょう、下の既知原因にパーマ対DETにバインド最高の根底にしている、などのミニョンを--RessayreおよびLandsberg--Manivel--Ressayreが続きます。（ミニョン- Ressayreは、これらのもののいずれかなしに理解されることができますが、特定の品種の曲率を研究として緩く彼らの論文を表示することができ、少ない緩いビューのために、デュアル品種の使用を参照ランツベルク- Manivel - Ressayreを。 ）（Mignon--Ressayreをすべての奇妙な特性に拡張するCai、Chen、およびLiも参照してください。）LandsbergおよびKadishも参照してください。

行列乗算へのGCTアプローチに興味がある場合、それはすべてテンソルランク、境界ランク、およびセカント多様体に関するものです。ブルギッサーの論文をご覧になることをお勧めします。イケンマイヤー、ランツバーグとオッタヴィアーニ、ランズバーグ、ランズバーグの調査と本。もちろん、行列乗算の古典的なもの（上限と下限の両方）を知っておくのもよいでしょうが、それはまったく別のワームの缶です。