PまたはNPをキャプチャするVOロジックの自然な制限はありますか？

紙

• Lauri HellaとJoséMaríaTurull-Torres、 高次論理を使用したクエリの計算、TCS 355 197–214、2006。doi：10.1016 / j.tcs.2006.01.009

ロジックVO、可変順序ロジックを提案します。これにより、変数の次数の定量化が可能になります。VOは非常に強力で、計算不可能なクエリを表現できます。 （以下のArthur Milchiorが指摘したように、分析階層の全体を実際にキャプチャします。） 著者は、順序変数に対する限定された普遍的数量化のみを許可することで得られるVOのフラグメントがすべてのceクエリを正確に表現することを示しています。VOでは、順序変数の範囲が自然数に及ぶため、順序変数の境界は明らかに自然条件です。

PまたはNPをキャプチャするVOの（素敵な）フラグメントはありますか？

類推として、オブジェクトのセットを定量化できる古典的な1次論理では、2次論理またはSO と呼ばれるより強力な論理が得られます。SOは、多項式階層全体をキャプチャします。これは通常、PH = SOと記述されます。重要な複雑性クラスをキャプチャするSOの制限された形式があります：NP = SO、P = SO-Horn、およびNL = SO-Krom。これらは、許可された式の構文に制限を課すことによって取得されます。$\exists$

したがって、興味深いクラスを取得するためにSOを制限する簡単な方法があります。PまたはNPの表現力のほぼ適切なレベルであるVOの同様の単純な制限があるかどうかを知りたいです。そのような制限が知られていない場合、私は有望な候補者への提案、またはそのような制限が存在しそうにない理由に興味があります。

これを引用している（数少ない）論文をチェックし、GoogleとScholarの明白なフレーズをチェックしましたが、明らかに関連性のあるものは見つかりませんでした。一次よりも強力なロジックを扱っている論文のほとんどは、「合理的な」計算の領域にパワーを落とす制限を扱っていないようですが、算術および分析クラスのceユニバースに満足しているようです。検索するためのポインターまたは非自明なフレーズに満足します。これは、高階のロジックで働いている人にはよく知られているかもしれません。

注：これは実際に質問に答えているわけではなく、回答として投稿されたコメントの一部です。:)

VOでは、記述的複雑度設定（SO -SO、​​SO-Horn）のように有限構造について話している自然数のセット（再帰理論で定義されたセットと同様）上のセットを定義していることに注意してください。前者の設定のSO公式は、P Hではなく、Arthur Milchiorが答えで書いたように、分析階層全体を提供します。私見、より良い比較は、有界算術理論となるでしょう。PまたはN Pを得るためにドメインのサイズを非常に小さくするために、すべての数量詞を有限ドメインにバインドしない限り、ceセット以下になれないと思います。$\exists$$PH$$P$$NP$

ceセットをキャプチャするのに1つの無制限の数量詞の存在は十分ですか？

問題は、おそらく、等値、加算、乗算などの余分な記号を持たない言語にすることです（右？） ceセットをキャプチャします。これらの記号を言語で許可しない場合、問題はより複雑になり、高次の数量詞を使用してそれらを定義できますが、数量詞の複雑さが増します。したがって、単一の量指定子についてのあなたの質問に短い答えをしたい場合、私は知りません。

言語で関係を表現できる場合、ceセットをキャプチャするには単一の無制限の存在数量詞で十分です。理由は、A C 0は文字列cが入力xの TM eの計算であることをチェックできるからです 等式、加算、乗算の存在下で多項式で区切られた1次の式はPHをキャプチャするため、言語にそれらがある場合、答えは正になりますが、先ほど述べたように、おそらくこれらの記号のない言語を探しています。$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

追加のコメント：

$AC^0$

情報については、VOは実際にはあなたが述べているものよりも強力です。これには、分析階層全体が含まれます（したがって、算術階層全体も含まれます）。結果は公開されず、どの場所にも提出されませんが、私のページ、www.milchior.fr / ho.pdfセクション7ページ47で見つけることができます。

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

$\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

それ以外の場合、受け入れられる最大の順序を制限することにより、確かにVOを制限できます。しかし、その後、「高次」言語（HO）を取得しますが、これはおそらく望んでいないものです。

あなたのコメントに答えるために、私は別の答えを作って、クロムとホーンについてのみ話すべきだと思います（CSTheoryにそれらについて質問する必要があるかもしれません）

Horn and Kromの高次ロジックで出会った問題についての私の論文のセクション5.3ページ34を読むことをお勧めします。可変次数（明らかに高次のスーパーセット）でも同じ問題に直面します。

あなたがそれに注意を払ったかどうかはわかりませんが、最初の順序が普遍的な場合、SO（krom）はPに等しくなります。実際、存在する一次変数を追加すると、NP完全問題を表現できます。（以前の例は覚えていませんが、必要に応じて検索できます）

この構文上の制限が高次または可変次のロジックでどのようになるかわかりません...私のポイントは、量指定子のない部分だけを制限するのは役に立たないので、量指定子を制限する良い方法も考えるべきだということです少なくともKrom式については）