言語を生成するための最小のブール回路

長さnのバイナリ文字列の空でない言語Lを考えます。私は記述することができるLをブール回路とCとNように入力と1つの出力C （wが）真IFFでwは∈ Lこれはよく知られています：。$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

ただし、2つの可能な入力のそれぞれに対するC 'の出力値のセットが正確にLになるように、n個の出力と特定の数の入力（mなど）を持つブール回路C 'でLを表現したいと思います。$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

Lが与えられた場合、最小サイズのそのような回路C 'をどのように見つけることができますか、そして複雑さはどのくらいですか？第1種の回路のサイズ（C）とこの第2種の回路のサイズ（C '）に関する既知の境界、またはそれらを見つける複雑さの間に関係はありますか？$L$$C'$$C$$C'$

与えられた：（二元性のいくつかの並べ替えは、以下の意味であることを確認してC入力ワードた場合、私は簡単に決めることができ、wはであるL回路を評価することにより、それが中にいくつかの単語を見つけるために、一般的にはNP困難であるLを発見によって出力が真であるように割り当て。考えるとC "それは決定することも同様にNP困難である場合、いくつかの入力ワードwのであるL Iが割り当て利回りかどうかを確認する必要があるためワットの出力としては、それは、いくつかの単語を見つけることは容易です任意の入力で回路を評価することによりL）$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

非決定性回路への単純な接続を指摘し、暗号の硬度について簡単にコメントします。

以下のためのS ⊆ { 0 、1 } nは、規定画像の複雑さを、示さiはmがC （Sの）任意の（ファンイン個、AND / OR / NOT）ブール回路におけるゲートの最小数として、C ：{ 0 、1 } M → { 0 、1 } nは、その画像であるS。問題は、計算の複雑さについて尋ねるiがmをC （S ）の真理値表表現与えられ、$S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$（長さ2 nの文字列）。$2^n$

また、定義非決定的な回路の複雑さのS我々は示します、NをC C （S ）最小非決定的回路として、C （X 、Y ）：{ 0 、1 } N + M ' → { 0 、1 }正確受け付けS。つまり、我々が必要とCことX ∈ S IFF ∃ Y ：C （$S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$ X y ）= 1です。これは、不均一なクラスを定義するために使用される標準的な概念であり、 N P / P O のL yはそれはすべてのセットのクラスである： S = { S N } N > 0で、 S nは ⊆ { 0 、1 } nは、その結果、 N 、C 、C （S N）≤ P O L Y （N ）。$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

私が指摘したかったのは、i m c （S ）= n c c （S ）± O （n ）であるということです。この不等式の両方向を検証するのは簡単です。 $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

ましょうD CのC （Sは）決定論的回路の複雑さを表します。Razborov-Rudichを使用して、Dai Leが言及する論文は（大まかに言えば）特定の暗号化の仮定の下では、Sの真理表をd c c （S ）小さいものと真にランダムな真理表から区別することは計算上難しいことを示していますS（d c c （S ）で最大に近い）。ランダムSにもn c c （S ）がほぼ最大であり、もちろん$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$N C C （F ）≤ D C C （F ）。したがって、同じ仮定の下では問題は困難です。$ncc(f) \leq dcc(f)$

S、d c c （S ）、またはn c c （S ）の真理値表を考えると、どちらが計算が困難ですか？どちらの方法でも削減はありますか？知りません。$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

あなたは見ている必要があり、この論文 Kabanetsとカイによると。論文の要約を引用します。

回路最小化問題の複雑さを研究します。ブール関数fの真理値表とパラメーターsを考慮して、最大でsのサイズのブール回路でfを実現できるかどうかを決定します。このような仮定のいくつかの驚くべき結果を与えることにより、なぜこの問題がP（またはP / p o l y）にも起こりそうもないのかを議論します。また、この問題をN P完全であることを証明すると（実際にそれが真の場合）、クラスEの強力な回路の下限を証明することになります。これは、現在知られている手法を超えているようです。$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

回路がCは、'あなたが計算するに機能言及F ：{ 0 、1 } M → L、我々は回路のシーケンスと考えることができるC ' 1、C ' 2、... 、C ' N、C ' 、Iを計算しますI Tの時間出力は、ビットF。各以来C ' iは、ブール関数を計算する{ 0 、1 } $C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$→ { 0 、1 }、回路を最小限に Cを' iが上記の結果に応じてハード思われます。$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$