頂点カラーリングは、ある意味では、エッジカラーリングですか？

我々は、グラフのエッジ着色知るあり、すなわち線グラフの特別なグラフの頂点着色、の。 $G$ $L(G)$ $G$

グラフオペレータあるグラフの頂点着色ようなあり、グラフのエッジ着色？多項式時間で構築できるグラフ演算子に興味があります。つまり、グラフは多項式時間でから取得できます。 $\Phi$ $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$

注釈：安定したセットとマッチングについて同様の質問をすることができます。のマッチングは、安定したセットです。安定な集合が一致するようなグラフ演算子はありますか？STABLE SETは完全であり、MATCHINGはに属するため、であると仮定すると、そのようなグラフ演算子（存在する場合）は多項式時間で構築できません。 $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

編集：@usulの答えと@Okamotoと@Kingのコメントに触発されて、私は私の問題のより弱い形を見つけました：グラフ頂点カラーリングは、次のように定義されたハイパーグラフエッジカラーリングです。頂点集合同一の頂点集合である。各頂点のためのの、閉鎖近傍ハイパーグラフのエッジである $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ 。次いで、ハイパーグラフの線グラフである、したがって着色の頂点のエッジ着色さ。 $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

繰り返しますが、を仮定して、または仮定せずに、探している演算子が存在できないことを示すすべての回答とコメントに感謝します。すべての答えを受け入れることができたらいいですね！ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— user13136
ソース

親切なコメント（そして忍耐！）と役に立つ回答をありがとう。読む時間、考える時間、そして新鮮な目で戻ってくるかもしれません。

— user13136

1998年に西関と周によって提起された、あなたの質問と@TsuyoshiItoへの2番目のコメントに関連する、次の非常に興味深い問題に出会いました。 頂点の色付けの問題をエッジの色付けの問題に「単純に」減らすことができますか？（...）両方の問題はNP完全であるため、NP完全性の理論により、いずれかは3-SATを介して他の問題に合理的に縮小できます。したがって、オープンな問題は、尋ねる...（参照ここ）

— VBル

@vble：ありがとう！私は「多すぎる」ことを望んでいたことを認めます。そのようなオペレーターは、西関と周の問題を解決するでしょう。

— user13136

回答:

折れ線グラフとの類推によって、私はあなたが次のことを求めていると思う：

すべての無向グラフの、無向グラフが存在するように、各頂点エッジに対応及びエッジは、対応すると共有少なくとも一つのエンドポイント場合にのみ $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ？ $(u,v) \in E$

答えはノーと見ることができます。ルートに3つの子ある4頂点ツリーを考えます。で：、我々は、4つのエッジ有していなければならない。さらに、 $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ または（他の3つのエッジの各々のエンドポイントであるなど）。しかし、これは、他の3つのエッジのうち少なくとも2つが共通のエンドポイントを共有する必要があることを意味します。これは、元のグラフで 2つが隣接していないため、要件に違反しています。 $v_1$ $v_2$ すなわち、 $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

同じグラフから、一致する質問の反例も得られると思います。

— us
ソース

いい視点ね！実際、私は同じ考えを持っていました。しかし、

を定義する別の方法があるかもしれません。または、そのような演算子

が存在しないことをどのように正式に証明できますか？

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136、うーん、多分それを回避するための何らかの創造的な方法があるかもしれませんが、あなたはあなたの質問を言い換える必要があります（私の反例は引用されたボックスで言い表されるように質問の正式な証拠だと思います）直観的に、問題は線グラフの方向に行くとき、エッジ（2つの頂点にのみ接続できる）を取り、頂点（任意の数のエッジに接続できる）に変えることだと思う。逆は逆で難しいです。

— -usul

usulの答えに加えて、短い答えはノーです。なぜなら、マッチングは、安定したセットに必ずしも存在しない構造的特性を持っているからです。たとえば、すべての折れ線グラフも準線であり、爪がありません。これにより、頂点の色付けと比較してエッジの色付けの深さが本当に制限されます。

— アンドリューD.キング

この質問には、「グラフGの頂点カラーリングはグラフHのエッジカラーリング」という意味にいくつかのあいまいさが含まれていますが、エッジの色数が（頂点）色数に等しいグラフを作成するのはNP困難です与えられたグラフ。正式には、次の関係の問題はNP困難です。

エッジ色数などの色数を表す
インスタンス Aグラフ：Gを。
溶液：AグラフHようにエッジ波長数χ '（Hの）H色数χ（に等しいGの）G。

それの訳は Vizingの定理が、1の加算誤差内でエッジの色数を近似する（自明の）効率的なアルゴリズムを提供する一方色数はさまざまな意味で近似することさえ難しいためです。たとえば、Khanna、Linial、およびSafra [KLS00]は、次の問題がNP完全であることを示しました（そして、後にGuruswamiとKhanna [GK04]がはるかに簡単な証明を与えました）。

3-着色対ノン-4-着色
インスタンス：AグラフG。
はい-約束：Gは3色です。
約束なし：Gは4色ではありません。

この結果は、私が最初に主張したNP硬度を証明するのに十分です。証拠は演習として残されていますが、ここにヒントがあります。

エクササイズ。前述の問題「色彩数をエッジの色彩数として表現する」は、「3色付け可能対非4色付け可能」を減らすことにより、多項式時間の関数還元性の下でNP困難であることを証明します。つまり、2つの多項式時間関数f（グラフをグラフにマッピングする）とg（グラフをビットにマッピングする）を作成します。

場合Gは 3-着色グラフであり、Hはそのようなそのχ（グラフであるF（G））=χ '（H）、次いで G（Hは、1）=。

場合Gは非-4-着色グラフであり、Hは、 χ（ようなグラフであるF（G））=χ '（H）は、G（Hは）= 0。

参照資料

[GK04]ベンカテサン・グルスワミとサンジーエフ・カンナ。4色の硬さ3色のグラフ。 離散数学上のSIAMジャーナル、18（1）：30-40、2004 DOI：10.1137 / S0895480100376794。

[KLS00] Sanjeev Khanna、Nathan Linial、およびShmuel Safra。色数に近似する硬度について。 Combinatorica、20（3）：393から415、2000年3月DOI：10.1007 / s004930070013。

— 伊藤剛
ソース

返信ありがとうございます！I「は、グラフの頂点着色処方によって少し不正確午前

あり、グラフのエッジ着色

」。つまり、折れ線グラフ演算子

ような演算子

ですが、頂点の色付けからエッジの色付けまでです。これはどういうわけか

よりも大きい。

G

$G$

H

$H$

Φ

$\Phi$

L

$L$

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$

— user13136

VERTEX着色剤およびEDGE着色の両方であるので

-complete、我々は、定義により、構築することができ、

から

多項式時間におけるように

IFF

.Butこのような構成を必要としません私が探しているオペレーター

特性を満たす。頂点の色をエッジの色に減らすだけです。

N P

$\mathsf{NP}$

H

$H$

G

$G$

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136：弱い要件を満たせない場合、強い要件も明らかに不可能です。これはロジックです。平面グラフの例はこれに対する反例ではないことを理解する必要があります。特定の平面グラフの3色彩度を決定することは、特定の平面グラフの4色彩度を決定するよりも弱い要件ではありません。それらは異なる要件です。一方、P = NP、ピリオドでなければ、あなたが望むことは不可能であることをすでに示しました。しかし、あなたがこれを理解するのに苦労しているならば、私があなたが理解するのを助けるために私がすることができる何かがあるとは思いません。

— 伊藤剛

私が正しく質問を理解していれば、そのようなマップ

存在しません。NP完全性について言及する必要はありません。ちょうど考える

、そのような仮定

存在します。以来、

2-着色であり、

2-エッジ着色可能であるべきであるが。これは、

の最大次数が最大2であることを意味します。以来

四辺を持って、我々はのために、すべての候補者を通過することができ

Φ

$\Phi$

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$ （同型までの7つの候補）、

の辺の色のファミリーと

の頂点の色のファミリーが異なることがわかります。矛盾。

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

— 岡本良夫

@ user13136：証明のアイデアだけを書いたので、実際の証明を省略したため、混乱しているのではないかと思いました。実際の証明を省略したことが明確になるように答えを修正し、証明のためのヒントを追加しました。それでもうまくいかない場合は、あきらめます。

— 伊藤剛

（これはかなりの答えよりも、usulの答えとYoshioOkamotoさんのコメントに加えている。）あなたの運転することが分かるこれらのグラフのためにのみ存在するグラフが存在するためにと、すなわちは折れ線グラフです（ポリタイムでチェック可能）。この場合、は「逆線グラフ演算子」、つまりであり、頂点カラーリングは $\Phi$ $G$ $G'$ $G = L(G')$ $G$ $\Phi$ $L^{-1}$ $\Phi(G)=G'$ $G$ 。 $\Phi(G)$

— 理論的には
ソース