数値のペアをソートするアルゴリズム

私はすでにstackoverflowでこの質問をしましたが、おそらくこのサイトに適しているでしょう。

問題は：

N組の符号なし整数があります。それらをソートする必要があります。ペアの終了ベクトルは、各ペアの最初の数で非減少的に、各ペアの2番目で非増加的にソートする必要があります。各ペアでは、任意のポイントで第1要素と第2要素を交換できます。解決策がない場合があるので、例外をスローする必要があります。

例：

in pairs:
1 5
7 1
3 8
5 6

out pairs:
1 7     <-- swapped
1 5     
6 5     <-- swapped
8 3     <-- swapped

^^ペアを交換しないと、ソリューションを構築できません。そのため、ペア（7、1）、（3、8）、および（5、6）を交換し、結果を作成します。または

in pairs:
1 5
6 9

out:
not possible

ありがとう

編集：

SOのTom Sirgedasは最高のソリューションを提案しました。実装は非常に簡単で、O（log（n）* n）で動作します。回答と関心をお寄せいただきありがとうございます。mjqxxxxの分析は本当に楽しかったです。

2つのペアおよびp 2 = （a 2、b 2）は、どちらもスワップせずにソート済みリスト内のいずれかの順序で配置できる場合、非スワップ互換であるとします。いずれかの場合、これは真である（1 ≤ 2 ∧ B 1 ≥ B 2）又は（2 ≤ 1件の ∧ B 2 ≥ $p_1=(a_1,b_1)$$p_2=(a_2,b_2)$$(a_1 \le a_2 \wedge b_1 \ge b_2)$。そのノート P 1及び P 2があれば、無スワップ互換性があり、それらがある場合にのみ、二スワップ互換性（半順序が満足を定義するので、P 1 ⪯ P 2 ≡ P * 2 ⪯ P * 1、 *スワップ操作を示します） 。最後に、 p 1と p 2は、それらの1つだけがスワップされたソート済みリストでどちらの順序でも配置できる場合、1スワップ互換です。これは、 p ∗ 1および$(a_2 \le a_1 \wedge b_2 \ge b_1)$$p_1$$p_2$$p_1 \preceq p_2 \equiv p_2^{*} \preceq p_1^{*}$$*$$p_1$$p_2$$p_1^{*}$は非スワップ互換です。残りの場合、 p 1と p 2は単純に互換性がありません。スワップ状態に関係なく順序条件を満たすことはできません。$p_2$$p_1$$p_2$

この問題は次のように解決できます。ペアのすべてのペアをテストします。いずれかのペアに互換性がない場合、解決策はなく、例外をスローできます。そうでない場合は、元のペアに対応するノードと、1スワップ互換ではないノードのペア間のエッジを持つグラフを検討してください。そのようなノードの各ペアは、適切にソートされたリストで同じスワップ状態を持つ必要があります。したがって、グラフの各接続コンポーネントのすべてのノードは同じスワップ状態でなければなりません。これらのコンポーネント全体のスワップ状態を一貫して割り当てることができるかどうかを判断する必要があります。接続された各コンポーネント内のノードのすべてのペアをテストします。いずれかのペアが非スワップ互換でない場合、解決策はなく、例外をスローできます。接続されたコンポーネントのすべてのペアをテストします（つまり、コンポーネント$C_1$及び、ノードのすべての対を試験P 1 ∈ C 1及びP 2 ∈ C 2）。コンポーネントの各ペアには少なくとも1つのスワップ互換性がありますが、一部のペアは非スワップ互換性もあります（エッジで接続されていないノードの各ペアには少なくとも1つのスワップ互換性があり、スワップ対応）。接続されたコンポーネントに対応するノードを持つ縮小グラフと、対応するコンポーネントが非スワップ互換でない場合は、2つのノード間のエッジを検討します。このグラフが2色の場合のみ、元の問題の解決策があります。2がない場合$C_2$$p_1 \in C_1$$p_2 \in C_2$$2$$2$-色付け、解決策はなく、例外をスローできます。ある場合は、単色のすべてのコンポーネントのすべてのノードを交換します。任意の2つのノードが非スワップ互換であることが保証されたため、定義された部分順序を使用してペアのリストを適切にソートできます。

アルゴリズムの各ステップ、したがってアルゴリズム全体は、時間で実行できます。$O(N^2)$

更新：よりエレガントな構造は次のとおりです。ペアのペアが非スワップ互換でない場合は、対応するノードをエッジで接続します（2色で異なる色になるように強制します）。ペアのペアが1スワップ互換でない場合、対応するノードを長さ2のチェーンで接続します（2色で同じ色になるように強制します）。結果のグラフが2色である場合にのみ、解決策があります。グラフの青赤の色からソリューションを構築するには、対応するノードが青であるペアのみを交換し、結果のリストをソートします。

X（a、b）は、ペア（a、b）を交換する必要があるかどうかを示すバイナリ変数を示します。いくつかの異なるペア（a、b）および（c、d）を検討し、2つのペアがそれぞれX（a、b）およびX（c、d）で示されるスワップを実行した後の正しい順序。このようなすべてのバイナリ制約の結合は、n個の変数とO（n ^ 2）句の2-SAT式であり、元の問題に解決策がある場合にのみ充足可能です。これは時間O（n ^ 2）で確認できます。

元のソリューションについては、すべての制約がX（a、b）= X（c、d）またはX（a、b）！= X（c、d）（またはX（a、 b）=定数）ので、単純な「二部性のマージとチェック」アルゴリズムが機能します。

各Xがそれ自身のみを含むセットの代表であるところから始めます 次に、X = Yが制約となるすべてのペア（X、Y）について、XとYが属するコンポーネントをマージします。最後に、各コンポーネントが1つの頂点であり、X！= Yの関係が成り立つ必要がある場合にXとYを含むコンポーネントを結合する縮小グラフが2部であることを確認します。