停止する問題からの減少によるものではなく、決定不能の証拠

決定不能性を証明する通常の方法は、停止問題、1次論理の有効性、ディオファントス方程式の充足可能性などのRE完全問題からの削減です。

再帰的に列挙可能であるが、RE-completeではない未決定の問題があることが知られていますが、これらは人為的な構造（つまり、この「密度」結果を示すためだけに定義されたセット）です。

RE-complete問題を減らすことなく、決定不能性の証明にどのように取り組むでしょうか？対角化？

コルモゴロフの複雑性は計算可能ではないことをかなり直接的に示すことができます。たとえば、Sipser、第3版、問題6.23を参照してください。

一貫性のある推測問題と呼ぶものを考えてみましょう。

入力としてチューリングマシン説明を与えます$M$。

• $M$

• $M$

• $M$

（もちろん、これは完全な言語ではありませんが、約束の問題の計算可能性の類似物のようなものです。）

さて、チューリングの元の証明の修正により、一貫した推測が決定できないことを示すのは非常に簡単です（これは演習として残しておきます）。

$A$$A$

探しているのがa）既知の完全な問題からの削減でも、b）簡単な対角化（あなたのさまざまなコメントがあなたを示している）でもない証拠であれば、私が知る限りあなたは運が悪いです。私が認識しているすべての証明は、還元によるものではありません-アーロンソンとジョス・ハンセンによってここで与えられた他の優れた答えのそれらを含めて-簡単な対角化で進めます。

そして、これらの対角化はすべて本質的に同じ証明です。それらのいくつかは、わずかに強い/弱いステートメントを生成するプルーフのわずかな変形ですが、プルーフ自体は通常非常にわずかなバリエーションです。（そしてこれらの証明のすべては本質的にカーディナリティに関するカントールの元の証明と同じであり、これはラッセルのパラドックスのすべての定理版であるゲーデルとチャイティンの不完全性の証明と同じです...ポイントある種の逆数学のような方法で、そのような証明は本質的に1つだけであると言った定理を公式化できるかどうか疑問に思いました。

ただし、他のステートメント（通常は異なるフレーバー）の証拠があることを指摘しておく価値があります。これは、たとえば停止問題の決定不能性を証明するために使用される対角化とは本当に、本当に、証明可能に異なる対角化です