軍事政権を分割する堅牢性

ブール関数は、が最大で影響変数を持つ場合、ジャンタであると言います。$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$k$$f$$k$

ましょうである -junta。変数の意味によって。修正 が影響変数の少なくともを含むような が存在することは明らかです。$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$2k$$f$$x_1, x_2, \ldots, x_n$S 1 = { X 1は、xは2、... 、XがN2 }、S 2 = { x n2 +1、xn2 +2、…、xn}。S∈{S1、S2}SK

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ $S \in \{S_1, S_2\}$$S$$k$$f$

ここでとし、は epsilon-すべての -junta から遠いものと仮定します（つまり、の値を少なくとも -junta にするために）。上記のステートメントの「堅牢な」バージョンを作成できますか？すなわち、普遍定数の存在である、セットように、あるせいぜい含むすべての機能から-farに影響を与える変数？ε > 0 F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 } ε 2 K ε F 2 K C S ∈ { S 1、S 2 } F $\epsilon > 0$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\epsilon$$2k$$\epsilon$$f$$2k$$c$$S \in \{S_1, S_2\}$$f$c k$\frac{\epsilon}{c}$$k$$S$

注：質問の元の定式化では、はに修正されました。Nealの例は、このような値では不十分であることを示しています。ただし、プロパティテストでは通常定数にあまり関心がないため、条件を少し緩和しました。$c$$2$$c$

答えは「はい」です。その証拠は矛盾です。

表記上の便宜上、最初のn / 2変数をxで、2番目のn / 2変数をyで示します。仮定するFを（X 、Yは）であるδ -close関数F 1（X 、Y ）のみに依存するk個の座標X。影響力のある座標をT 1で示します。同様に、f （x 、y ）が$n/2$$x$$n/2$$y$$f(x,y)$$\delta$$f_1(x,y)$$k$$x$$T_1$$f(x,y)$δ -close関数 F 2（X 、Y ）のみに依存する k個の座標 Y。影響力のある座標を T 2で示します。我々は証明する必要 fがある 4 δに近い- 2 k個の -junta〜F（X 、Y ）。$\delta$$f_2(x,y)$$k$$y$$T_2$$f$$4\delta$$2k$$\tilde f(x,y)$

x 1とx 2がT 1のすべての座標で一致し、y 1とy 2がT 2のすべての座標で一致する場合、（x 1、y 1）〜（x 2、y 2）としましょう。各等価クラスから代表を一様にランダムに選択します。ましょう（ˉ X、ˉ Y）のクラスの代表である（X $(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$$x_1$$x_2$$T_1$$y_1$$y_2$$T_2$$(\bar x, \bar y)$y ）。定義〜Fを次のように 〜F（X 、Y ）= F （ˉ X、ˉ Y）$(x,y)$$\tilde f$

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

ことは明らかである〜fがある2 k個の -junta（それが唯一の変数に依存してT 1 ∪ T 2）。私たちは、それが距離であることを証明しなければならない4 δからFの期待インチ$\tilde f$$2k$$T_1 \cup T_2)$$4\delta$$f$

私たちは、そのことを証明したい のPr 〜F（Prはxは、Y（〜F（X 、Y ）≠ F （X 、Y ）））= Prの（F （ˉ のx、ˉ Y）≠ F （X 、Y ））≤ 4つのδ 、X及びYは、ランダムに一様に選択されます。ランダムなベクトルを考えます

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$〜xをから得られたXのすべてのビットを保持することによりT1とランダムに存在しないすべてのビットを反転T1、及びベクター〜Yは同様に定義。なお、 Prの（〜F（X、Y）≠F（X、Y））=Prの（F（ ˉ X、 ˉ Y）≠F（X、Y））=$\tilde x$$x$$T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

我々は、

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

同様のPr （F （〜X、Y ）≠ F （〜X、〜Y））≤ 2 δ。我々は Prの（F （ˉ X、ˉ Y）≠ F （X 、Y ））≤ 4 δを。 QED$\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$

この証明を「ランダム化解除」するのは簡単です。すべてのために（X 、Y ）、聞かせて〜F（X 、Y ）= 1であれば、F （X 、Y ）= 1ほとんどのための（X "、Y "）の同値クラスの（X 、Y ）、及び〜F（x 、y ）= 0、それ以外の場合。$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

境界が保持する最小のcはc = $c$√2 -1≈2.41。$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

補題1と2は、このcに対して境界が成り立つことを示しています。補題3は、この限界が厳しいことを示しています。$c$

（比較すると、Juriのエレガントな確率論的議論はc = 4を与えます。）$c=4$

してみましょうC = 1√2 −1。補題1は、k=0の上限を示します。$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$$k=0$

Lemma 1: If $f$ is $\epsilon_g$-near a function $g$ that has no influencing variables in $S_2$, and $f$ is $\epsilon_h$-near a function $h$ that has no influencing variables in $S_1$, then $f$ is $\epsilon$-near a constant function, where $\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$.

Proof. Let $\epsilon$ be the distance from $f$ to a constant function. Suppose for contradiction that $\epsilon$ does not satisfy the claimed inequality. Let $y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$ and $z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$ and write $f$, $g$, and $h$ as $f(y,z)$, $g(y,z)$ and $h(y,z)$, so $g(y,z)$ is independent of $z$ and $h(y,z)$ is independent of $y$.

(I find it helpful to visualize $f$ as the edge-labeling of the complete bipartite graph with vertex sets $\{y\}$ and $\{z\}$, where $g$ gives a vertex-labeling of $\{y\}$, and $h$ gives a vertex-labeling of $\{z\}$.)

Let $g_0$ be the fraction of pairs $(y,z)$ such that $g(y,z) = 0$. Let $g_1=1-g_0$ be the fraction of pairs such that $g(y,z) = 1$. Likewise let $h_0$ be the fraction of pairs such that $h(y,z) = 0$, and let $h_1$ be the fraction of pairs such that $h(y,z) = 1$.

Without loss of generality, assume that, for any pair such that $g(y,z) = h(y,z)$, it also holds that $f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$. (Otherwise, toggling the value of $f(y,z)$ allows us to decrease both $\epsilon_g$ and $\epsilon_h$ by $1/2^n$, while decreasing the $\epsilon$ by at most $1/2^n$, so the resulting function is still a counter-example.) Say any such pair is ``in agreement''.

The distance from $f$ to $g$ plus the distance from $f$ to $h$ is the fraction of $(x,y)$ pairs that are not in agreement. That is, $\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$.

The distance from $f$ to the all-zero function is at most $1 - g_0 h_0$.

The distance from $f$ to the all-ones function is at most $1-g_1 h_1$.

Further, the distance from $f$ to the nearest constant function is at most $1/2$.

Thus, the ratio $\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$ is at most

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ where $g_0,h_0 \in [0,1]$ and $g_1 = 1-g_0$ and $h_1=1-h_0$.

By calculation, this ratio is at most $\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$. QED

Lemma 2 extends Lemma 1 to general $k$ by arguing pointwise, over every possible setting of the $2k$ influencing variables. Recall that $c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$.

Lemma 2: Fix any $k$. If $f$ is $\epsilon_g$-near a function $g$ that has $k$ influencing variables in $S_2$, and $f$ is $\epsilon_h$-near a function $h$ that has $k$ influencing variables in $S_1$, then $f$ is $\epsilon$-near a function $\hat f$ that has at most $2k$ influencing variables, where $\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$.

Proof. Express $f$ as $f(a,y,b,z)$ where $(a,y)$ contains the variables in $S_1$ with $a$ containing those that influence $h$, while $(b,z)$ contains the variables in $S_2$ with $b$ containing those influencing $g$. So $g(a,y,b,z)$ is independent of $z$, and $h(a,y,b,z)$ is independent of $y$.

For each fixed value of $a$ and $b$, define $F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$, and define $G_{ab}$ and $H_{ab}$ similarly from $g$ and $h$ respectively. Let $\epsilon^g_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $G_{ab}$ (restricted to $(y,z)$ pairs). Likewise let $\epsilon^h_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $H_{ab}$.

By Lemma 1, there exists a constant $c_{ab}$ such that the distance (call it $\epsilon_{ab}$) from $F_{ab}$ to the constant function $c_{ab}$ is at most $(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$. Define $\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$.

Clearly $\hat f$ depends only on $a$ and $b$ (and thus at most $k$ variables).

Let $\epsilon_{\hat f}$ be the average, over the $(a,b)$ pairs, of the $\epsilon_{ab}$'s, so that the distance from $f$ to $\hat f$ is $\epsilon_{\hat f}$.

Likewise, the distances from $f$ to $g$ and from $f$ to $h$ (that is, $\epsilon_g$ and $\epsilon_h)$ are the averages, over the $(a,b)$ pairs, of, respectively, $\epsilon^g_{ab}$ and $\epsilon^h_{ab}$.

Since $\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$ for all $a, b$, it follows that $\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$. QED

Lemma 3 shows that the constant $c$ above is the best you can hope for (even for $k=0$ and $\epsilon=0.5$).

Lemma 3: There exists $f$ such that $f$ is $(0.5/c)$-near two functions $g$ and $h$, where $g$ has no influencing variables in $S_2$ and $h$ has no influencing variables in $S_1$, and $f$ is $0.5$-far from every constant function.

Proof. Let $y$ and $z$ be $x$ restricted to, respectively, $S_1$ and $S_2$. That is, $y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$ and $z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$.

Identify each possible $y$ with a unique element of $[N]$, where $N=2^{n/2}$. Likewise, identify each possible $z$ with a unique element of $[N]$. Thus, we think of $f$ as a function from $[N]\times[N]$ to $\{0,1\}$.

Define $f(y,z)$ to be 1 iff $\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$.

By calculation, the fraction of $f$'s values that are zero is $(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$, so both constant functions have distance $\frac{1}{2}$ to $f$.

Define $g(y,z)$ to be 1 iff $y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. Then $g$ has no influencing variables in $S_2$. The distance from $f$ to $g$ is the fraction of pairs $(y,z)$ such that $y<\frac{1}{\sqrt 2}N$ and $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. By calculation, this is at most $\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

Similarly, the distance from $f$ to $h$, where $h(y,z)=1$ iff $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$, is at most $0.5/c$.

QED