ランダムグラフ上のハミルトニアンサイクルの数

と仮定します。次に、次の事実がよく知られています。 $G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

\begin{array}{rcl} P r [G ハミルトニアンサイクルがある] = {\begin{cases} 1 & （ c （ n ） \to \infty ） \\ 0 & （ c （ n ） \to - \infty ） \\ e^{- e^{- c}} & （ c （ n ） \to c ） \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$

ランダムグラフのハミルトニアンサイクル数に関する結果を知りたい。

Q1。のハミルトニアンサイクルの予想数はいくつですか？ $G(n,p)$

Q2。確率は何であるエッジ確率のための上の？ $Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$ $p$ $G(n,p)$

graph-theory co.combinatorics randomness

— エレリー
ソース

おそらくQ1を自分で答えることができます。ヒント：期待の線形性。

— ユヴァルフィルマス

Yuvalが言ったように、Q1は期待の線形性（ネタバレ：）を使用して簡単に答えることができます。Q2の正確な答えはわかりませんが、非常に低いことがわかっていれば十分かもしれません。少なくとも1サイクルあるの範囲では、程度。つまり、1つのサイクルがあれば、多くのサイクルがあります。理由は、1サイクルになると、前後になるからです。 $(n-1)!p^n$ $p$ $P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$ $n^2$ サイクルの2つのエッジを2つの「交差」エッジで交換することにより、それから別のサイクルを作成する方法（これは、関連する文献のいくつかで「2フリップ」または何かと呼ばれます）。エッジの任意のペアについて、あなたができるチャンスはです。したがって、これらすべてが失敗する可能性はあり、これはほぼであり、これは非常に小さいです。 $p^2$ $(1-p^2)^{n^2}$ $e^{-(pn)^2}$

— 匿名のムース
ソース