従属レコードのパラメトリック性と射影消去

A \times B ≜ \forall α . (A \to B \to α) \to α

$A \times B \triangleq \forall\alpha.\; (A \to B \to \alpha) \to \alpha$

π_{1} : A \times B \to A

$\pi_1 : A \times B \to A$

π_{2} : A \times B \to B

$\pi_2 : A \times B \to B$

これは、F型の自然な読み取りがletスタイルの消去とペアであるにもかかわらず、それほど驚くべきことではありません $\mathsf{let}\;(x,y) = p \;\mathsf{in}\; e$ は、2種類のペアが直観主義的なロジックで相互導出可能であるためです。

さて、命令的数量化を伴う従属型理論では、同じパターンに従って従属レコード型をエンコードできます $\Sigma x:A.\; B[x]$ as

Σ x : A . B [x] ≜ \forall α . (Π x : A . B [x] \to α) \to α

$\Sigma x:A.\;B[x] \triangleq \forall\alpha.\; (\Pi x:A.\; B[x] \to \alpha) \to \alpha$ しかし、この場合、射影エリミネーターを定義する簡単な方法はありません

π_{1} : Σ x : A . B [x] \to A

$\pi_1 : \Sigma x:A.\;B[x] \to A$ および

π_{2} : Π p : (Σ x : A . B [x]) . B [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\Sigma x:A.\;B[x]).\; B[\pi_1\,p]$ 。

ただし、型理論がパラメトリックである場合、パラメトリック性を使用して $\pi_2$ が定義可能であることを示すことができます。これは既知のようです---たとえば、Dan DoelによるコメントなしでのこのAgdaの開発を参照してください---しかし、私はこの事実の参照を見つけることができないようです。

パラメトリック性が従属型の射影消去を定義できるという事実の参照を誰かが知っていますか？

編集：私がこれまでに見つけた最も近いものは、ハーマン・ゲーバーズによるこの2001年の論文です。誘導は二次依存型理論では導出できず、パラメトリック性なしではそれができないことを証明しています。

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

この投稿から質問が何であるかわかりません。（私は地域の何も知らないし、とにかく知りませんが、質問を明確にしたいと思います）

— ヴィジェイD

編集の上に明示的な質問行を追加しました。これは役立ちますか？

— ニールクリシュナスワミ

はい。最初は、それが参照要求だけなのか、それとも証拠の要求なのかがわからなかった。私は周りに尋ねます。

— ビジェイD

数か月前にここで議論しました：queuea9.wordpress.com/2012/03/28/why-not-lambda-encode-dataそして、パラメトリック性->排除の原則はフォークロア/ダンのオリジナル作品だと思います。これらの議論は、J.-P。によるパラメトリック性に関する他の議論に近いものです。バーナーディ従属合計に関するCoq標準ライブラリの開発をご覧になるとよいでしょう：coq.inria.fr/stdlib/Coq.Init.Specif.htmlおよび多分coq.inria.fr/stdlib/Coq.Logic.EqdepFacts.html#

— コーディ

@kvb：前向きな答えはまだないと思います。構文の微積分（中parametricity上（デレクドレイヤーで）私の最近のドラフトではmpi-sws.org/~neelk/internalizing-parametricity.pdf）、私たちはそのparametricityが落札示し音あなたは強いelimsを取得してみましょう公理を追加します教会のエンコーディング。ただし、うまく計算できる方法でパラメトリック性を内部化する方法についてはまだ良い話がありません（おそらく、JP Bernardyのメソッドを型理論に統合する必要があります）。これは不可能に思えませんが、まだどのようになっているかはわかりません。

— ニールクリシュナスワミ

私はDan Doelと話をしたところ、彼の言及は実際にはニール・クリシュナスワミだと説明しました。彼は、パラメトリック性を使用して強力な誘導を行うことができるというあなたからのn-cafeのコメントを見ました。

正確な引用：「私の参照は彼でした。彼はそれが可能であると言ったと思ったので、私はそれをしました。」

— sclv
ソース