理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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シンプレックス法の実装に関する最高の本？
私はLPタスクにSMを実装することに興味がありますが、落とし穴の可能性について聞いたことがあります。私はまた、素朴な実装が何らかの種類のデータに対してループする可能性があると聞きました。 SMの実際の実装のニュアンスを説明する本/論文/情報源はありますか？ 前もって感謝します。
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平面距離保存器の存在？
Gをnノード無向グラフとし、Tをterminalsと呼ばれるV（G）のノードサブセットとします。距離浮き袋（G、T）のプロパティを満たすグラフHであります dH（u 、v ）= dG（u 、v ）dH（あなたは、v）=dG（あなたは、v）d_H(u,v) = d_G(u,v) Tのすべてのノードu、vについて（Hは必ずしもGのサブグラフではないことに注意してください） たとえば、Gを次のグラフ（a）、Tを外面のノードとします。グラフ（b）は（G、T）の距離保存です。 さまざまなパラメータを持つ距離保存機能が存在することが知られています。私は特に次の特性を持つものに興味があります： Gは平面であり、重みがありません（つまり、Gのすべてのエッジに重み1があります）。 TのサイズはO （n0.5）O（n0.5）O(n^{0.5})であり、 Hにはサイズ（ノードとエッジの数）o （n ）o（n）o(n)ます。（O （nログログn）O（nログ⁡ログ⁡n）O(\frac{n}{\log\log n})。） そのような距離保存は存在しますか？ 上記の特性を満たすことができない場合は、あらゆる種類のリラクゼーションを歓迎します。 参照： スパースソースワイズおよびペアワイズ距離プリサーバー、Don CoppersmithおよびMichael Elkin、SIDMA、2006年。 Sparse Distance Preservers and Additive Spanners、BélaBollobás、Don Coppersmith、Michael Elkin、SIDMA、2005年 サブリニア距離誤差を伴うスパナおよびエミュレータ、Mikkel ThorupおよびUri Zwick、SODA、2006年。 アディティブスパナ、エミュレータなどの下限、デビッドP.ウッドラフ、FOCS、2006年。 距離保存器はエミュレーターとしても知られています。多くの関連する仕事は、スパナという用語を検索することでインターネット上で見つけることができます。これは、HがGの部分グラフである必要があります。しかし、HがGのT
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太ったものの交差点を介した平面グラフ？
Koebeの美しい定理（ここを参照）には、平面グラフをディスクのキスグラフとして描画できることが記載されています（非常にロマンチックです...）。（多少異なって言えば、平面グラフはディスクの交差グラフとして描画できます。） Koebe定理は証明するのが非常に簡単ではありません。私の質問：この定理の簡単なバージョンでは、ディスクの代わりに太い凸形状を使用することが許可されていますか？すべての頂点が異なる形状になる可能性があることに注意してください。 ありがとう... 明確化：形状場合、R （X ）をXの最小の囲みボールの半径とし、r （X ）をSの最大の囲みボールの半径とします。形状Sはあるα -fat場合にR （X ）/ R （X ）≤ α。（これが肥満の唯一の定義ではありません、ところで。）XXXR(X)R(X)R(X)XXXr(X)r(X)r(X)SSSSSSαα\alphaR(x)/r(x)≤αR(x)/r(x)≤αR(x) /r(x) \leq \alpha
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ソートに対応する複雑度クラス
TCSの2つの部分は、アルゴリズムと複雑さです。アルゴリズムは上限の研究であり、制限されたリソースを使用して何かを実行できることを示し、複雑さは最小限のリソースなしでは実行できないことを示すことを単純に言います。 そのため、多くの場合、アルゴリズムの問​​題は、複雑さのクラスに配置するために意思決定モデルに記述されます。 しかし、常に気になっているのは、一部の基本アルゴリズムが特定のクラスに属していると絶対に言及されていないことです。1つの例は（比較）ソートです。試してみてください、関連するクラスは不十分すぎるようです（実際、結果がソートされるのは単にログスペースをチェックしているだけですか？ 比較ソートが存在する最適/最も適切/最も有用な複雑度クラスは何ですか？
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長方形行列のランクを計算する最速のアルゴリズムは何ですか？
行列（仮定与えられた場合、列のランクと基底を計算する最速のアルゴリズムは何ですか？m×nm×nm \times nm≥nm≥nm \ge n 時間決定論的アルゴリズムと時間ランダム化アルゴリズムを意味する線形マトロイド交差によって解決できることを知っています。そこにあるより直接的にマトリックス乗算に問題（またはガウスの消去法）を低減することを時間決定性アルゴリズムは？O(mn1.62)O(mn1.62)O(mn^{1.62})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})
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特定の有限言語のCFGのサイズの下限
次の自然の質問を考えてみましょう：有限言語を考えると、最小の文脈自由文法生成するものである？LLLLLL 言語のシーケンス指定することにより、質問をより面白くすることができます。たとえば、はのすべての順列のセットです CFG は、サイズ。したがって、言語の最小CFGの漸近サイズに興味があります。LnLnL_nLnLnL_n{ 1 、… 、n }{1、…、n}\{1,\ldots,n\}LnLnL_nΩ （n ！）Ω（n！）\Omega(n!) 同様の質問がいくつかの論文で扱われています。 チャリカーら。（「最小文法の近似：自然モデルにおけるコルモゴロフの複雑さ」）与えられた単語を生成する最小CFGのサイズを近似することがどれほど難しいかを考えてください。 その方向でのさらなる作業は、Arpe and Reischuk、「最適な文法ベースの圧縮の複雑さについて」です。 Peter Asveldには、この主題に関するいくつかの論文があります（「Chomsky標準形の文脈自由文法によるすべての順列の生成」）。彼は、すべての順列のセット、特にチョムスキーとグレイバッハの正規形を生成する特定の種類の文法のパラメーターを最適化しようとしています。 ただし、これまでのところ、生成するCFGのサイズに関する限界を証明しようとする論文を見つけることができませんでした。Ω （n ！）Ω（n！）\Omega(n!)LnLnL_n 特定の有限言語の文脈自由文法のサイズの下限を提供する論文はありますか？ このサイトとmath.stackexchangeに関するいくつかの質問に答えて、特定の言語（たとえば CFGの指数関数的な下限を証明できる簡単な方法を思い付きました。これらの結果は新しいものですか？私はそれを信じるのが難しいと思います、そして、私はどんな文学の指針を得てもうれしいです。LnLnL_n
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データ構造の下限
「あまりにも良い」データ構造の存在を除外する結果が知られていますか？ たとえば、注文メンテナンスデータ構造におよび機能を追加し（DietzおよびSleator STOC '87を参照）、時間操作を取得できますか？Sp l i tSpl私tSplitJO I NJo私nJoinO（1）O（1）\mathcal{O}(1) または：整数キーと時間操作を使用して順序付きセットを実装できますか？もちろん、これは少なくとも整数をソートするための線形時間アルゴリズムを発見するのと同じくらい難しいです。O（1）O（1）\mathcal{O}(1) これらの質問のどちらに対しても答えはノーであることが証明されていますか？自然なデータ構造の下限の結果はわかっていますか？
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数値のペアをソートするアルゴリズム
私はすでにstackoverflowでこの質問をしましたが、おそらくこのサイトに適しているでしょう。 問題は： N組の符号なし整数があります。それらをソートする必要があります。ペアの終了ベクトルは、各ペアの最初の数で非減少的に、各ペアの2番目で非増加的にソートする必要があります。各ペアでは、任意のポイントで第1要素と第2要素を交換できます。解決策がない場合があるので、例外をスローする必要があります。 例： in pairs: 1 5 7 1 3 8 5 6 out pairs: 1 7 <-- swapped 1 5 6 5 <-- swapped 8 3 <-- swapped ^^ペアを交換しないと、ソリューションを構築できません。そのため、ペア（7、1）、（3、8）、および（5、6）を交換し、結果を作成します。または in pairs: 1 5 6 9 out: not possible ありがとう 編集： SOのTom Sirgedasは最高のソリューションを提案しました。実装は非常に簡単で、O（log（n）* n）で動作します。回答と関心をお寄せいただきありがとうございます。mjqxxxxの分析は本当に楽しかったです。
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頂点カバーの数を数える：難しいのはいつですか？
与えられたグラフの頂点カバーの数を数える＃P-complete問題を考えてください。G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E) このような問題の難易度がパラメーター（たとえば、）によってどのように変化するかを示す結果があるかどうかを知りたいです。GGGd=|E||V|d=|E||V|d = \frac{|E|}{|V|} 私の感覚では、がスパースであるときとがデンスであるときの両方で問題がより簡単になるはずですが、が「中間」にあるときは難しいはずです。これは本当ですか？GGGGGGGGG
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信頼できるコンピューティングの有効性について知られていることは何ですか？
次の問題はTCSでどの程度よく調査されていますか？（問題の説明があいまいに聞こえる場合は申し訳ありません！） 計算のモデル MC（チューリングマシン、セルラーオートマトン、コルモゴロフ-ウスペンスキーマシンなど）とMCの計算に影響を与える可能性のあるノイズのモデルを考えると、このノイズによって引き起こされるエラーから回復する方法があります効果的な方法はありますか？たとえば、ある種のノイズがチューリングマシンMに影響するとします。大きなコストをかけることなくMをシミュレートし、信頼性の高いチューリングマシンM 'を考案できますか（つまり、M'はこのノイズに耐性があります）。 計算の一部のモデルは、これを行う上で他のモデルよりも優れているようです。たとえば、セルオートマトン。ノイズが敵対モデルに置き換えられた場合、結果はありますか？ タグがありません。適切なタグ（信頼性の高いコンピューティング、フォールトトレラントなコンピューティングなど）を配置するのに十分な評判がありません。
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時空のトレードオフと最適なアルゴリズム
次のような言語考えてみましょう。LLL L∈DTIME(O(f(n)))∩DSPACE(O(g(n)))L∈DTIME(O(f(n)))∩DSPACE(O(g(n)))L \in DTIME(O(f(n))) \cap DSPACE(O(g(n))) そしてそのように L∉DTIME(o(f(n)))∪DSPACE(o(g(n)))L∉DTIME(o(f(n)))∪DSPACE(o(g(n)))L \not\in DTIME(o(f(n))) \cup DSPACE(o(g(n))) 換言すれば、最速の機械計算Lを時間にO （F （N ））であり、最も空間効率の良い機械M '算出Lを空間用いながらO （G （nは））。MMMLLLO(f(n))O(f(n))O(f(n))M′M′M'LLLO(g(n))O(g(n))O(g(n)) Mの空間効率またはM 'の時間効率について何が言えますか？またはより正確に、場合すべてのマシンの設定されていることを計算LでO （F （N ））その後、我々が最もスペース効率のよいマシンについて何を言うことができるM T？明らかなスペースバージョンのM Sについても同様です。MTMT\mathbb{M}_TLLLO(f(n))O(f(n))O(f(n))MTMT\mathbb{M}_TMSMS\mathbb{M}_S あるいは、とg （n ）を使用して、いくつかの適切な時空トレードオフを定義できますか？どのような条件がある下でT S ∈ O （F （N ）gは（nが））またはより一般的にはいくつかの時間と空間のトレードオフのための時間（T 、S ）どのような条件の下で、H （T 、S ）∈ H （O （F （n ））f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n)TS∈o(f(n)g(n))TS∈o(f(n)g(n))TS \in o(f(n)g(n))h(T,S)h(T,S)h(T,S)。h(T,S)∈h(o(f(n)),o(g(n)))h(T,S)∈h(o(f(n)),o(g(n)))h(T,S) \in h(o(f(n)),o(g(n)))
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解析ツリーを更新するための効率的なアルゴリズム
すでに字句解析されたコードの大きなブロックがあるとしましょう。 文字が1つだけ変更されたとします。私は解析を更新したいと思いますが、変更は全体に比べて非常に小さいため、再度全体を解析しないことが可能かどうかを知りたいのですが、再解析する範囲を決定するアルゴリズムがある場合、およびトークン境界の移動に適切に対処するため。 前もって感謝します！
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natsまたは他の帰納的データ型を用いた結石のカット除去？
自然数などの帰納的データ型を含む命題の直観主義的論理のカットエリミネーション定理を詳述する論文に誰かを誘導しますか（リストや木も問題ありません）？私が興味を持っている種類のシステムの例は、GodelのTです。これは、文法。私は、自然数または自然数でインデックス付けされた述語の量指定子にはあまり興味がありません。A ：：= N|A → A′A::=N|A→A′A ::= \mathbb{N} \;\;|\;\; A \to A' 私は、論理関係の引数（またはNbEなどの関連技術）を使用して、これらのシステムの自然演versionバージョンのベータ正規化を証明する方法を知っていますが、これらの方法を逐次計算に適応させる方法に関する標準的な参照があるかどうかを知りたいです。 私が尋ねる理由は、言語への保護された再帰のための固定小数点演算子の追加を勉強しているからです。表示のアイデアはかなり古いものです-バナッハの定理を介して型をウルトラメトリック空間および固定小数点として解釈します-しかし、カット除去を証明するために私が知っている純粋に構文的なテクニックはうまく適応していないようです。
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