二項乗算の最も重要なビットを決定する

Iは、以下の決定問題の複雑さを決定することに興味があります：二つの整数を考えると及びL 2（最もmビットで各）、乗算の最上位ビットかどうかを決定するL 1 ⋅ L 2が 1（ここでの結果であります2mビットで出力され、先頭に0が付く場合があります）？$l_1$$l_2$$l_1 \cdot l_2$

明らかに、この問題はかどうかを尋ねるバイナリ乗算の特別な場合である。いくつかの問題の背景乗算のビット目L 1 ⋅ L 2は、彼らの論文では1であり、分割および反復のためのユニフォーム一定の深さ閾値回路乗算、ヘッセン、アレンダー、バリントンは、反復（したがってバイナリ）乗算がD L o g T i m e - uniform T C 0であることを証明しています。さらに、バイナリ乗算はすでにD L o g T iであることはよく知られているようです$i$$l_1 \cdot l_2$$\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -均一 T C 0 -hard。しかし、私はこの硬度の結果を証明する特定の情報源を見つけることができませんでした。回路の複雑さの専門家ではないので、私はこの一般的な硬さの結果へのポインタにも感謝します。最後に、バイナリ乗算であると仮定すると、D L O G T iは、mは電子 -均一 T C 0 -hardを、私の質問はまた、読み取ることができますないが、それは残り D L O G T iは、mは電子 -均一 T C$\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$$\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$$\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$-バイナリ乗算の最上位ビットのみを決定したい場合は難しいですか？

更新：Kavehの回答は、2項乗算がハード（COUNTからの削減）である理由を明らかにしています。バイナリ乗算の最も重要なビットを決定する正確な複雑さは未解決のままです（そしてこの恩恵はこの質問にあります）。$\mathsf{TC}^0$

$\mathsf{TC}^0$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{Majority}$$\mathsf{Count}$

$\mathsf{Count}$$\mathsf{Mult}$$a_0a_1\ldots a_n$$k$$a_i$$a$$b$$a$$a_i$$k>3n$$ab$$\mathsf{FO}$$\mathsf{Count} \in \mathsf{FO(Mult)}$