ブール回路の下限が算術回路の下限を意味しない理由

私の質問は、ゲート "and"と "xor"が行列式の深さ3のブール回路の下限が、上の算術回路の同じ下限を意味しないのは $\mathbb{Z}$ なぜですか？

次の引数の何が問題になっていますか： $C$ 行列式を計算する算術回路とすると、すべての変数mod 2を取得することにより、ブール値回路が行列式を計算します。

cc.complexity-theory circuit-complexity arithmetic-circuits

— 誰か
ソース

上の算術回路の場合、あなたの主張は正確です。同じ引数は、が偶数である分数使用しない上の算術回路で機能します。 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ $a/b$ $b$

あなたが他の環以上の演算回路について話す場合は、引数はもはやなど、機能しません：上の一般的な演算回路（上記制限なしつまり）、、代数体、、または有限体と。 $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{F}_{q}$ $q \neq 2$

（これは、代数幾何学において、が特性ゼロではなく、いわゆる「混合特性」と見なされることが多いのと同じ理由です。） $\mathbb{Z}$

ただし、{AND、OR、NOT}が指定された回路の深さ3のブール下限は、上の算術回路の下限とは簡単には関連付けられません。（はい、{AND、XOR}は完全な基礎ですが、通常、{AND、OR、NOT}を超える深さ3の回路はNOTゲートを無料と見なしますが、NOTをXORで実装すると、実際にカウントするXORゲートを使用します。同様に、ただし、あなたはこの単一のORゲートとANDとXORを実装するとき、あなたは深さ3の小さなガジェットを取得します） $\mathbb{Z}$ $a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

一般的なステートメントは次のとおりです。聞かせてリングの係数を持つ多項式も、と仮定する環準同型です。すべての係数にを適用すると、係数をもつ多項式が得られます。これをます。その場合、算術回路による計算の下限は、算術回路による計算の同じ下限を意味します。 $f$ $R$ $\varphi\colon R \to S$ $\varphi$ $f$ $S$ $f_S$ $f_S$ $S$ $f$ $R$

— ジョシュア・グロコウ
ソース

の意味は何ですか？

b

$b$

— Suresh Venkat、2012年

だから、あなたが取るとき、物事が2国防省という

逆modの2を持っている、すなわち

なり

b

$b$

a / b \in Q

$a/b \in \mathbb{Q}$

後者は明確に定義されています。

a b^{- 1} (\mod 2)

$ab^{-1} \pmod{2}$

— Joshua Grochow-

それは、von-divisionのようなある種の定理を証明する（つまり、2で除算する必要がない）ことは、Cの下限を意味することを意味しますか？

— Klim

@Klim：いいえ。問題は、Cを介した回路が依然として不合理な（または非実数の）定数を使用できることです。これは、「mod 2」をまだ取得できません。

— Joshua Grochow