理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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最短経路のデータ構造
ましょうGGG有する重み付けされていない無向グラフである頂点とエッジ。を前処理し、サイズデータ構造を作成して、時間O（n）で「と間の距離」という形式のクエリに答えることは可能ですか？M G M ⋅ P O L Y L O G（N ）UがVnnnmmmGGGM ⋅ P O リットルのY L O G（N ）m⋅polylog（n）m \cdot \mathrm{polylog}(n)あなたはあなたはuvvv この問題は未解決にするには基本的すぎるようです。
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量的金融の計算の複雑さ
株式市場の予測は難しいです！TCSはこの感情をより正式にすることができますか？ 最近、私は金融について少し考え始め、TCSの知識がどのように役立つか疑問に思っていました。ヘッジファンドや投資会社は常にアルゴリズム取引、機械学習、AIを使用しているようですが、TCSの結果はほとんどないようです。特に、私は2つの論文しか知りません： Sanjeev Arora、Boaz Barak、Markus Brunnermeier、およびRong Ge、Computational Complexity and Information Asymmetry in Financial Products、2009年 Philip Z. Maymin、Marketsは、P = NP、2011の場合にのみ効率的です。 最初の論文は、デリバティブが、計算限界エージェントの情報の非対称性のコストを（それを減らすという望ましい目標の代わりに）増幅できることを示しています。2番目の論文は、NP困難な問題を解決するために市場効率を使用できることを示すことにより、効率的な市場の一般的な信念に挑戦します。 関連するアイデアに関する本/調査または独創的な論文はありますか？特に、市場を予測または近似すること、またはそのような市場で最適に（または最適に近い）取引をすることの難しさに関連するものは？ もう少しメタ質問：なぜこれに関する論文の不在があるように見えるのですか？関心がないのですか、それともすべての利害関係者が非公開契約の背後に隠れているクオンツになるのですか？ 関連する質問 社会科学におけるアルゴリズムレンズ 金融経済学におけるポートフォリオ理論の複雑性分類とは何ですか？
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最小内積クエリのデータ構造
検討Rを NRn\mathbb{R}^n標準内積を備えとベクトルが：。次の形式のクエリを許可するデータ構造を構築したい：given output。些細なO（nm）クエリ時間を超えることは可能ですか？たとえば、n = 2の場合、O（\ log ^ 2 m）をすぐに取得できます。⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \ranglemmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mx∈Rnx \in \mathbb{R}^n分I ⟨ X 、V 、I ⟩ O （N M ）、N = 2 O （ログ2メートル）mini⟨x,vi⟩\min_i \langle x, v_i \rangleO(nm)O(nm)n=2n = 2O(log2m)O(\log^2 m) 私が思いつくことができる唯一のものは次のとおりです。ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題の直接の結果であり、すべてのε > 0ε>0\varepsilon > 0および\ mathbb {R} ^ n上の分布DD\mathcal{D}に対して、線形マッピングf \ colon \ mathbb …
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NPの完全な問題はありますか？
その中紙（P 503）Gareyとジョンソンの発言： ... NPの完全な問題が存在する可能性がありますが、これは強い意味でNPが完全ではなく、擬似多項式時間アルゴリズムによっても解決できません... 上記のプロパティに関する問題の候補を誰か知っていますか？ この質問に対する可能な答えは、疑似多項式アルゴリズムが知られていないような、通常の意味でのNP完全問題のリストになる可能性があると思います。
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暗号化には固有の熱力学的コストがありますか？
リバーシブルコンピューティングは、熱力学的にリバーシブルな操作のみを許可する計算モデルです。少しの情報を消去するとジュールの熱が放出されると述べているランダウアーの原理によれば、これは1対1ではない遷移関数（たとえば、ブールANDおよびOR演算子）を排除します。量子計算で許可される演算はユニタリ行列で表されるため、量子計算は本質的に可逆であることはよく知られています。k Tln（2 ）kTln⁡(2)kT \ln(2) この質問は暗号に関するものです。非公式には、「可逆性」という概念は暗号化の基本的な目標に対する嫌悪感のようであり、「暗号化には固有の熱力学的コストがあるのか​​？」という質問を示唆しています。 これは、「すべてを量子で行うことができますか？」とは異なる質問だと思います。 彼には講義ノート、博士Preskillは述べ、「可逆コンピュータ上で不可逆的な計算をシミュレートするための一般的な戦略があります。それぞれの不可逆的なゲートは入力を固定し、出力を無視することによってトフォリゲートによってシミュレートすることができます。私たちは、蓄積し、すべての「ごみのセーブ'計算のステップを逆にするために必要な出力ビット。 " これは、不可逆操作のこれらの可逆量子シミュレーションが入力と「スクラッチ」スペースをとることを示唆しています。次に、操作はいくつかの「ダーティ」スクラッチビットとともに出力を生成します。演算はすべて、出力とガベージビットに関して可逆的ですが、ある時点で、ガベージビットは「破棄」され、それ以上考慮されません。 暗号化はトラップドア一方向関数の存在に依存するため、「スクラッチスペースを追加せずに、可逆論理演算のみを使用して実装できるトラップドア一方向関数はありますか？」もしそうなら、リバーシブル操作のみを使用して、スクラッチスペースなしで任意のトラップドア一方向関数を計算することも可能ですか？
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回答検索の理論的な指数関数的な複雑さ（クエリのサイズ）を考えると、なぜリレーショナルデータベースがまったく機能しないのですか？
リレーショナルデータベースでクエリ回答を見つけるには、時間が必要であり、指数を取り除くことができないことがわかっているようです。D | D | | Q | | Q |QQQDDD| D || Q ||D||Q||D|^{|Q|}| Q ||Q||Q| 非常に大きくなる可能性があるデータベースは、実際にすべてで働いなぜ、我々は疑問に思います。DDD 実際のアプリケーションでは、通常のクエリがまったく大きくないというだけの問題ですか？（その後、リレーショナルデータベースシステムに提示されるクエリの通常のサイズと、実際にDBシステムが効果的に回答できると予想されるクエリの「最大」サイズが何であるかを知ることは興味深いです。） 指数に関する注意事項「取り外し可能」ではない| Q ||Q||Q| 指数は削除可能ではありません。データベースによって指定されたグラフにサイズnのクリークが存在するかどうかを問い合わせるクエリを使用できます。グラフにnクリークがあるかどうかを確認することは、NP完全問題です。さらに、パラメータnを使用した固定パラメータは扱いやすくありません。詳細については、たとえば、 Libkin、L .: Elements of Finite Model Theoryに記載されています。Springer（2004） または Papadimitriou、CH、Yannakakis、M .:データベースクエリの複雑さについて。J.計算 システム。科学 58（3）、407–427（1999）| Q ||Q||Q|nnnnnnnnn
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ダイヤモンドの基準と関連する州の距離との間に関係はありますか？
量子情報理論では、2つの量子チャネル間の距離は多くの場合、ダイヤモンドノルムを使用して測定されます。トレース距離、忠実度など、2つの量子状態間の距離を測定する方法もいくつかあります。Jamiołkowski同型は、量子チャネルと量子状​​態の間に二重性を提供します。 ダイヤモンドのノルムは計算が難しいことで有名であり、Jamiołkowskiの同型は、量子チャネルの距離測定と量子状態との相関関係を暗示しているように思えるので、これは少なくとも興味深いことです。だから、私の質問はこれです：ダイヤモンドノルムの距離と関連する状態間の距離（何らかの尺度で）の間に既知の関係はありますか？
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上限と下限の「正しい」定義とは何ですか？
してみましょうf(n)f(n)f(n)サイズの入力に問題の時間を実行している最悪のケースであるnnn。私たちは固定してビット奇妙な問題を作ろうf(n)=n2f(n)=n2f(n) = n^2のためn=2kn=2kn=2kが、f(n)=nf(n)=nf(n) = nのためn=2k+1n=2k+1n=2k+1。 それでは、問題の下限は何ですか？私が理解した方法は、下限にすぎませんf(n)f(n)f(n)。しかし、は、すべてのn > n 0、f （n ）> k n 2 に対してf(n)=Ω(n2)f(n)=Ω(n2)f(n) = \Omega(n^2)定数kkk、が存在することを意味し、これは真実ではないことを知っています。したがって、f （n ）= Ω （n ）としか言えないようですn0n0n_0n>n0n>n0n > n_0f(n)>kn2f(n)>kn2f(n) > kn^2f(n)=Ω(n)f(n)=Ω(n)f(n) = \Omega(n)。しかし、通常、問題の下限はΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)であると呼びますか？ と仮定すると、すべてのn > n 0、g （n ）> k n 2 に対してg(n)=Ω(n2)g(n)=Ω(n2)g(n) = \Omega(n^2)定数kkk、が存在することを意味します。また、問題に実行時間g （n ）があると仮定しましょう。すべての素数nについてこの問題を別の問題（同じ入力サイズ）に減らすことができる場合、他の問題の実行時間の下限はΩ （nn0n0n_0n>n0n>n0n > n_0g(n)>kn2g(n)>kn2g(n) > kn^2g(n)g(n)g(n)nnnΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)？
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成長する無向グラフのバランスの取れたスパニングツリーを維持する
グラフに新しいノード/エッジを追加する際に、グラフの比較的バランスの取れたスパニングツリーを維持する方法を探しています。 単一のノード、「ルート」として開始する無向グラフがあります。 各ステップで、新しいノードとグラフに接続するエッジ、または2つの古いノードを接続する新しいエッジのいずれかをグラフに追加します。グラフを成長させると、スパニングツリーが維持されます。ほとんどの場合、これは、新しいノードとエッジを追加するときに、新しいノードを接続先の古いノードの子に設定することを意味します。 新しいノードを追加する順序を制御することはできません。そのため、上記のツリー構築アルゴリズムは明らかに、不均衡なスパニングツリーにつながる可能性があります。 再ツリー化で行われる作業量を最小限に抑えながら、スパニングツリーを「比較的バランスの取れた」状態に保つオンラインヒューリスティックを知っている人はいますか？ツリー構造を完全に制御できます。私が制御できないのは、グラフの接続性、または新しいノードが追加される順序です。 「balanced」、「spanning」、「tree」などの用語に対するGoogleの標準的な応答は、どちらも当てはまらないバイナリツリーとBツリーのように見えることに注意してください。グラフノードには任意の数の隣接ノードを含めることができるため、ツリーノードには2つのバイナリツリーのような2つではなく、任意の数の子を含めることができます。Bツリーは、隣接リストを変更することでバランスを維持しますが、グラフの接続を変更することはできません。
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Cerny推測のステータス？
DFAのいずれかの状態を単一の状態に送信する文字列がある場合、DFAには同期ワードがあります。AN Trahtmanによる「非周期的オートマトンのCerny予想」（離散数学と理論計算機科学vol。9：2、2007、pp.3-10）で、彼は書いた、 Cernyは、1964年に、すべてのn状態の同期可能なDFAが最大での長さの同期ワードを持つと推測しました 。（n − 1 ）2（n−1）2(n-1)^2 彼はまた、「非周期的なDFAの基礎となるグラフが強く結びついている場合、この上限は最近推定を減らしたVolkovによって改善されました。n （n + 1 ）/ 6n（n+1）/6n(n + 1)/6 セルニー予想の現在の状況を知っている人はいますか？ そして、どの論文でVolkovは結果n（n + 1）/ 6を取得しましたか？ ポインタまたはリンクをお寄せいただきありがとうございます。
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ウォーレンバフェットの問題
これは、夏に取り組んでいるオンライン学習/盗賊の問題の抽象化です。このような問題は以前に見たことがなく、非常に興味深いようです。関連する作品をご存知の場合は、参考にしてください。 問題 設定は多腕バンディットの設定です。N本の腕があります。各アームiには、それをプレイすることで獲得できる報酬に対する未知の固定確率分布があります。具体的には、各アームiに確率p [i]で報酬$ 10を支払い、確率で$ 0に報酬を支払うと仮定します。1-p [i]。 すべてのラウンドtで、プレイする武器のセットS [t]を選択します。選択した各アームに対して、前払いで1ドルの料金を支払います。選択した各アームについて、そのアームの（未知の）報酬確率分布から引き出される報酬を収集します。すべての報酬は銀行口座に入金され、すべての手数料はその口座から差し引かれます。さらに、各反復の開始時に1ドルのクレジットを取得します。 問題は、各イテレーションでプレイする武器のサブセットを選択して、十分な期間にわたって利益を最大化する（つまり、報酬からプレイ費用を差し引く）ポリシーを作成することです。常時。 腕ごとの報酬分布が以前の分布から選択されるか、敵によって選択されるかを指定しませんでした。どちらの選択も理にかなっています。敵の定式化は私にとってより魅力的ですが、進歩するのはおそらく難しいでしょう。ここで、敵は分布のベクトル（D1、D2、..、DN）を選択します。配分を考えると、最適な予算バランスの方針は、予想される報酬が1ドルを超えるすべての武器をプレイすることです。Pをこの最適な全知ポリシーのステップごとの利益とします。私は、この全知のポリシーについて、後悔（つまり、時間枠Tでの利益の損失）を最小限に抑えるために、オンラインポリシーが必要です。
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UPの結果はNPに等しい
2011/02/08の編集：いくつかの参考文献を見つけて読んだ後、元の質問を2つの別々の質問に分けることにしました。UPとNPに関する部分は次のとおりです。構文および意味クラスの部分については、構文および意味クラスの利点を参照してください。 UPUP\mathsf{UP}（明確な多項式時間、参照についてはwikiと動物園を参照）は、 Nによって決定される言語として定義されます。NPNP\mathsf{NP}、追加の制約ものと-machines 任意の入力で最大1つの計算パスを受け入れます。 対U PおよびU P対N Pの正確な関係はまだ開いています。私たちは、最悪の場合の一方向関数があればと場合にのみ存在することを知っているP ≠ U P、及び介在物のすべての可能性に関連し神託があるP ⊆ U P ⊆ N Pは。PP\mathsf{P}UPUP\mathsf{UP}UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP}P≠UPP≠UP\mathsf{P} \neq \mathsf{UP}P⊆UP⊆NPP⊆UP⊆NP\mathsf{P} \subseteq \mathsf{UP} \subseteq \mathsf{NP} 対N Pが重要な質問である理由に興味があります。人々は（少なくとも信じる傾向にある中で文学これら2つのクラスが異なっていること）、そして私の問題は、次のとおりです。UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP} 場合は、そこに任意の「悪い」結果が起こっていますか？UP=NPUP=NP\mathsf{UP} = \mathsf{NP} 2003年には複雑さに関するブログに関連する投稿があります。私の理解が正しい場合、Hemaspaandra、Naik、Ogiwara、およびSelmanによる結果は、 ある言語Lはそれぞれ充足式のためにそのようなφがあるユニーク満足割り当てXで（φ 、X ）にL、NPNP\mathsf{NP}LLLϕϕ\phixxx(ϕ,x)(ϕ,x)(\phi,x)LLL 次に、多項式階層が第2レベルに崩壊します。が成り立つ場合、そのような含意は知られていない。UP=NPUP=NP\mathsf{UP} = \mathsf{NP}
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ゲーム理論を使用した研究トピックの選択
この最近のゲーム理論の質問は、私に考えさせられました（もちろん接線です）：ゲーム理論を使用して取り組む研究質問を選択するための個人的な戦略を効率的に最適化することは可能ですか？ 質問の形式化に向かう​​ために、次の（非公式に述べられた）仮定を行います。 私は同様に、私が利用できる特定の問題を「楽しんで」います（「好きなことをしてください！」という「ソフト」（そして正しい！）答えを避けるために）。 私が取り組むことを選択した特定の問題に対する答えを見つけることに成功する場合も、しない場合もあります。どんな問題に対しても、問題を解決するのにどれだけ上手くいくかの確率の見積もりがあります（それに時間を費やした後）。 私の目標は、最終的に評価されるとき（仕事に応募する、テニュアに応募する、フェローシップに応募する、など）に私の報酬を最大化することです。 。私は問題ごとの正確な見返りについて明確な考えを持っていませんが、合理的な見積もりをすることができます。 問題のペイオフと問題の難易度の間には、緩やかな逆の関係があります。私の目標のもう1つの声明は、違いを「ゲーム」することです（つまり、「ぶら下がり果物」を探します）。 この全体的な問題のインスタンスは、研究の質問のリスト（おそらく無限数）によって指定され、それに質問の価値と質問の難易度の見積もりをしっかりと付けます（計算コストなしで、入力として与えられます）。私は敵（私を評価している人）に対してこのゲームをプレイしています。自然は、与えられた問題を解決する確率を与えられ、それを試みることを選択した後に問題を解決するかどうかを決定します。 何が起こっているのかを実際に形式化するために（そして、興味のない、または議論/議論型の応答を回避します）、この問題を、無限のアクションセットを持つ不完全な情報を持つ広範な形式のゲームと見なします。 質問：このタイプのゲームは効率的に計算できないと思います。しかし、ほぼ私のペイオフを最大化する多項式時間アルゴリズムはありますか？PTASはどうですか？ または、代わりに、この問題に対してより正確なゲーム理論モデルがありますか？もしそうなら、同じ質問が成り立ちます：私は（およそ）ペイオフを効率的に最大化できますか？もしそうなら、どのように？
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