通信後問題のバリアント

これはおそらく非常に簡単ですが、標準的なポスト通信問題を考慮してください。

所与のおよびβ 1、... 、β N、インデックスのシーケンスを見つけるiは1、... 、iがKようにα I 1 ⋯ α I K = β Iを1 ⋯ β I Kを。もちろん、これは決定不能です。$\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1}\cdots \beta_{i_K}$

今、私はこれを「バリアント」と呼んでいますが、実際にはそうではありません。本質的に「対応」を捨てます。とにかく、次のバリアントを検討してください。

所与のおよびβ 1、... 、β N、検索2つのインデックスのシーケンスI 1、... 、I K、J 1、... 、JのKようα I 1 ⋯ α I K = β jは1 ⋯ β jはK。この亜種について何が言えますか？これが些細なことなら、おIfびします！$\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K, j_1, \ldots, j_{K}$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1}\cdots \beta_{j_{K}}$

この新しいバージョン -は決定可能です。$K = K'$

言語ことレッツショー CFLあります。次に、決定可能性は、CFLの空の決定可能性から得られます。$L := \bigcup_{k \geq 1} (A^k \ \cap \ B^k)$

を受け入れるようにPDAを設計します。入力xで、このPDAはxの 2つの因子分解を構築しようとします。1つはAのワードを使用し、もう1つはBのワードを使用します。スタック上のカウンターを使用して、これら2つの因数分解が同じ長さであることを確認します。概念的に私はを参照しますAのの-factorization Xの上に座って、これまでのxとBの底面の上に座って-factorization X。スタックには、上部で一致した単語の数の差の絶対値から下部の単語の数を引いた値がnである場合、n個のカウンターが含まれます。$L$$x$$x$$A$$B$$A$$x$$x$$B$$x$$n$。適切な符号が nに対応するものを記録するために、PDAの別の状態が必要です（これにより、 A分解が B分解よりも長いか、またはその逆かがわかります）。$n$$n$$A$$B$

私たちは手紙のスキャンと、我々は非決定的に単語を推測トンのAと単語のuのBこの手紙を開始するには。推測すると、残りのtとuをxに一致させることにコミットします。いずれかの時点で一致が失敗した場合、この非決定的な選択で停止します。そのため、PDAの状態では、一致する残りのtとuの接尾辞も維持します。$x$$t$$A$$u$$B$$t$$u$$x$$t$$u$

さらに文字をスキャンして、の終わりまたはuの終わり（またはその両方）に達するまでマッチングを続けます。単語の最後に到達したら、スタックを適切に更新し、次に上部または下部（または両方）に一致する新しい単語を推測します。$t$$u$

一致する残りの接尾辞が上と下の両方で空であり、スタックにカウンターが含まれていない場合は受け入れます。

このPDAを効果的に構築できるため、何かを受け入れるかどうかを効果的に決定できます（たとえば、文法効果的に変換し、Gが何かを生成するかどうかを通常の方法で確認するなど）。$G$

編集：最悪の場合、これを大きさの上限に変えることもできます。ほぼ2 O （l 2）のようなものの上限を与えるべきだと思います。ここでlはAとBの単語の長さの合計です。$k$$2^{O(l^2)}$$l$$A$$B$

編集：私はことを要求することを今見とBが有限集合であることもその要件を緩和することができ、AとBは、定期的に（多分無限）なり。この場合、「top」と「bottom」で一致する残りの接尾辞を維持する代わりに、一致する可能性のある単語の接頭辞を処理した後、それぞれのDFAの状態を維持します。「トップ」または「ボトム」のいずれかの最終状態に達した場合、推測された新しい単語の初期状態に戻ることを非決定的に選択できます。 $A$$B$$A$$B$

編集：私たちは、フォームの平等があるかどうかを決定する必要がありその中でこの解く以前のバージョン、。新しいバージョンにはK = K ′があります。$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$K = K'$

言語形のすべての文字列によって生成はα I 1 ⋯ α I Kが規則的です。言語Bフォームのすべての文字列によって生成されたβ jを1 ⋯ β jのKは「規則的です。あなたはかどうかを求めているA ∩ Bが空です。以来A 、Bは規則的で、これは（実際には、ほとんどの指数時間の中に）決定可能です。$A$$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K}$$B$$\beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$A \cap B$$A,B$