ノイズ演算子の拡張

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私が現在取り組んでいる問題では、ノイズ演算子の拡張が自然に発生し、以前の仕事があったかどうかに興味がありました。まず、私は基本的なノイズオペレータ修正しましょう $T_{\varepsilon}$ の実数値ブール関数にします。与えられた関数 $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ と $\varepsilon$ 、 $p$ ST $0 \leq \varepsilon \leq 1$ 、 $\varepsilon = 1 - 2p$ 、我々は定義 $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ のような $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ 上に分布され $y$ の各ビットに設定することによって得られた $n$ であることビットベクトルを $1$ 確率で独立 $p$ と $0$ そうでありません。同様に、このプロセスは、各ビット $x$ を独立した確率で反転させると考えることができます $p$ 。ここで、このノイズオペレータがあるなど、多くの有用な特性を有する乗法 $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ とを有する素敵な固有値と固有ベクトル（パリティベースに属しています）。 $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ $\chi_S$

私は今の私の拡張を定義してみましょう $T_\varepsilon$ Iのように表し、 $R_{(p_1,p_2)}$ 。 $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ で与えられる $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ 。しかし、ここで私たちの分布 $\mu_{p,x}$ 、我々が反転するようなものである $1$ のビット $x$ に $0$ 確率で $p_1$ と $0$ のビット $x$ に $1$ の確率で $p_2$ 。（ $\mu_{p,x}$ 今や明らかに分布依存している $x$ 関数が評価され、もし $p_1 = p_2$ 、次いで $R_{(p_1,p_2)}$ 「正規」ノイズオペレータに減少させます。）

この演算子すでに文献のどこかでよく研究されているのだろうか？または、その基本的な特性は明らかですか？私はブール解析から始めているので、これは私よりも理論に精通している人には簡単かもしれません。特に、固有ベクトルと固有値に優れた特性があるかどうか、または乗算特性があるかどうかに興味があります。 $R_{(p_1,p_2)}$

boolean-functions fourier-analysis

— アミール
ソース

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質問の2番目の部分に答えます。

I.固有値と固有関数

最初に1次元のケース考えてみましょう。それは確認することは容易であるオペレータ 2つの固有関数があります：及び、固有値および $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

それぞれ。

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

次に、一般的なケースを考えます。以下のために、聞かせ。ことを観察の固有関数である。実際、すべての変数は独立しているため、 $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

我々はそれを得るの固有関数である固有値ですべてのための。機能するためスパン全体空間、 $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ （の線形結合ではない他の固有関数がありません）。 $\xi_S(x)$

II。乗算特性

一般的に、「乗法プロパティが」のため保持していないの固有基底ので、に依存し及び。しかし、我々は $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

および

。そのこと、最初の音を確認するために

および

固有関数の同じ設定されている

。私たちは、持っている

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

以来

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

III。ボナミとの関係—ベックナー演算子

$\{0,1\}^n$ ${\mathbb R}$ $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

A_{δ} (f) = f (x_{1} + δ, \dots, x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$

f

$f$

A [f]

$A[f]$

R_{p_{1}, p_{2}} (f) = A_{δ}^{- 1} T_{ε} A_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

— ユリー
ソース

ユリー、答えてくれてありがとう！それは、私が仕事をするための良い出発点です。これで、超収縮不平等の類似物があるかどうかを判断できるはずです。さらに興味深い分析があれば、ここに投稿します。

— アミール

これは事後非常に長い間ですが、どのように第三部とベッカーボナミ演算子との関係を導き出しましたか？

— アミール

f = 1

$f=1$

f = x_{i}

$f=x_i$

1

$1$

x_{i}

$x_i$

T_{ε}

$T_\varepsilon$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$

T

$T$ 固有ベクトルに「対応」

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$ の

R

$R$ 。かくして

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$ ここで、Aはマッピングする線形マップです

ξ (x)

$\xi(x)$ に

x

$x$ 。

— ユーリー

3

最終的には、の超収縮特性を分析することができました $R_{p_1, p_2}$ （http://arxiv.org/abs/1404.1191）、の主要なフーリエ解析の構築 $R_{p,0}$ Ahlberg、Broman、Griffiths、Morris（http://arxiv.org/abs/1108.0310）。

まとめると、偏った演算子の効果 $R_{p,0}$ 機能について $f$ バイアス測定空間で対称ノイズ演算子として分析できます。これにより、弱い形態の過収縮が生じます。これは、 $\ell_2$ の規範 $f$ バイアス測定の選択に切り替えると変化します $\mu$ に応じて $p$ 。

— アミール
ソース

質問がポップアップし続けないように、この回答を「受け入れる」ことができます（免責事項：私はリンクされた論文の著者です）

— Suresh Venkat