同様の入力のバッチでブール回路を評価する

Iブール回路があると何らかの関数計算。回路がAND、OR、およびNOTゲートで構成され、ファンインとファンアウトが最大2つあると仮定します。 $C$ $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$

ましょ、所与の入力です。と与えられた場合、は異なる単一のビット位置にある入力でを評価します。つまり、値を計算しますどこで同じであるそのことを除いて、 $x \in \{0,1\}^n$ $C$ $x$ $C$ $n$ $x$ $n$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $x^i$ $x$ $i$ 番目のビットが反転します。

これを行うには、異なる入力で回個別に評価するより効率的な方法がありますか？ $C$ $n$ $n$

にゲートが含まれていると仮定します。次に、すべての入力でを個別に評価すると、時間かかります。を時間で計算する方法はありますか？ $C$ $m$ $C$ $n$ $O(mn)$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $o(mn)$

任意コンテキスト：我々が持っていた場合、演算上（ゲートが乗算、加算、及び否定である）回路、それを計算することが可能である方向微分を $\mathbb{R}$ $n$ における時間。基本的に、時間での勾配の計算（逆伝播/チェーンルール）には標準的な方法を使用できます。これは、対応する関数が連続的で微分可能であるため機能します。ブール回路にも同様のことができるかどうか疑問に思っています。ブール回路は連続的で微分可能ではないため、同じトリックを実行することはできませんが、おそらく他に使用できる巧妙な手法があるでしょうか？たぶん、ある種のフーリエのトリックか何か？ ${\partial f \over \partial x_i}(x)$ $O(m)$ $O(m)$

（バリアントの質問：無限のファンインと有限のファンアウトを持つブールゲートがある場合、回評価するよりも漸近的に実行できますか？） $C$ $n$

— DW
ソース

アンドリューはあなたの質問にかなりよく答えたので、コメントを残しておきます。場合は

大きい（のような

）と、あなたは評価している

多くの入力に（までを

、そこである）

サイズのみの

任意の

を評価できます

m

$m$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

2^{o (n / \log n)}

$2^{o(n/\log n)}$

C^{'}

$C'$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

m

$m$ 入力。（この問題は、文献では「大量生産」とも呼ばれています。）Uhligの「少数の信頼できる要素を持つ機能要素からの自己修正スキームの合成について」を参照してください。Math.Notes Acad.Sci。ソ連15、558--562。そのため、場合によっては、非均一性を使用する方が良い場合があります。

— ライアンウィリアムズ

そのようなトリックが簡単に見つけられたり、重要な利益が得られたりする可能性は低いと考えます。方法は次のとおりです。

まず第一に、表向きに簡単ながら、あなたの問題は、実際に回路を考えると、より多くの一般的な問題を解決することができますと入力、評価より速くよりも、すべての入力に時間。その理由は、私たちが微調整できることである回路にサイズのこれは、入力に $C$ $N$ $x_0, \ldots, x_{N-1}$ $C$ $\tilde{O}(N\cdot|C|)$ $C$ $C'$ $|C| + \tilde{O}(Nn)$ 、出力。基本的に、をに送信する小さなルックアップテーブルを作成し、それを配線します。 $0^i10^{N-1-i}$ $C(x_{i})$ $0^i10^{N-1-i}$ $x_i$ $C$

$\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ $\epsilon > 0$ $C$ $C$ $C'$ $2^{n/2}\cdot |C|$ $n/2$ $C$ $C'$ $2^{n/2}$ $C'$ $C$ $\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$

— アンドリューモーガン
ソース