カテゴリカル用語でのApplicativeファンクターの説明-モノイダルファンクター

Applicativeカテゴリ理論の観点から理解したいと思います。

のドキュメントにApplicativeは、それは強力な緩いモノイダルファンクターであると書かれています。

第一に、モノイドのファンクターに関するウィキペディアのページでは、モノイドのファンクターは緩いか強いのいずれかであると述べています。したがって、ソースのいずれかが間違っているか、用語が異なって使用されているように思えます。誰もそれを説明できますか？

第二に、Applicativeモノイドのファンクターであるモノイドのカテゴリーは何ですか？ファンクターは、標準のHaskellカテゴリー（オブジェクト=タイプ、モーフィズム=関数）の内部ファンクターであると仮定しますが、このカテゴリーのモノイド構造が何であるかはわかりません。

手伝ってくれてありがとう。

lo.logic type-theory functional-programming ct.category-theory

— ペトル・プドラク
ソース

回答:

ここで実際に使用されている「強さ」という言葉には、2つの用途があります。

強いendofunctor モノイド圏上天然の形質転換に付属しているものである、に対するいくつかのコヒーレンス条件を満足します私がつや出しするアソシエータ。この状態は、「には強さがある」と発音されることもあります。 $F : C \to C$ $(C, \otimes, I)$ $\sigma : A \otimes F(B) \to F(A \otimes B)$ $F$
$F : C \to D$ $(C, \otimes, I)$ $(D, \oplus, J)$ $\phi : F(A) \oplus F(B) \to F(A \otimes B)$ $i : J \to F(I)$ 、アソシエータに関してコヒーレンス条件を再び満たします。
$F : C \to D$ $\phi$ $i$ $F(A \otimes B) \simeq F(A) \oplus F(B)$ $\phi$

Haskellプログラムの意味での適用可能なファンクターは、強度のある緩いモノイダルエンドファンクターであり、問題のモノイダル構造はデカルト積です。だから、逆説的な発音の用語「強い緩いモノイダルファンクター」を取得する理由です。

$F$ $\mathrm{map} : (A \Rightarrow B) \to (F(A) \Rightarrow F(B))$

最後に、Haskellスタイルの応用ファンクターの型理論に興味があるなら、私はそれについてブログに書きました。

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

Functorfmap

ϕ

$\phi$

i

$i$ pureipure' = \v -> fmap (\() -> v) (i ())i :: (Applicative f) => () -> f ()

この答えにはタイプミスがありましたが、今は修正されました。はい、すべてのインスタンスFunctorは強力です（wrt product）。

— ニールクリシュナスワミ

また、モナドの位置について詳しく説明していただけますか？私が正しく理解すれば、それはモノイドの内部機能も同様です。

— egdmitry 14年

Hask

$\operatorname{Hask}$

私は、単語を使用することを提案するかもしれstrengthyを「強い」と表記の衝突を避けるために？これは、スコットランドの（ここでは特に注目されている）方言のバリエーションであり、ウィクリフの聖書で最初に使用された「強い」ものです。

— フォスコ

モナドによって引き起こされるApplicativeを理解するために、次の構成を指摘します。

$FA$ $\mathrm{nat}(\mathrm{Hom}(A,B),FB)$

a \mapsto (g \mapsto F (g) (a))

$a\mapsto\left(g\mapsto F(g)(a)\right)$

F A \to B^{A} \to F B .

$FA\to B^A\to FB.$

F A

$FA$

F A

$FA$

F A \to F B^{A} \to F F B .

$FA\to F\,B^A\to FFB.$

F F B

$FFB$

F B

$FB$

F B^{A} \to F A \to F B,

$F\,B^A\to FA\to FB,$

L i f t M 2 i d

$\mathrm{LiftM2\ id}$

— ニコライ-K
ソース