タグ付けされた質問 「circuit-complexity」

回路の複雑さは、リソースに制限された回路と、そのような回路によって計算される機能の研究です。

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線形回路複雑度クラス
クラスNCiNCi\textrm{NC}^iは、有界ファンイン、nO(1)nO(1)n^{O(1)}サイズ、O(logi(n))O(logi⁡(n))O(\log^i(n))深さの回路ファミリによって計算可能なクラス関数です。NCNC\textrm{NC} -hierarchyは、これらのクラスの和集合です。 この階層の線形サイズのバリアントに関する研究はありますか？それは、制限されたファンイン、ポリログ深度、線形サイズの回路ファミリですか？ 私は彼らが線形AC0AC0\textrm{AC}^0いくつかの仕事をしているが他には何もないことを知っています。少なくとも線形のNC1NC1\textrm{NC}^1は通常の言語（したがって一部のNC1NC1\textrm{NC}^1完全な言語）が含まれているため、重要ではないことに注意してください。
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ランダム性と小さな回路の複雑さのクラス
LET 複雑性クラスであるとBP- Cは、の無作為相手であるCとして定義BPPに対してP。より正式には、多項式で多くのランダムビットを提供し、受け入れる確率が2を超える場合に入力を受け入れます。CC\mathcal{C}BP- CBP-C\textrm{BP-}\mathcal{C}CC\mathcal{C}BPPBPP\textrm{BPP}PP\textrm{P}。2３23\frac{2}{3} 非均一回路クラスの場合、ことがわかっています。BPAC0= AC0BPAC0=AC0\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0 ミクロス・アジュタイ、マイケル・ベン・オル：確率的一定深度計算の定理STOC 1984：471-474 この定理の一般化は知られていますか？たとえば、（まだ不均一な設定になっている）かどうかはわかりますか？例えばというもっともらしいと思われるので、この最後の質問は、私に何とか非自明なようで、S 、T -ConnectivityであるBPNC 1。B P N C1= N C1BPNC1=NC1\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1s,t-Connectivitys,t-Connectivitys,t\textrm{-Connectivity}BPNC1BPNC1\textrm{BPNC}^1 この件に関する関連投稿：https : //mathoverflow.net/questions/35184/use-of-randomness-in-constant-parallel-time
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プログラムの最小化
回路の最小化は、特定の回路のサイズを最小化するための問題です。一般的なプログラムに似たものはありますか？ 特に私の質問は- 特定のプログラムの命令数を最小限にするアルゴリズムが存在しますか？私はそれが決定不可能な問題であることを知っていますが、何か最適なものを返すソリューションを探していません。 これを行うために既存のコンパイラー変換を適用できますが、事前に検索するために非常に狭い変換とアルゴリズムのセットを定義する必要がないものを探しています。 編集：私が持っているもう1つの問題は、そのような意味論的に同等なプログラムの空間全体を探究することを可能にする健全で完全な計算が可能か、それとも不可能かということです。
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言語を生成するための最小のブール回路
長さnのバイナリ文字列の空でない言語Lを考えます。私は記述することができるLをブール回路とCとNように入力と1つの出力C （wが）真IFFでwは∈ Lこれはよく知られています：。LLnnLLCCnnC(w)C(w)w∈Lw \in L ただし、2つの可能な入力のそれぞれに対するC 'の出力値のセットが正確にLになるように、n個の出力と特定の数の入力（mなど）を持つブール回路C 'でLを表現したいと思います。LLC′C'nn mmC′C'2m2^mLL Lが与えられた場合、最小サイズのそのような回路C 'をどのように見つけることができますか、そして複雑さはどのくらいですか？第1種の回路のサイズ（C）とこの第2種の回路のサイズ（C '）に関する既知の境界、またはそれらを見つける複雑さの間に関係はありますか？LLC′C'CCC′C' 与えられた：（二元性のいくつかの並べ替えは、以下の意味であることを確認してC入力ワードた場合、私は簡単に決めることができ、wはであるL回路を評価することにより、それが中にいくつかの単語を見つけるために、一般的にはNP困難であるLを発見によって出力が真であるように割り当て。考えるとC "それは決定することも同様にNP困難である場合、いくつかの入力ワードwのであるL Iが割り当て利回りかどうかを確認する必要があるためワットの出力としては、それは、いくつかの単語を見つけることは容易です任意の入力で回路を評価することによりL）CCwwLLLLC′C'wwLLwwLL
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DAGに必要なばらばらのエッジカットはいくつありますか？
次の質問は、Bellman-Ford -最短パス動的プログラミングアルゴリズムの最適性に関連しています（接続については、この投稿を参照してください）。また、肯定的な回答は、 STCONN問題の単調非決定性分岐プログラムの最小サイズがことを意味します。 S T Θ （N 3）ssttΘ(n3)\Theta(n^3) LET一つのソースノードとのDAG（有向非巡回グラフ）であるとつのターゲットノード。 - カットが除去全て破壊エッジの集合であり -長さのパス。そのようなパスがあると仮定します。短い -パスを破棄する必要がないことに注意してください。G S T K S T ≥ K G S TGGssttkksstt≥k\geq kGGsstt 質問： DOES少なくとも（約）持っている必要があります互いに素 -cuts？ G kGGkk kkk よりも短い -パスがない場合、答えはYESです。これは、Robacker起因する次の既知のmin-max事実（メンガーの定理の双対 ）があるためです。AN -カットは、ためのカットの（破壊全て -パス）。s t kssttkk∗∗\ast s t k k = 1ssttkkk=1k=1 s tsstt 事実： 有向グラフでは、エッジの素である -カット最大数は、 -パス最小長と同じです。 s …
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n項モノトーンCNFの最短公式
n個の変数（）にm個の項がある単調なCNF式は、の形式の式であり、各は変数の一部のサブセットのORです。、とからの範囲に。 F （X 1、... 、xはN）= ⋀ C I C I X 1、... 、X nは I 1 m個バツ1、… 、xんx1,…,xnx_1,\ldots,x_nf（x1、… 、xん）= ⋀ C私f(x1,…,xn)=⋀Cif(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_iC私CiC_iバツ1、… 、xんx1,…,xnx_1,\ldots,x_n私ii111メートルmm たとえば、は、4つの変数に2つの項を持つ単調なCNF式です。（x1∨ X３∨ X4）∧ （x2∨ X4）（バツ1∨バツ３∨バツ4）∧（バツ2∨バツ4）(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4) 私は、n個の項を持つn個の変数の特定の単調CNF式と同じ関数を表す同じ変数のセットで、最も短い式（必ずしも単調でなくても、CNFである必要はありません！）を探しています。（項と変数の数は同じであることに注意してください。） 式を構築する1つの明白な方法は、与えられたCNF定義を拡張することです。これにより、サイズ式が得られます。（数式のサイズを文字列として書き留めたときの数式の長さとなるように定義しましょう。）これが最も効率的な一般的な構成であるかどうか、またはすべてのn項の単調CNFに数式が存在するかどうかを知りたいサイズ。o （n 2）O （n2）O（ん2）O(n^2)o （n2）o（ん2）o(n^2) これが可能かどうか知りたいだけなのですが、アルゴリズムにはあまり興味がありません。これが不可能な場合は、反例となる機能がいいでしょう。文献で答えを見つけることができる場所へのポインタも高く評価されています。 編集：私はシンをより明確にするために例を追加しています。 入力式がます。これは、単調なCNF式です。同じ関数を表す短い式は次のとおりです：。xは1 ∨ （X 2 …
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ブール回路の下限が算術回路の下限を意味しない理由
私の質問は、ゲート "and"と "xor"が行列式の深さ3のブール回路の下限が、上の算術回路の同じ下限を意味しないのはZZ\mathbb{Z}なぜですか？ 次の引数の何が問題になっていますか：CCC行列式を計算する算術回路とすると、すべての変数mod 2を取得することにより、ブール値回路が行列式を計算します。
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同様の入力のバッチでブール回路を評価する
Iブール回路があると何らかの関数計算F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 }。回路がAND、OR、およびNOTゲートで構成され、ファンインとファンアウトが最大2つあると仮定します。CCCf：{ 0 、1 }ん→ { 0 、1 }f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\} ましょ、所与の入力です。Cとxが与えられた場合、xとは異なる単一のビット位置にあるn入力でCを評価します。つまり、n値C （x 1）、C （x 2）、… 、C （x n）を計算しますどこでxは、私が同じであるXそのことを除いて、IX ∈ { 0 、1 }んx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nCCCバツxxCCCんnnxxxnnnC(x1),C(x2),…,C(xn)C(x1),C(x2),…,C(xn)C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)xixix^ixxxiii番目のビットが反転します。 これを行うには、n個の異なる入力でn回個別に評価するより効率的な方法がありますか？CCC nnnnnn にm個のゲートが含まれていると仮定します。次に、n個すべての入力でCを個別に評価すると、O （m n ）時間かかります。C （x 1）、C （x 2）、… 、C （x n）をo （m n …
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二項乗算の最も重要なビットを決定する
Iは、以下の決定問題の複雑さを決定することに興味があります：二つの整数を考えると及びL 2（最もmビットで各）、乗算の最上位ビットかどうかを決定するL 1 ⋅ L 2が 1（ここでの結果であります2mビットで出力され、先頭に0が付く場合があります）？l1l1l_1l2l2l_2l1⋅l2l1⋅l2l_1 \cdot l_2 明らかに、この問題はかどうかを尋ねるバイナリ乗算の特別な場合である。いくつかの問題の背景乗算のビット目L 1 ⋅ L 2は、彼らの論文では1であり、分割および反復のためのユニフォーム一定の深さ閾値回路乗算、ヘッセン、アレンダー、バリントンは、反復（したがってバイナリ）乗算がD L o g T i m e - uniform T C 0であることを証明しています。さらに、バイナリ乗算はすでにD L o g T iであることはよく知られているようですiiil1⋅l2l1⋅l2l_1 \cdot l_2DLogTimeDLogTime\mathsf{DLogTime} TC0TC0\mathsf{TC}^0 -均一 T C 0 -hard。しかし、私はこの硬度の結果を証明する特定の情報源を見つけることができませんでした。回路の複雑さの専門家ではないので、私はこの一般的な硬さの結果へのポインタにも感謝します。最後に、バイナリ乗算であると仮定すると、D L O G T iは、mは電子 -均一 T C 0 -hardを、私の質問はまた、読み取ることができますないが、それは残り D …
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最小数の加算を使用した行列ベクトル乗算アルゴリズム
次の問題を検討してください。 行列与えられた場合、 を計算するための乗算アルゴリズムの加算数を最適化したいとします。V ↦ M VMMMV ↦ Mvv↦Mvv \mapsto Mv この問題は、行列乗算の複雑さとの関係から興味深いものです（この問題は、行列乗算の制限されたバージョンです）。 この問題について何がわかっていますか？ この問題をマトリックス乗算問題の複雑さに関連づける興味深い結果はありますか？ 問題への答えは、追加ゲートのみの回路を見つけることを含むようです。減算ゲートを許可するとどうなりますか？ この問題と他の問題の間の削減を探しています。 動機 0-1行列ベクトル乗算の自動最適化 細粒度複雑性理論におけるこれらの仮説の間の関係は何ですか？
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実用的な結果
バックグラウンド 回路の複雑さは、制限のないファンイン AND、OR、およびNOT を使用して構築された、制限された深さと多項式サイズの一連の回路ファミリ（つまり、回路のシーケンス、各入力サイズに対して1つ）として定義されます。AC0AC0AC^0 パリティ機能とNビット入力は、入力のビットのXORに等しいです。⊕⊕\oplusnnn 回路の複雑さで証明された最初の回路の下限は次のとおりです。 [FSS81]、[Ajt83]：。⊕ ∉ A C0⊕∉あC0\oplus \notin AC^0 質問： ましょう使用して計算することができる機能のクラスである電子トランジスタ等の電子部品を使用して、有界深度多項式サイズの回路。（私はE C 0という名前を作りました。これのより良い名前を知っているかどうか知らせてください）。EC0EC0EC^0EC0EC0EC^0 我々は計算でき使用して、実際にE C 0回路を？⊕⊕\oplusEC0EC0EC^0 無制限のファンインAND / ORについてはどうですか？で計算できますか？EC0EC0EC^0 DOES 任意の実用的な影響がありますか？あるA C 0は、実際には重要？⊕ ∉ A C0⊕∉あC0\oplus \notin AC^0A C0あC0AC^0 なぜ（理論上の）コンピュータ科学者のための重要な？⊕ ∉ A C0⊕∉あC0\oplus \notin AC^0 注意： この投稿には興味深い質問が含まれていますが、OPは何らかの理由で投稿を読みやすくし、誤解を修正することを拒否しているようです。そのため、質問を再投稿しています。（元の投稿を編集する方が簡単ですが、別のユーザーの投稿を大幅に編集しても問題ない場合は、現在のところ合意に至っていません。） 関連： パリティとA C0あC0AC^0 パリティがないのはなぜ重要ですか？A C0あC0AC^0（計算の複雑さのブログ）
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可逆多項式回路多項式可逆回路とは？
私の質問は、効率的に計算可能な全単射関数についてです。非公式に私は興味があります： 全単射が多項式時間で計算できる場合、多項式ゲートの多項式数で計算できますか？ 私は関連する質問のリストをチェックしましたが、これは見つかりませんでした。私の正確な設定は正統派かもしれないし、そうでないかもしれないので、私の定義を含めます。問題は研究レベルだと思いますが、間違っていることが証明されて嬉しいです。 LET。いくつかの有限について、ゲートを要素として定義しましょう。有限、を定義し、を定義します。2つのゲートのは、 for定義される順列、ここで、は単語の連結です。ゲートのセットのための書き込みB={0,1}B={0,1}B = \{0,1\}Alt(Bn)Alt(Bn)\mathrm{Alt}(B^n)nnnNNNGN=⋃n≤NAlt(Bn)GN=⋃n≤NAlt(Bn)G_N = \bigcup_{n \leq N} \mathrm{Alt}(B^n)G∞=⋃nAlt(Bn)G∞=⋃nAlt(Bn)G_\infty = \bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)π1∈Alt(Bm),π2∈Alt(Bn)π1∈Alt(Bm),π2∈Alt(Bn)\pi_1 \in \mathrm{Alt}(B^m), \pi_2 \in \mathrm{Alt}(B^n)π=π1|π2π=π1|π2\pi = \pi_1 | \pi_2Bm+nBm+nB^{m+n}π(u⋅v)=π1(u)⋅π2(v)π(u⋅v)=π1(u)⋅π2(v)\pi(u \cdot v) = \pi_1(u) \cdot \pi_2(v)u∈Bm,v∈Bnu∈Bm,v∈Bnu \in B^m, v \in B^n⋅⋅\cdotGGG⌈G⌉⌈G⌉\lceil G \rceil for the smallest subset of ⋃nAlt(Bn)⋃nAlt(Bn)\bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n) containing the identity maps and closed …
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不均一性がどのように役立つかについての例は何ですか？
不均一性が計算に役立つことがわかった方法に興味があります。一つの方法は同様に、ランダムである、および他のすべての言語が不均一回路を有することを示すために使用されるルックアップテーブルです。BPP⊆P/polyBPP⊆P/polyBPP \subseteq P/poly 特に、確率的方法とその他の非建設的（または建設的ではない）証明方法によって存在することがわかっているオブジェクトを、非均一性を使用して活用できる方法に興味があります。例は、不自然なものではなく、自然なものの方がいいと思います。明確にするために、不自然な問題のための回路のようなものが考えられます。いくつかの言語与え、私はいくつかの本当に難しい関数計算することによって多項式サイズ回路を作成し、F （| xと|）私のアドバイスを使用しているかどうかを尋ねるF （| X | ）n / | f （| x |）|L∈PL∈PL \in Pf(|x|)f(|x|)f(|x|)。f(|x|)n/|f(|x|)|⊕x∈Lf(|x|)n/|f(|x|)|⊕x∈Lf(|x|)^{n/|f(|x|)|} \oplus x \in L
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回路複雑度クラスの均一なランダム化解除
ましょう複雑性クラスであるとの無作為相手であると同様に定義に対して定義され。より正式には、多項式で多くのランダムビットを提供し、受け入れる確率が超える場合に入力を受け入れます。CC\mathcal{C}BP- CBP-C\textrm{BP-}\mathcal{C}CC\mathcal{C}BPPBPP\textrm{BPP}PP\textrm{P}2３2３\frac{2}{3} 以前の記事それは等式の間保持するかどうかは知られていた場合、私は尋ね とため回路の複雑性クラス。多数決を計算するのに十分表現力のあるすべての複雑さのクラスと、他の何らかの理由での答えはイエスです。ただし、これらの結果は不均一であり、知りたいと思います。CC\mathcal{C}BP- CBP-C\textrm{BP-}\mathcal{C}CC\mathcal{C}交流0交流0\textrm{AC}^0 それらの結果の統一バージョンは調査または知られていますか？部分的な結果はありますか？ 彼らは長年の推測を意味していますか？ 均一な非ランダム化は正確にあると私は信じているので、答えは「はい」であると期待しますが、どのような均一な非ランダム化かはあまりわかりません - 階層内の小さなクラスの意味します。P / ポリP/ポリ\textrm{P}/\textrm{poly}P = BPPP=BPP\textrm{P}=\textrm{BPP}NCNC\textrm{NC}
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