理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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頂点カラーリングは、ある意味では、エッジカラーリングですか？
我々は、グラフのエッジ着色知るあり、すなわち線グラフの特別なグラフの頂点着色、L （G ）のG。GGG L(G)L(G)L(G)GGG グラフオペレータあるグラフの頂点着色ようなGがあり 、グラフのエッジ着色Φ （G ）？多項式時間で構築できるグラフ演算子に興味があります。つまり、グラフ Φ （G ）は多項式時間でGから取得できます。ΦΦ\PhiGGG Φ(G)Φ(G)\Phi(G)Φ(G)Φ(G)\Phi(G)GGG 注釈：安定したセットとマッチングについて同様の質問をすることができます。のマッチングは、L （G ）の安定したセットです。Gの安定な集合がΨ （G ）に一致するようなグラフ演算子Ψはありますか？STABLE SETはN P完全であり、MATCHINGはPに属するため、N P ≠ Pであると仮定すると、そのようなグラフ演算子Ψ（存在する場合）は多項式時間で構築できません 。 GGGL(G)L(G)L(G)ΨΨ\PsiGGGΨ(G)Ψ(G)\Psi(G)NPNP\mathsf{ NP}PP \mathsf{P}ΨΨ\PsiNP≠PNP≠P\mathsf{NP}\not=\mathsf{P} 編集：@usulの答えと@Okamotoと@Kingのコメントに触発されて、私は私の問題のより弱い形を見つけました：グラフ頂点カラーリングは、次のように定義されたハイパーグラフΦ （G ）のエッジカラーリングです。頂点集合Φ （Gは）同一の頂点集合であるG。各頂点のためのVのG、閉鎖近傍N Gは、 [ V ] = N G（V ）∪ { vが}ハイパーグラフのエッジであるΦ （GGGG Φ(G)Φ(G)\Phi(G)Φ(G)Φ(G)\Phi(G)GGGvvvGGGNG[v]=NG(v)∪{v}NG[v]=NG(v)∪{v}N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}。次いで、 Gは、ハイパーグラフの線グラフである Φ （G ）、したがって着色の頂点 Gはのエッジ着色さ Φ …
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完全グラフが完全と呼ばれるのはなぜですか？
申し訳ありませんが、これは素朴な質問ですが、Bondy-Murty、Diestel、Westなどの主要な教科書には正当な理由が見つかりませんでした。完全グラフには多くの美しい特性がありますが、それらが完全と呼ばれる単一の理由は何ですか？それとも、Bergeによる単なる美的好みですか？
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Nisan / Wigdersonの擬似ランダムの定義の背後にある動機は何ですか？
私は、NisanとWigdersonによる古典的な「Hardness vs Randomness」を読んでいます。LET 、及び修正関数L ：N → N。彼らは、関数のファミリー定義G = { G N：BのL （N ） → Bのnは }であると疑似ランダムサイズのすべての回路の場合のN我々はB={0,1}B={0,1}B=\{0,1\}l:N→Nl:N→Nl\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}G={Gn:Bl(n)→Bn}G={Gn:Bl(n)→Bn}G = \{G_n : B^{l(n)} \to B^n\}nnn (∗) |P(C(x)=1)−P(C(G(y))=1)|&lt;1/n(∗) |P(C(x)=1)−P(C(G(y))=1)|&lt;1/n(*) \ \ | P(C(x) = 1) - P(C(G(y))=1) | < 1/n （ここで、一様ランダム変数です）。X ∈ Bn、y∈ Bl （n ）バツ∈Bn、y∈Bl（n）x \in B^{n},y \in B^{l(n)} 私はとyを確率変数として考え、xとG …
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特定のセットと交差する最小セット
ましょう共通の要素を有することができる集合とします。私は最小のセットを探していますXよう∀ I 、S1、S2、… 、SnS1、S2、…、SnS_1,S_2,\ldots,S_nバツバツX。∀ 私は、バツ∩ S私≠ ∅∀私、バツ∩S私≠∅\forall i,\,X\cap S_i \ne \emptyset この問題には名前がありますか？または、既知の問題になりますか？ 私の文脈では、は強く連結されたコンポーネントの基本サイクルを表し、すべてのサイクルと交差する頂点Xの最小セットを探しています。S1、… 、SnS1、…、SnS_1,\ldots,S_nバツバツX
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頂点推移グラフの認識の複雑さ
私はグループが関与する複雑性理論の分野に精通していないので、これがよく知られた結果である場合は謝罪します。 質問1.レッツオーダーの単純無向グラフとするn個。Gが頂点推移的であるかどうかを判断する計算の複雑さ（nに関して）GGGnnnnnnGGG A u t（G ）がV （G ）に対して推移的に作用する場合、グラフは頂点推移的であることを思い出してください。GGGAut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G)V(G).V(G).V(G). 上記の定義が多項式時間アルゴリズムを許可するかどうかはわかりません。なぜなら、次数は指数関数的だからです。Aut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G) しかし、頂点推移グラフには、それらを効率的に決定するために利用される可能性のある他の構造的特性がいくつかあるため、上記の質問の状況はわかりません。 さらに多くの構造を持つ頂点推移グラフのもう1つの興味深いサブクラスは、Cayleyグラフのクラスです。したがって、次の関連する質問も提起するのが自然です 質問2.グラフがCayleyグラフである場合、決定の計算の複雑さは何ですか？GGG
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ノイズ演算子の拡張
私が現在取り組んでいる問題では、ノイズ演算子の拡張が自然に発生し、以前の仕事があったかどうかに興味がありました。まず、私は基本的なノイズオペレータ修正しましょうTεTεT_{\varepsilon}の実数値ブール関数にします。与えられた関数f:{0,1}n→Rf:{0,1}n→Rf: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}とεε\varepsilon、ppp ST 0≤ε≤10≤ε≤10 \leq \varepsilon \leq 1、ε=1−2pε=1−2p\varepsilon = 1 - 2p、我々は定義Tε→RTε→RT_{\varepsilon} \to \mathbb{R}のような Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)] μpμp\mu_p上に分布されyyyの各ビットに設定することによって得られたnnnであることビットベクトルを111確率で独立pppと000そうでありません。同様に、このプロセスは、各ビットxxxを独立した確率で反転させると考えることができますppp。ここで、このノイズオペレータがあるなど、多くの有用な特性を有する乗法Tε1Tε2=Tε1ε2Tε1Tε2=Tε1ε2T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}とを有する素敵な固有値と固有ベクトル（χ Sは、パリティベースに属しています）。Tε(χS)=ε|S|χSTε(χS)=ε|S|χST_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_SχSχS\chi_S 私は今の私の拡張を定義してみましょうTεTεT_\varepsilon Iのように表し、R(p1,p2)R(p1,p2)R_{(p_1,p_2)}。 R(p1,p2)→RR(p1,p2)→RR_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}で与えられるR(p1,p2)f(x)=Ey∼μp,x[f(x+y)]R(p1,p2)f(x)=Ey∼μp,x[f(x+y)]R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]。しかし、ここで私たちの分布μp,xμp,x\mu_{p,x}、我々が反転するようなものである111のビットxxxに000確率でp1p1p_1と000のビットxxxに111の確率でp2p2p_2。（μp,xμp,x\mu_{p,x}今や明らかに分布依存しているxxx関数が評価され、もしp1=p2p1=p2p_1 = p_2、次いでR(p1,p2)R(p1,p2)R_{(p_1,p_2)}「正規」ノイズオペレータに減少させます。） この演算子すでに文献のどこかでよく研究されているのだろうか？または、その基本的な特性は明らかですか？私はブール解析から始めているので、これは私よりも理論に精通している人には簡単かもしれません。特に、固有ベクトルと固有値に優れた特性があるかどうか、または乗算特性があるかどうかに興味があります。R(p1,p2)R(p1,p2)R_{(p_1,p_2)}
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アルゴリズムはどのような状況下でアルゴリズムを暗示しますか？
各について、時間言語を決定するチューリングマシンがあると仮定します。時間を決定する単一のアルゴリズムはありますか？（ここで、項は、入力の長さで測定されます。）ϵ &gt; 0 ϵ&gt;0\epsilon > 0M ϵMϵM_{\epsilon} L LLO （n a + ϵ）O(na+ϵ)O(n^{a + \epsilon})L LLO （n a + o （1 ））O(na+o(1))O(n^{a + o(1)})o （1 ）o(1)o(1)nnn アルゴリズムあれば、それは違いを生むん計算、または効率的に計算されているという点で、？M ϵMϵM_{\epsilon} ϵϵ\epsilon 動機：多くの証明で、制限アルゴリズムよりも時間アルゴリズムを構築する方が簡単です。特に、の定数項を境界に渡す必要があります。制限に直接渡すために呼び出すことができる一般的な結果があればいいでしょう。O （n a + ϵ）O （n a + o （1 ））O （n a + ϵ）O （n a + o （1 ））O(na+ϵ)O(n^{a …
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回転が許可されている場合の長方形のパッキングの複雑さは何ですか？
長方形のパッキング問題では、長方形と境界長方形セットが与えられます。タスクは、長方形が重ならないように内の配置を見つける ことです。一般に、各長方形向きは固定されています。つまり、長方形は回転できません。この場合、問題はNP完全であることが知られています（たとえばKorp 2003を参照）。{ r1、… 、rn}{r1、…、rn}\{r_1,\dots,r_n\}RRRr1、… 、rnr1、…、rnr_1,\ldots,r_nRRRnnnr私r私r_i 長方形を度回転できる場合、長方形のパッキング問題の複雑さは何ですか？909090 直観的には、最初に各長方形の向きを選択し、次に回転なしのパッキング問題を解決する必要があるため、回転を許可すると問題が難しくなります。しかし、回転しない場合のNP硬さの証明はビンパッキングからの減少であり、ビンを構築するために各長方形の固定方向に決定的に依存しているようです。回転が許可されている場合に対応するNP硬度の証明を見つけることができませんでした。
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ランダムグラフ上のハミルトニアンサイクルの数
と仮定します。次に、次の事実がよく知られています。G ∈ G （N 、P ）、P = LNn + lnlnn + c （n ）nG∈G（n、p）、p=ln⁡n+ln⁡ln⁡n+c（n）nG\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n} Pr [ G はハミルトニアンサイクルを持ちます ] = ⎧⎩⎨⎪⎪10e− e− c（c （n ）→ ∞ ）（C （N ）→ - ∞ ）（c （n ）→ c ）Pr[G ハミルトニアンサイクルがある]={1（c（n）→∞）0（c（n）→−∞）e−e−c（c（n）→c）\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} …
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従属レコードのパラメトリック性と射影消去
π 1：A × B → Aがπ 2：A × B → BA×B≜∀α.(A→B→α)→αA×B≜∀α.(A→B→α)→α A \times B \triangleq \forall\alpha.\; (A \to B \to \alpha) \to \alpha π1:A×B→Aπ1:A×B→A\pi_1 : A \times B \to Aπ2:A×B→Bπ2:A×B→B\pi_2 : A \times B \to B これは、F型の自然な読み取りがletスタイルの消去\ mathsf {let} \;（x、y）= p \; \ mathsf {in} \;とペアであるにもかかわらず、それほど驚くべきことではありません。elet(x,y)=pinelet(x,y)=pine\mathsf{let}\;(x,y) = p \;\mathsf{in}\; eは、2種類のペアが直観主義的なロジックで相互導出可能であるためです。 …
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同様の行列
2つの行列および与えられた場合、B = P ^ {-1} APとなるような置換行列Pが存在するかどうかを決定する問題は（グラフ同型）と同等です。しかし、Pを緩和して単なる可逆行列にした場合、その複雑さはどうなりますか？この問題や他の困難な問題に関連する順列以外に、可逆行列Pに他の制限はありますか？n × nn×nn \times nAAABBBPPPB = P− 1A PB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI
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ゲーデルマシンの実現可能性
最近、私は非常に興味深い理論的構成に出会った。いわゆる ゲーデルマシン これは、自己最適化が可能な一般的な問題解決ツールです。リアクティブ環境に適しています。 私が理解しているように、それはユニバーサルチューリングマシン用のプログラムとして実装できますが、その要件は現在利用可能なハードウェアをはるかに超えています。しかし、私は多くの詳細を見つけることができませんでした。 そのようなマシンは実際に構築できますか？それらは私たちの宇宙で少なくとも実現可能ですか？
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正方行列のべき乗を計算する方法は？
我々は、マトリックス与えられていると仮定、およびlet。その行列のパワーをどれくらい速く計算できますか？A ∈ RN× NA∈RN×NA \in \mathbb R^{N\times N}M ∈ N0m∈N0m \in \mathbb N_0AmAmA^m 積を計算することと比較した場合の次善の策は、高速なべき乗を使用することです。これには、行列積が必要です。mmmO （ログm ）O（ログ⁡m）\mathcal O(\log m ) 対角化可能な行列の場合、固有値分解を使用できます。それは自然な一般化であるジョーダン分解であり、挿管下では不安定であり、したがってカウントされません（afaik）。 一般的な場合の行列の累乗は高速化できますか？ 高速累乗法は、この質問のバリエーションも有用であることを示唆しています。 一般的な行列の二乗は、既知の行列乗算アルゴリズムよりも速く計算できますか？AAA
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軍事政権を分割する堅牢性
ブール関数は、が最大で影響変数を持つ場合、ジャンタであると言います。F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 } f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}K kkF ffKkk ましょうである -junta。変数の意味によって。修正 が影響変数の少なくともを含むような が存在することは明らかです。F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 } f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}2 K 2k2k、F ff、X 1、X 2、... 、X N x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_nS 1 = { X …
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