理論計算機科学

グラフ同型問題（GI）は、おそらくのための最良の既知の候補であるNP-中間問題。最もよく知られているアルゴリズムは、実行時準指数アルゴリズムです。多項式階層が崩壊しない限り、GIは完全ではないことが知られています。NP2O （n ログn√）2O(nlog⁡n)2^{O(\sqrt{n \log n})}N PNP\mathsf{NP} グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの複雑性理論的な結果はどうなるでしょうか？ GIの準多項式時間アルゴリズムは、複雑性理論の有名な推測に反論するでしょうか？ トーナメントの最小支配集合問題、グループ同型写像問題、トーナメント同型写像問題のような他の同様の問題には、準多項式時間（QP）アルゴリズムがあります。後者の2つの問題は、GIに対して多項式時間で縮約可能です。 トーナメントの最小支配セットの問題を効率的にGIに減らすことはできますか？ QPにとってGIが難しいと推測する推測はありますか？ 更新（2015-12-14）：Babaiは、GIの準多項式時間アルゴリズムのarXivに関する予備的な草案を投稿しました。 更新（2017-01-04）：Babai はアルゴリズムが準多項式時間にあるという主張を撤回しました。新しい分析によれば、アルゴリズムは準指数時間にありますの内側にある。2 n o （1 ）expexp（O〜（lgn−−−√））exp⁡exp⁡(O~(lg⁡n))\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))2no （1 ）2no(1)2^{n^{o(1)}} 更新（2017-01-09）：ババイは準多項式時間の主張を復活させ、問題の手順をより効率的な手順に置き換えました。

40 cc.complexity-theory  ds.algorithms  graph-theory  graph-isomorphism 

Applicativeカテゴリ理論の観点から理解したいと思います。 のドキュメントにApplicativeは、それは強力な緩いモノイダルファンクターであると書かれています。 第一に、モノイドのファンクターに関するウィキペディアのページでは、モノイドのファンクターは緩いか強いのいずれかであると述べています。したがって、ソースのいずれかが間違っているか、用語が異なって使用されているように思えます。誰もそれを説明できますか？ 第二に、Applicativeモノイドのファンクターであるモノイドのカテゴリーは何ですか？ファンクターは、標準のHaskellカテゴリー（オブジェクト=タイプ、モーフィズム=関数）の内部ファンクターであると仮定しますが、このカテゴリーのモノイド構造が何であるかはわかりません。 手伝ってくれてありがとう。

40 lo.logic  type-theory  functional-programming  ct.category-theory 

CIS 500のコースノートを見ていきます。ソフトウェアの基礎と演習はとても楽しいです。私は3番目の練習セットにいるだけですが、戦術を使って次のようなことを証明するときに何が起こっているのかをもっと知りたいですforall (n m : nat), n + n = m + m -> n = m.

40 lo.logic  type-theory  proof-assistants  proof-theory  coq 

免責事項：これは自由回答形式の質問であり、stackexchangeの清教徒はおそらく、それを忘却に投票するという並外れた衝動を感じるでしょう。しかし、この質問に対する答えを得るのに、より適切で有望な他のフォーラムは考えられません。 コースプロジェクトの研究問題に取り組んでいる間、特定の方法で問題をモデル化すれば、特殊なトラックのテクニックを使用できることに気付きました（最近のケース- テキスト含意の認識チャレンジ）。最初の喜びの後、私は一般的に多数の論文に困惑しており、それらのすべてが黙って「読んでくれ、そうでなければ問題を解決する最良の方法を見逃すだろう！」と叫ぶ。締め切りに直面して、どの紙を読み、どの紙を廃棄するかをどのようにフィルタリングするのですか？sort_by_citation以外のカウントはありますか？

40 soft-question  advice-request 

すべての関数は、サイズアルファベットを使用して、シングルテープチューリングマシンで時間で計算できますかサイズアルファベット（空白など）を使用するシングルテープチューリングマシンでの時間f:{0,1}∗→{0,1}f:{0,1}∗→{0,1}f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}tttk=O(1)k=O(1)k = O(1)O(t)O(t)O(t)3330,1,0,1,0,1, （OPによる以下のコメントから）入力はを使用して書き込まれますが、サイズアルファベットを使用するチューリングマシンは、より大きなアルファベットのシンボルで入力シンボルを上書きできます。時間要する入力をシフトすることなく、大きいアルファベットのシンボルを小さいアルファベットにエンコードする方法がわかりません。0,10,10,1kkkn2n2n^2

40 computability  turing-machines 

これは、回路の複雑さに関する質問です。（定義は下部にあります。） YaoとBeigel-Tarui は、サイズsのすべての回路ファミリーが、深さ2のサイズs p o l y （log s ）の等価回路ファミリーを持つことを示しました。ここで、出力ゲートは対称関数であり、第2レベルはp o l y （log s ）のA N DゲートのACC0ACC0ACC^0sssspoly(logs)spoly(log⁡s)s^{poly(\log s)}ANDANDANDpoly(logs)poly(log⁡s)poly(\log s)ファンイン。これは、回路ファミリのかなり注目すべき「深さの崩壊」です。深さ100の回路から、深さを2に減らすことができます。 私の質問：回路ファミリを同様に表現する既知の方法はありますか？もっと野心的に、N C 1回路ファミリはどうですか？潜在的な答えは次の形式になります。「サイズsのすべてのT C 0回路は、サイズf （s ）の深さ2ファミリによって認識できます。出力ゲートはタイプXの関数であり、ゲートの第2レベルはタイプY」。TC0TC0TC^0NC1NC1NC^1TC0TC0TC^0sssf(s)f(s)f(s)XXXYYY それはありません持っている深さ-2であることを、固定の深さの結果の任意の並べ替えは、興味深いものになるだろう。すべての回路が深さ3で対称関数ゲートのみで構成される回路で表現できることを証明することは非常に興味深いでしょう。TC0TC0TC^0 いくつかの小さな観察： 場合答えはのために自明である任意の（我々がどのような機能を発現することができるブール関数O Rの2 N A N D S）。具体的には、f （n ）= 2 n o （1 ）を要求します。f(n)=2nf(n)=2nf(n)=2^nOROROR2n2n2^n ANDANDANDf(n)=2no(1)f(n)=2no(1)f(n) = 2^{n^{o(1)}} またはYのいずれかがT C 0で計算可能な任意の関数として許可されている場合も、答えは簡単です。:)これが何であれ、明らかに「単純な」関数に興味があります。計算できない対称関数ファミリがあるため、定義するのは少し滑りやすいです。（計算できない単項言語があります。）必要に応じて、ステートメント内のXおよびYを対称関数に単純に置き換えることができますが、他の適切なゲートの選択に興味があります。XXXYYYTC0TC0TC^0XXXYYY （表記の簡単な思い出： …

40 cc.complexity-theory  circuit-complexity  upper-bounds 

バックグラウンド 実数の計算は自然数の計算よりも複雑です。実数は無限のオブジェクトであり、実数は数え切れないほど多くあるため、実数は有限アルファベット上の有限文字列で忠実に表現できないからです。 ラムダ計算、チューリングマシン、再帰関数などのさまざまな計算モデルが同等であることが判明している有限文字列上の古典的な計算可能性とは異なり（少なくとも文字列上の関数の計算可能性について）、さまざまな計算モデルが提案されています互換性のない実数。たとえば、古典的なチューリングマシンモデルに最も近いTTEモデル（[Wei00]も参照）では、実数は無限入力テープ（チューリングのオラクルのような）を使用して表され、比較を決定することはできません。与えられた2つの実数の間の等式関係（有限時間）。一方、RAMマシンモデルに類似したBBS / real-RAMモデルでは、任意の実数を格納できる変数があり、比較と等式はモデルのアトミック操作の1つです。このような理由から、多くの専門家は、BSS / real-RAMモデルは現実的ではなく（少なくとも現在のデジタルコンピューターでは実装できない）、TTEまたは効果的なドメイン理論モデルのようなTTEに相当する他のモデルを好むと言います。 Ko-Friedmanモデルなど 場合は、私が正しく理解し、で使用されている計算のデフォルトのモデル計算幾何学は、あるBSS（別名リアルタイムRAM、参照[BCSS98]）モデル。 一方で、計算幾何学（LEDAなど）のアルゴリズムの実装では、代数的数値のみを扱っており、より高いタイプの無限オブジェクトまたは計算は関係していないようです（これは正しいですか？）。したがって、私は（おそらく素朴に）有限文字列上の古典的な計算モデルを使用してこれらの数値を処理し、通常の計算モデル（これはアルゴリズムの実装にも使用されます）を使用して正確さと複雑さを議論できるようですアルゴリズムの。 質問： 計算幾何学の研究者がBSS / real-RAMモデルの使用を好む理由は何ですか？（BSS / real-RAMモデルを使用する理由特定の計算幾何学） 前の段落で言及した（おそらく素朴な）アイデアの問題は何ですか？（計算の古典的なモデルを使用し、計算幾何学で代数的数への入力を制限する） 補遺： アルゴリズムの問​​題の複雑さもあります。BSS/ real-RAMモデルで次の問題を決定するのは非常に簡単です。 二組の所与の及びは正の整数の、 ある？SSSTTT∑s∈Ss√>∑t∈Tt√∑s∈Ss>∑t∈Tt\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t} それを解決するための効率的な整数RAMアルゴリズムは知られていませんが。例についてはJeffEに感謝します。 参照： Lenore Blum、Felipe Cucker、Michael Shub、Stephen Smale、「複雑さと実際の計算」、1998 Klaus Weihrauch、「計算可能な分析、序論」、2000

40 cc.complexity-theory  cg.comp-geom  computing-over-reals  computable-analysis 

私の質問は簡単です： コンピューティングのための最もよく知られているアルゴリズムの実行時間最悪の場合は何である固有値分解のマトリックスは？n × nn×nn \times n 固有分解は行列乗算に還元されますか、それとも最悪の場合で最も知られているアルゴリズム（SVD経由）ですか？O （n3）O(n3)O(n^3) 条件番号のような問題に依存する定数を持つ境界ではなく、最悪の場合の分析（のみで）を求めていることに注意してください。nnn 編集：以下の回答のいくつかを考えて、質問を調整させてください：私は -approximationに満足するでしょう。近似は、乗法、加法、エントリ単位、または任意の合理的な定義にすることができます。ようなものよりもへの依存性が高い既知のアルゴリズムがあるかどうかに興味がありますか？nはO （P O LのY（1 / ε ）N 3）ϵϵ\epsilonnnnO （p o l y（1 / ϵ ）n3）O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 編集2：対称行列に関するこの関連質問を参照してください。

40 ds.algorithms  time-complexity  matrices  linear-algebra  na.numerical-analysis 

1980年代、Razborovは、計算に指数関数的に多くのANDおよびORゲートを必要とする明示的な単調なブール関数（CLIQUE関数など）があることを有名に示しました。ただし、ブールドメイン{0,1}の基底{AND、OR}は、普遍的ではない興味深いゲートセットの一例にすぎません。これは私の質問につながります： 興味深いことに、モノトーンゲートとは異なる、ゲートサイズの指数関数的な下限が知られているゲートのセットはありますか（回路に深さや他の制限はありません）。そうでない場合、そのような下限の妥当な候補であるゲートのセットはありますか？Razborovの単調な回路の結果がそうでなかったように、必ずしもNatural Proofsバリアを突破する必要がない境界はありますか？ このようなゲートセットが存在する場合、k≥3の場合、k-aryアルファベットを超えます。その理由は、バイナリアルファベット上で、 （1）モノトーンゲート（{AND、OR}）、 （2）線形ゲート（{NOT、XOR}）、および （3）ユニバーサルゲート（{AND、OR、NOT}） Postの分類定理から次のように、基本的に興味深い可能性を使い果たします。（定数-バイナリの場合は0および1-は常に無料で利用できると仮定していることに注意してください。）線形ゲートでは、すべてのブール関数f：{0,1} n →{0,1}計算可能は、線形サイズの回路で計算可能です。もちろん、普遍的なセットで、私たちは自然な証明と他の恐ろしい障壁に立ち向かっています。 一方、3シンボルまたは4シンボルアルファベット（たとえば）を超えるゲートセットを考慮すると、より幅広い可能性のセットが開かれます-少なくとも私の知る限り、それらの可能性は完全にマップされたことはありません複雑性理論の観点から（私が間違っている場合は修正してください）。可能性のあるゲートセットは、普遍代数の「クローン」の名前で広く研究されていることを知っています。その分野の結果が回路の複雑性に何を意味するのかを知っているように、私はその文献にもっと精通していたらと思います。 いずれにせよ、ゲートセットのクラスを単純に検討したい有限のアルファベットに拡張すれば、証明に適した他の劇的な回路下限が存在することは問題のようには見えません。私が間違っている場合、理由を教えてください！

40 lower-bounds  circuit-complexity  circuit-families 

Andrew Chi-Chih Yaoの古典的な1979年の論文で、彼は「準備中のMOラビンとACヤオ」に言及しています。これは、等価関数EQの有界誤差通信の複雑さという結果のためであり、Nは（範囲内の2つの整数かどうかを0にN - 1で等しい）O （ログログN ）。NN_N000N−1N−1N-1O(loglogN)O(log⁡log⁡N)O(\log\log N) Andrew Chi-Chih Yao、分散コンピューティングに関連する複雑性に関する質問（予備報告）、STOC 1979、pp。209–213。土井：10.1145 / 800135.804414 Alexander Razborovのコミュニケーションの複雑さに関する入門調査は、この結果を証明し、「次の美しい構造は、通常、RabinとYaoに起因する」と述べています。考え方は、ビット列を所定の多項式係数と見なすことですP(x)P(x)P(x)。アリスはランダムな整数ピックqqq、0からp−1p−1p-1いくつかの所定の素数のためp∈[3n,6n]p∈[3n,6n]p \in [3n,6n]、n=⌈logN⌉n=⌈log⁡N⌉n = \lceil \log N\rceil、及び送信ボブに。(q,P(q)modp)(q,P(q)modp)(q, P(q) \mod p) アレクサンダー・ラズボロフ、コミュニケーションの複雑さ、「数学への招待」の第8章、pp。97–117、スプリンガー、2011年（preprint） Rabin / Yaoの論文は、少なくとも他の誰かの論文で少なくとも個人的なコミュニケーション/ドラフト/スケッチになったのでしょうか。ブレークスルーからブレークスルーへのステップ

40 ho.history-overview  communication-complexity 

これはに関連した質問です。この1。そこでの多くの議論の後、はるかに単純な形で再びそれを置くと、それは全く異なる質問のように感じました。 停止問題の決定不能性の古典的な証明は、仮想HALT決定子をそれ自体に適用しようとするときに矛盾を示すことに依存します。これは、それ自体が停止するかどうかを決定するが、他のケースの停止の決定可能性に関する情報を提供しないHALT決定者を持つことが不可能であることを示しているだけだと思います。 だから質問は HALTが自分自身を決定できず、対角化引数にも依存していないことを示すことに依存しない停止問題が決定不能であることの証拠はありますか？ 小さな編集：質問の元の表現にコミットします。これは、（HALTに依存する対角化に依存しないことを単に要求するのではなく）ダイアゴナル化にまったく依存しない証明を求めています。

40 computability  lo.logic  proofs 

一般に、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0すべてについて、O （n 2 + ϵ）時間で2つのn×nn×nn \times n行列を乗算することが可能であると考えられています。議論はここにあります。O(n2+ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 私は、研究に精通している人々に、nに依存しないk>0k>0k>0があり、行列乗算のO （n 2 log k n ）アルゴリズムが存在し、圧倒的に直感的であると思われるかどうかを尋ねました答えは「いいえ」ですが、理由を説明できませんでした。つまり、O （n 2.001）時間でできるが、O （n 2 log 100 n ）時間ではできないと彼らは信じています。nnnO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)O(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 固定k > 0でO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)アルゴリズムがないと信じる理由は何ですか？k>0k>0k>0

39 cc.complexity-theory  linear-algebra  big-picture  matrices  matrix-product 

してみましょうPRIMES（別名素数判定は）問題になります： 自然数与えられた、は素数ですか？nnnnnn してみましょうFACTORINGが問題になります。 自然数を考えると、で、ない倍持っていると？nnnmmm1≤m≤n1≤m≤n1 \leq m \leq nnnnddd1&lt;d&lt;m1&lt;d&lt;m1 < d < m PRIMESがP-hardかどうかはわかりますか？ファクタリングはどうですか？これらの問題の最もよく知られている下限は何ですか？

39 cc.complexity-theory  lower-bounds  factoring  primes  p-hardness 

が含まれているというAdlemanの証明は、サイズ入力で時間で実行される問題のランダム化アルゴリズムがある場合、時間で実行される問題の決定論的アルゴリズムがあることを示していますサイズ入力に対する [アルゴリズムは、独立ランダム文字列でランダム化アルゴリズムを実行します。すべての適した繰り返しアルゴリズムにはランダム性が必要ですBPPBPPBPPP/polyP/polyP/polyt(n)t(n)t(n)nnnΘ(t(n)⋅n)Θ(t(n)⋅n)\Theta(t(n)\cdot n)nnnΘ(n)Θ(n)\Theta(n)2n2n2^n可能な入力]。決定論的アルゴリズムは不均一です-入力サイズが異なると動作が異なる場合があります。したがって、Adlemanの議論は、均一性を気にしない場合、ランダム化は入力サイズが線形の係数だけアルゴリズムを高速化できることを示しています。 ランダム化が計算を高速化する具体的な例は何ですか（私たちの知る限り）？ 1つの例は、多項式同一性テストです。ここで、入力はフィールド上でm変数の多項式を計算するnサイズの演算回路であり、タスクは多項式がゼロであるかどうかを調べることです。ランダム化されたアルゴリズムはランダムポイントで多項式を評価できますが、私たちが知っている最高の決定論的アルゴリズム（およびおそらく存在する最高のアルゴリズム）は多くのポイントで多項式を評価します。 Chazelleで最高の決定論的アルゴリズムは、時間で実行しながら、別の例は、カーガー-クライン- Tarjanで最高の無作為化アルゴリズムは線形時間（及び誤り確率が指数関数的に小さい！ある）された木を、最小全域さ（は逆アッカーマン関数であるため、ランダム化の高速化は非常に小さいです）。興味深いことに、最小スパニングツリーに不均一な決定論的線形時間アルゴリズムが存在する場合、均一な決定論的線形時間アルゴリズムも存在することがPettieとRamachandranによって証明されました。O(mα(m,n))O(mα(m,n))O(m\alpha(m,n))αα\alpha 他の例は何ですか？ランダム化の高速化が大きい場合、どの例を知っていますか？しかし、これはおそらく、十分に効率的な決定論的アルゴリズムがまだ見つかっていないからでしょうか？

39 randomized-algorithms 

各要素が回比較されるように、ソートネットワークに縮小しない既知の比較ソートアルゴリズムはありますか？O （ログn ）O(log⁡n)O(\log n) 私の知る限り、各要素で比較でソートする唯一の方法は、n個の入力に対してAKSソートネットワークを構築し、ソートネットワークで入力を実行することです。O （ログn ）O(log⁡n)O(\log n)nnn AKSは実装が容易ではなく、実用的でない一定の要因があるため、他のアルゴリズムを検索する動機があります。 ソートネットワークを含意していないようなアイテムごとの比較を持つアルゴリズムがここに提示されます。（iirc、これは最初にStony BrookのアルゴリズムセミナーでRob Johnsonによって発表されました）。O （ログ2n ）O(log2⁡n)O(\log^2 n)

39 ds.algorithms  sorting  sorting-network