アルゴリズムがない場合に時間制限を設定できる決定可能な問題はありますか？

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問題を解決するアルゴリズムがない場合、入力インスタンスの長さnの関数として時間制限を与えることができるような決定可能な問題はありますか？

次のことを考えていたので、この質問にたどり着きました。

再帰的に列挙できるが、決定できない問題があると仮定します。さらに、私は問題の「はい」インスタンスであると仮定します。次に、問題の「はい」インスタンスを識別するアルゴリズムがない場合、Iのサイズnに関して時間制限を与えることができます。時間制限を超えた場合、私は「ノー」インスタンスであると結論付けます。

再帰的に列挙可能で決定不可能な問題（「yes」インスタンスの計算時間）に時間制限を与えることはできないので、時間制限を与えることができない決定可能な問題もあるのではないかと思っていました。

computability time-complexity

— ヘルマン
ソース

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そのようなアルゴリズムには些細な時間制限があります。アルゴリズムを実行し、そのアルゴリズムによって実行されたステップの数を返します。一方、理解や表現が容易な境界を与えることが困難な例、例えばackermann関数を構築するのは簡単です。

— コーディ

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もっと正確にする必要があります。（数学的な）関数について話すと、はい、チューリングマシンの実行時間に一致する関数があります（実際、チューリングマシンよりも多くの関数があります）。計算可能な関数、または同等のアルゴリズムについて話す場合、@ codyが答えを提供します。問題を判断してチューリングマシンを実行し、実行時間をカウントするだけです。

— アレックス10ブリンク

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@AlextenBrink：実際、最悪の場合の実行時間を入力サイズ

関数として取得するには、サイズ

すべての可能な入力に対してチューリングマシンを実行し、最大値を取る必要があります。しかし、もちろんこれも実行可能です。

n

$n$

n

$n$

— ユッカスオメラ

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改訂を提案できますか？些細な答えを避けるために、「サイズnのすべてのインスタンスでアルゴリズムを実行するよりも早く最悪の実行時間の上限を計算できる」というフレーズを「時間制限を与えることができる」と定義するとします。または、「すべてのインスタンス」は「単一のインスタンス」である必要があります。

— ジェフ

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あなたの議論は、完全に計算可能な時間制限関数に依存します。これができないことはよく知られていますが、それがあなたの質問である場合（つまり、計算可能な関数の拡張がまったくない部分的な計算可能な関数がある場合）、その質問は研究レベルではありません。この種の質問ができる場所については、FAQを参照してください。

— カベ

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すべてのアルゴリズムのための入力のクラスで終了することを、我々はできる定義：そのランニング回の関数をは長さの入力のクラスで、 $A$ $\mathsf{In}$

f (n) = max_{i \in I n (n)} t i m e (A (i)),

$f(n)=\max_{i\in \mathsf{In(n)}}~~ \mathsf{time}(A(i)),$

I n (n)

$\mathsf{In}(n)$

n

$n$

は、アルゴリズム

が

終了

必要な時間です。もちろん、この定義はアルゴリズムに関係しているので満足のいくものではありませんが、そのような関数の存在を示しています。残っている問題は、簡潔な表現が存在するかどうかです（そして、これはあなたが求めていたものだと思います）。

t i m e (A (i))

$\mathsf{time}(A(i))$

A

$A$

i

$i$

簡潔な定義として単純な代数用語（再帰を伴わない）を使用する場合、答えはノーだと思います。決定できる問題はありますが、その複雑さは素素ではありません。つまり、形式のスタックは存在しません $2^{2^{2^{2^{\dots^n}}}}$ 、サイズnの問題に対するアルゴリズムの実行時間を制限。

あなたの質問を正しい方法で理解したと思います。

— マルクス
ソース

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これは、マーカスの質問とは少し異なりますが、この質問についてどう考えたのかを説明すると、探しているものに近いかもしれません。

時には、問題のアルゴリズムを示すことなく、問題が決定可能であることを証明できます。この種の最も有名な例は、未成年者のロバートソンとシーモアの研究です。これは、禁止されている未成年者の適切な有限リストの存在をチェックすることにより、遺伝的グラフ特性を多項式時間で決定できることを示しています。彼らの証拠は、禁じられている未成年者の有限リストが存在することのみを示していますが、、リスト見つける。

私はこの分野の専門家ではないため、禁止されている未成年者のリストがわからず、他の方法を知らないため、アルゴリズムを示すことができない遺伝的グラフプロパティの特定の例については知らない問題を解決しますが、そのような例が存在すると思います。（そして、例が存在する場合、例を見つけるための実行時間を制限することができます。なぜなら、世界にはせいぜい80億人が存在し、最悪の場合はすべてを尋ねることができるからです！）

$O(n^3)$ $O(n^3)$

— ティモシーチョウ
ソース

2

ただし、除外された未成年者の明示的なセットを選択すると、アルゴリズムを示すことができます。より良いのは、研究されていないいくつかの遺伝的財産を選ぶことです。ただし、これは少しややこしいです。

— ティモシーチョウ

2

O (n^{2})

$O(n^2)$

1

@EmilJeřábek：さらに接線的に、マイナークローズファミリーのグラフが1次の特性を満たすかどうかを線形時間で決定できます：arxiv.org/abs/1109.5036

— アンドラスサラモン

1

ちなみに、小林林とウォランは、STOC 2011の論文dsi.uniroma1.it/~wollan/PUBS/shorter_struct_web.pdfの定数に限界があると主張しています。ただし、このペーパーから明示的な境界を簡単に抽出することはできません。

— アンドラスサラモン

2

このような例では、平面カバーのあるグラフがあります。不思議なことに、私たちはリストをほとんど知っています：禁止されている未成年者が31人、潜在的な未成年者が32人いますが、この最後の人は平面カバーがあるかどうかに関係なくオープンです。したがって、このクラスのグラフ用のアルゴリズムはありません。例：fi.muni.cz/~hlineny/papers/plcover20-gc.pdf

— Denis

3

別の視点を追加するために、すべての問題が「本質的な」複雑さを持っているわけではないことを思い出してください。これはおそらく、Blumの高速化定理の最も興味深い、無視された結果です。

基本的に定理は、希望する高速化gを修正すると、常にPを解くプログラムに対して、 Pを解く前のプログラムよりもg倍速く実行する別のプログラムが存在するような計算問題Pを常に見つけることができると述べています。

したがって、この種の問題では、時間制限を設けることはできません。驚くべき、非常に不可解な結果。もちろん、Pは非常に複雑です。

— アンドレア・アスペルティ
ソース

Pが非常に複雑なのはなぜですか？

高速化プロセスは反復できるため、複雑さを軽減する無限のアルゴリズムチェーンと互換性がなければなりません。

— アンドレアアスペルティ

3

質問の理論的な側面は、Markusが担当します。より現実的には、あなたの質問を理解するための興味深い方法は次のとおりです。時間制限がわからない決定可能な問題があるか

答えはイエスです。たとえば、問題のYESインスタンスにはセミアルゴリズムがあり、NOインスタンスにはセミアルゴリズムがある場合があります。これにより、問題を決定できますが、時間制限はありません。

一般的な例を次に示します。ある代数のすべての正体を証明できる公理的システムがあると仮定します。さらに、誤ったアイデンティティは常に有限の構造によって目撃されることを知っています。

$I$ $I$ $I$ $I$

この例は、アフィン線形論理（LLW）です。現在は完全なタワーであることが知られています[1]が、しばらくの間、境界が知られておらず、有限モデルプロパティ[2]を使用して決定可能性のみが示されました。。

参照：

[1] VASS、MELL、および拡張機能を分岐するための非基本的な複雑さ。 ランコ・ラジックとシルヴァン・シュミッツ。CSL-LICS 2014

[2] 線形論理のさまざまなフラグメントの有限モデルプロパティ。 Yves Lafont、J。Symb。論理。1997

— デニス
ソース

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他の人が述べているように、質問は些細な答えを避ける方法で述べられていませんが、TCSと数論にはいくつかの概念が関連/類似しています。

1）空間と時間の階層定理では、「時間構成可能」および「空間構成可能」関数の概念が必要です。非時間構築可能および非空間構築可能関数が存在し、「ギャップ、スピードアップ」定理などのブルーム定理に見られる異常な特性をもたらします。ほとんどの（すべて？）stdの複雑度クラスは、空間と時間の構築可能な関数の観点から定義されています。

2）ackerman関数は完全に再帰的ですが、プリミティブな再帰的ではなく、これはその時間制限に影響を与えます。ある意味でのプリミティブな再帰関数は、「基本的な」数学演算を表します。

3）グッドスタインシーケンスやパリハリントン thms などの計算不可能な時間境界を作成すると解釈できるペアノ算術では計算できない数論シーケンスに関するthmsがあります。

— vzn
ソース

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質問への答えではありません。

— カベ