タグ付けされた質問 「computability」

計算可能性理論、つまり再帰理論。

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暗い整数：インターネットルーターでの汎用計算
グレッグイーガンのフィクション「Dark Integers」（算術の矛盾の周りの定理を証明することによって通信する2つの異なる数学を持つ2つの宇宙に関する物語）は、その基本機能のみを使用して既存のインターネットルーター上で汎用コンピューターを構築することが可能であると主張していますパケット交換（および正確には、チェックサム修正）の。 これは原則として可能ですか？ 更新。 質問をより正確にするには： その上に汎用コンピューターを構築できるようにするために、ルーターネットワークに必要なプロパティの絶対最小限のセットは何ですか？
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と「2番目に大きい」
HT(n)HT(n)HT(n)nnnBB(n)=maxHT(n)BB(n)=maxHT(n)BB(n) = \max HT(n) 2番目に大きい数については何と言えますか？これをます。B B 2（n ）HT(n)HT(n)HT(n)BB2(n)BB2(n)BB_2(n) BB2(n)BB2(n)BB_2(n)は、計算できるため、簡単に計算できません。もう1台のマシンが停止するのを待つだけです。単純に、ギャップは「ビジービーバーのような」ものであり、計算可能な関数よりも速く成長すると予想されます。これは証明可能ですか？B B （n ）BB（n）BB(n)B B （n ）− B B2（n ）BB（n）−BB2（n）BB(n) - BB_2(n)
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停止する問題からの減少によるものではなく、決定不能の証拠
決定不能性を証明する通常の方法は、停止問題、1次論理の有効性、ディオファントス方程式の充足可能性などのRE完全問題からの削減です。 再帰的に列挙可能であるが、RE-completeではない未決定の問題があることが知られていますが、これらは人為的な構造（つまり、この「密度」結果を示すためだけに定義されたセット）です。 RE-complete問題を減らすことなく、決定不能性の証明にどのように取り組むでしょうか？対角化？
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機械的にプログラムを実装できますか？
たとえばMicrosoft Wordの単一の目的（チューリング以外の完全な）機械的実装を構築することは可能ですか？反復子、一次関数、プログラミング技術の全範囲などを実装することは可能ですか？歯車やその他の機械部品は、データ構造やプログラムオブジェクトを表すことができますか？ある時点で、これは汎用のチューリングと同等のマシンを構築することを必要としますか、または各機能、変数などは、フライホイールおよび/またはギア、ラチェットの形で独自の機械的構造を持つことができますか？要約すると、標準的なコンピューター上の特定のソフトウェアを機械的な設計図にコンパイルできるかどうか疑問に思います。
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相対化不可能な証明の自然な例は何ですか？
私が理解しているように、P = NPまたはP≠NPであるという証明は、相対化不可能である必要があります（再帰理論のオラクルのように）。 ただし、事実上すべての証明は相対化可能のようです。 非の良い例は何ですかP = NP / P≠NP証明が必要な、相対論証明のですか？ （私は再帰理論家ではないので、引用の欠如をご容赦ください。） [編集：mathoverflowの投稿を改善]
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Oracle Turingマシンの停止問題に関する情報の圧縮
停止の問題は計算できないことがよく知られています。ただし、停止している問題に関する情報を指数関数的に「圧縮」することが可能であるため、それを解凍することは計算可能です。 より正確には、チューリングマシンの記述とnビットのアドバイスステートから、アドバイスステートが信頼できると仮定して、2 n − 1 個のチューリングマシンすべての停止問題に対する答えを計算することができます。アドバイザーにビットを選択させて、チューリングマシンの数をバイナリで停止させ、その数が停止するまで待ち、残りが停止しないことを出力させます。2n−12n−12^{n}-1nnn2n−12n−12^{n}-1 この引数は、Chaitinの定数を使用して停止問題を解決できるという証拠の単純な変形です。私が驚いたのは、シャープだということです。チューリングマシンの記述から計算可能なマップはありません。nビットのアドバイスは、チューリングマシンの各タプルに対して、ビットのタプルに対して正しい答えを得る2 nビットの停止出力を示します。もしあれば、2 n個のチューリングマシンのそれぞれが、nビットの2 n個の可能な配置の1つでプログラムが何をするかをシミュレートし、予測に違反する独自の停止状態を選択することにより、対角化によって反例を生成できます。2n2n2^nnnn2n2n2^n2n2n2^n2n2n2^nnnn オラクルが停止しているチューリングマシンの停止問題に関する情報をまったく圧縮することはできません（何らかのオラクルにアクセスすることなく）。マシンは、すべての可能な入力で予測したものをシミュレートし、停止しない入力を無視し、停止時間を選択して、入力で予測しなかった辞書式の最初の回答を与えます。 これは私に他の神託のために何が起こるかについて考えるように動機づけました： オラクルを使用したチューリングマシンの停止問題を線形と指数の間の中間の成長率で圧縮できるオラクルの例はありますか？ より正式には、オラクルが与えられた場合、最大mとし、次の計算可能な部分関数が存在するようにします。f(n)f(n)f(n)mmm機械とチューリングオラクルのnビットを m個のそれぞれについてように、ビットは、 m個のオラクルチューリングマシンのタプル、あります N個のその入力に基づいて評価関数の値に等しいビットのタプル、 m個のタプル 1停止し、その各Oracleチューリングマシンのを 0各Oracle用の永久実行するマシンをチューリング。mmmnnnmmmmmmnnnmmm111000 オラクルはありますか？ω （n ）= f （n ）= o （2 n）のオラクルはありますか？n&lt;f(n)&lt;2n−1n&lt;f(n)&lt;2n−1n<f(n)<2^{n}-1ω(n)=f(n)=o(2n)ω(n)=f(n)=o(2n)\omega(n)=f(n)=o(2^n)
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ラムダ計算は、計算可能性の直感的な概念をどの程度正確にキャプチャしますか？
私は何を、なぜ、どのように -calculusに巻き込もうとしていましたが、「なぜそれが機能するのか」を理解することができませんか？λλ\lambda 「直感的に」Turing Machines（TM）の計算可能モデルを取得します。しかし、この -abstractionは、私を混乱させます。λλ\lambda TMが存在しないと仮定しましょう-そして、計算可能性のこの概念をキャプチャする -calculusの能力について、どのようにして「直感的に」納得させることができますか。すべての機能とその構成可能性のために多数の機能を持つことは、どのように計算可能性を意味しますか？ここで何が欠けていますか？私はそのことについてアロンゾ教会の論文を読んでいますが、私はまだ混乱しており、同じものについてより「くすんだ」理解を探しています。λλ\lambda
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空の問題を決定できない最も単純な計算モデルは何ですか？
空の問題を決定できない最も単純な計算モデルは何ですか？ 計算モデル（たとえば、有限状態オートマトン、交互プッシュダウンオートマトン、カウンター付き限定誤差量子オートマトン、決定論的LBAなど）の空の問題は、そのようなマシンについて、このマシンが認識/定義する言語かどうかを判断することです。空です。ここで、マシンの説明は有限でなければなりません！ 「最も単純」という言葉は少し曖昧であることを知っています。比類のない計算モデルには、複数の答えがあります。 特別な発言として、単項アルファベットとバイナリアルファベットに別々に焦点を当てることで、質問がより興味深いものになると思います。 多くの計算モデルがあることを注意れる停止問題は決定可能であるが、空虚の問題（および他のいくつかの問題は）（あり）決定不能であり、例えば線形有界オートマトン（LBAの）。
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アルゴリズムがない場合に時間制限を設定できる決定可能な問題はありますか？
問題を解決するアルゴリズムがない場合、入力インスタンスの長さnの関数として時間制限を与えることができるような決定可能な問題はありますか？ 次のことを考えていたので、この質問にたどり着きました。 再帰的に列挙できるが、決定できない問題があると仮定します。さらに、私は問題の「はい」インスタンスであると仮定します。次に、問題の「はい」インスタンスを識別するアルゴリズムがない場合、Iのサイズnに関して時間制限を与えることができます。時間制限を超えた場合、私は「ノー」インスタンスであると結論付けます。 再帰的に列挙可能で決定不可能な問題（「yes」インスタンスの計算時間）に時間制限を与えることはできないので、時間制限を与えることができない決定可能な問題もあるのではないかと思っていました。
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しきい値の質問を有限の質問に減らす
通常、制限は「多項式時間で計算可能」のようなしきい値ではなく、計算の有限性である計算について推論する方が簡単です。 例えば形式言語理論では、むしろ使用する非周期モノイドを特徴付けるために、そのようprofinite単語を使用することが容易であり、X ω + 1 = X ω。∃n.xn+1=xn∃n.xn+1=xn\exists n. x^{n+1} = x^nxω+1=xωxω+1=xωx^{\omega+1} = x^{\omega} 複雑さの理論では、それに関連する唯一のテクニックは、たとえばP対NPの問題をEXPTIME対NEXPTIMEにリンクするパディングトリックです。しかし、複雑さの質問に自然に相当するものは、計算可能性のものです 複雑性理論のリソースしきい値が計算可能性理論の計算の有限性の質問になるように、何らかのエンコーディングを使用して計算可能性の質問に複雑さをリンクする結果がありますか？
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弱い記述言語によるコルモゴロフの複雑さ
文字列のコルモゴロフの複雑さを最短プログラム長さと考え、ようなを入力できます。通常、これらのプログラムはチューリング完全なセットから引き出されます（はチューリングマシンの記述、またはLISPまたはCのプログラムである可能性があります）。リソースに制限のあるKolmogorovの複雑さを見るときでも、Turingマシンを調べますが、ランタイムまたはスペースの使用には限界があります。この結果の1つは、文字列の複雑さが決定できないことです。これは厄介な機能のようです。xxxPPPyyyx=P(y)x=P(y)x = P(y)PPP 非チューリング完全計算モデルを使用してコルモゴロフ複雑度を定義するとどうなりますか？ 十分に制限されたモデルを選択すると（モデルはアイデンティティのみを実装できるなど）、文字列の複雑さは決定可能になりますが、不変性の定理も失われます。チューリング完全モデルと同等の複雑さ（一定のオフセット、または乗法因子まで）を持つほど強力なモデルを作成することはできますか？チューリング以外の完全な計算モデルを備えたコルモゴロフの複雑さの標準名はありますか？これについてどこでもっと読むことができますか？
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通信後問題のバリアント
これはおそらく非常に簡単ですが、標準的なポスト通信問題を考慮してください。 所与のおよびβ 1、... 、β N、インデックスのシーケンスを見つけるiは1、... 、iがKようにα I 1 ⋯ α I K = β Iを1 ⋯ β I Kを。もちろん、これは決定不能です。α1,…,αNα1,…,αN\alpha_1, \ldots, \alpha_Nβ1,…,βNβ1,…,βN\beta_1, \ldots, \beta_Ni1,…,iKi1,…,iKi_1, \ldots, i_Kαi1⋯αiK=βi1⋯βiKαi1⋯αiK=βi1⋯βiK\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1}\cdots \beta_{i_K} 今、私はこれを「バリアント」と呼んでいますが、実際にはそうではありません。本質的に「対応」を捨てます。とにかく、次のバリアントを検討してください。 所与のおよびβ 1、... 、β N、検索2つのインデックスのシーケンスI 1、... 、I K、J 1、... 、JのKようα I 1 ⋯ α I K = β jは1 ⋯ β …
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PまたはNPをキャプチャするVOロジックの自然な制限はありますか？
紙 Lauri HellaとJoséMaríaTurull-Torres、 高次論理を使用したクエリの計算、TCS 355 197–214、2006。doi：10.1016 / j.tcs.2006.01.009 ロジックVO、可変順序ロジックを提案します。これにより、変数の次数の定量化が可能になります。VOは非常に強力で、計算不可能なクエリを表現できます。 （以下のArthur Milchiorが指摘したように、分析階層の全体を実際にキャプチャします。） 著者は、順序変数に対する限定された普遍的数量化のみを許可することで得られるVOのフラグメントがすべてのceクエリを正確に表現することを示しています。VOでは、順序変数の範囲が自然数に及ぶため、順序変数の境界は明らかに自然条件です。 PまたはNPをキャプチャするVOの（素敵な）フラグメントはありますか？ 類推として、オブジェクトのセットを定量化できる古典的な1次論理では、2次論理またはSO と呼ばれるより強力な論理が得られます。SOは、多項式階層全体をキャプチャします。これは通常、PH = SOと記述されます。重要な複雑性クラスをキャプチャするSOの制限された形式があります：NP = SO、P = SO-Horn、およびNL = SO-Krom。これらは、許可された式の構文に制限を課すことによって取得されます。∃∃\exists したがって、興味深いクラスを取得するためにSOを制限する簡単な方法があります。PまたはNPの表現力のほぼ適切なレベルであるVOの同様の単純な制限があるかどうかを知りたいです。そのような制限が知られていない場合、私は有望な候補者への提案、またはそのような制限が存在しそうにない理由に興味があります。 これを引用している（数少ない）論文をチェックし、GoogleとScholarの明白なフレーズをチェックしましたが、明らかに関連性のあるものは見つかりませんでした。一次よりも強力なロジックを扱っている論文のほとんどは、「合理的な」計算の領域にパワーを落とす制限を扱っていないようですが、算術および分析クラスのceユニバースに満足しているようです。検索するためのポインターまたは非自明なフレーズに満足します。これは、高階のロジックで働いている人にはよく知られているかもしれません。
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