ラズボロフの近似法の概要

ラズボロフの近似法は何ですか？誰かが高レベルの概要とその背後にある直感を与えることはできますか？

してみましょうブール関数である -bits。LET。LET nビットで、サイズの回路であり及びゲート。は、を最後のゲートとしてサブサーキットによって計算されたビットの関数も示します。最初のゲートは、入力に対するものです。目標は、サイズが計算できないことを示すことです。からの入力に対するすべての計算を考慮$f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$$C$$m$$f$$C$$Z$。計算により、ゲートの出力に値が割り当てられます。してみましょうブール代数も。$B$$P(Z)$

アイデアは、ビットの関数について、にどれだけよく近似するかを検討すること です。してみましょう。$g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

限外濾過のために我々はそれからultraproductによって新しい計算を定義することができる： IFF。限外フィルターは基本的に0値の一貫した計算のセットであるため、結果のは有効な計算です。となるでしょう。既存の計算から新しい計算を作成しました。有限セットのすべての限外フィルターはプリンシパル。これはどの回路でも機能しますが、回路のサイズがあるという事実を利用していません。$F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$$c_1,\ldots,c_n \in Z$$m$

次のアイデアは、回路の有限性を利用して、および外側にある新しい入力を構築することですが、回路はサイズが制限されているため気付かず、したがって0を出力します。計算します。$Z$$f(w) \neq 0$$f$

外部で入力を取得できるように、限外フィルターの定義を緩和する必要があります。限外濾過膜の代わりに、我々は上方閉鎖サブセットを使用（と意味保持する）を満たす（意味）。$Z$$B$$a \in F$$a \subseteq b$$b \in F$$a,b \in F$$a \cap b \in F$

LET。は一致する入力のセットです。場合素数である（意味又は）およびnonfull（毎その後）、いずれか含ま またはそして、単一の入力が含まれています。$W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$$W_F$$F$$F$$a \cup b \in F$$a \in F$$b \in F$$\emptyset \not\in F$$i$$F$$||x_i||$$||\lnot x_i||$$W_F$

大会の保存を緩和します。ブール代数のすべてのミートの代わりに、少数のミートを保持します。してみましょう最小数であるk個のが満たすM = （1 ∩ B 1、... 、K ∩ B K）すべてが上向きに閉じため、nonfull、ようにMが -preserving F、W F ⊆ Zを。$|f|$$k$$M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$$M$$F$$W_F \subseteq Z$

してみましょう回路の複雑さもF。ラズボロフはそれを証明しました$m$$f$。$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

この不等式はすべての関数に当てはまることに注意してください。回路規模が下限を証明するために、すべてについてことを示し、mは -meets Mを、あるF満たす条件が、そのことはW Fが中に含まれていないZを。さらに、2番目の不等式のため、この方法では、回路の下限が強いことを証明できます。$m$$m$$M$$F$$W_F$$Z$

回路の下限証明の実際の部分は、与えられたに対して、すべてのm- meet に対してそのようなFがあることを示すことです。単調回路の場合、W Fに関する条件はw i ≠ 0 → |に簡略化されます。| x i | | ∈ Fがそうで考え出すFは簡単です。$m$$m$$F$$W_F$$w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$$F$

アレクサンダー・ラズボロブ、近似法について、1989年 のpdf

Mauricio Karchmer、回路サイズの下限の証明について、1995年。

ティムGowers、近似のRazborovの方法、2009年のpdf

免責事項：これは、Blumの最近の論文で使用されている方法に直感を与えることを目的とした高レベルの概要にすぎません。

前述の論文で使用されている表記により近い表記を使用してみます。

してみましょう上のブール関数であるn個の変数のx 1、... 、X nは。ブールネットワークコンピューティングfのサイズが大きいことを証明したいとします。$f$$n$$x_1,\dots,x_n$$f$

その出力ノードでfを計算するいくつかのブールネットワーク前提として、次のプロセスを検討します。$\beta$$f$

1. 最後のノードが出力ノードであるトポロジーの順序g 1、g 2、… 、g mに従ってのゲートを順序付けします。$\beta$$g_1,g_2,\dots,g_m$
2. 各時間ステップについて、ゲートg tで計算された関数を「単純な」関数f g tで近似します。この近似により、g tの下流のノードで計算された関数が変わる可能性があります（特に、出力ノードg mの関数が変わった可能性があります）。$t=1,\dots,m$$g_t$$f_{g_t}$$g_t$$g_m$

このプロセスの最後に、計算された関数を単純な関数f g mで近似しました。$g_m$$f_{g_m}$

次の構築入力テストのグループ。$T\subseteq \{0,1\}^n$

次のステートメントを証明できるとします。

• （最大で、すなわち、各個々のノードの近似が良好である -manyミスからの入力に導入されるT各近似ステップ）。$e$$T$
• 単純な関数に近似無しウェル（すなわち、任意の単純な機能のために、F 、G 、M、我々はfをG M ≠ fはより上のDの-fraction T）。$f$$f_{g_m}$$f_{g_m}\neq f$$d$$T$

次に、エラーの数を数えるだけで、は少なくともd | T $\beta$多くのゲート。$\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$

この近似スキームが、関数fを計算する任意のネットワークで機能することを示すことができる場合、fの回路の複雑さの下限に到達します。$\beta$$f$$f$