上限と下限の「正しい」定義とは何ですか？

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してみましょう $f(n)$ サイズの入力に問題の時間を実行している最悪のケースである $n$ 。私たちは固定してビット奇妙な問題を作ろう $f(n) = n^2$ のため $n=2k$ が、 $f(n) = n$ のため $n=2k+1$ 。

それでは、問題の下限は何ですか？私が理解した方法は、下限にすぎません $f(n)$ 。しかし、は、すべての、 $f(n) = \Omega(n^2)$ 定数 $k$ 、が存在することを意味し、これは真実ではないことを知っています。したがって、としか言えないようです $n_0$ $n > n_0$ $f(n) > kn^2$ $f(n) = \Omega(n)$ 。しかし、通常、問題の下限は $\Omega(n^2)$ であると呼びますか？
と仮定すると、すべての、 $g(n) = \Omega(n^2)$ 定数 $k$ 、が存在することを意味します。また、問題に実行時間があると仮定しましょう。すべての素数についてこの問題を別の問題（同じ入力サイズ）に減らすことができる場合、他の問題の実行時間の下限は $n_0$ $n > n_0$ $g(n) > kn^2$ $g(n)$ $n$ $\Omega(n^2)$ ？

cc.complexity-theory time-complexity

— Yu玉
ソース

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これが、数学者がlim supとlim infを使用する理由です。

— ピーターショー

1

だから私は違いを理解していると思う。投稿者はオメガを無限に頻繁に理解していると思います。しかし、明示的に区別したい場合、拡張する以外に使用できる表記はありますか？

— Yu裕

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lim sup \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\limsup \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

k

$k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

lim inf \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\liminf \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

n

$n$

$\$

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@Wei：ほとんどの複雑性理論家（以下のランスを参照）にとって、関数はθ（n ^ 2）です。ほとんどのアルゴリズム主義者（KnuthまたはCLRSを参照）にとって、関数はΟ（n ^ 2）およびΩ（n）です。両方の表記は、それらのサブコミュニティではほぼ標準ですが、完全ではありません。さらに悪いことに、これら2つのサブコミュニティは大きく重なり合っています！したがって、使用する表記法が重要な場合は、使用している表記法を明示的に指定する必要があります。（幸いなことに、それはめったに重要ではありません。）

— ジェフ

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@ジェフ。コメントを回答として投稿してください。

— -chazisop

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の正しい定義は、無限に多くのについてようなが存在するということです。下限の無限の定義は問題を処理し、実際にそれを使用する方法です。 $f(n)=\Omega(n^2)$ $k>0$ $n$ $f(n)\geq kn^2$

私がやった後の 2005年に、この裏には。

一部の教科書はこの定義を正しくしていますが、そうでないものもあります。

— ランス・フォートナウ
ソース

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Knuthはあなたに同意しません：portal.acm.org/citation.cfm

— id=

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CLRSとウィキペディアもあなたに同意しません。無限の定義は注目に値する代替手段ですが、あまり広く使用されていないようです。

— 匿名

例外のセットが指標0のとき、私はこれらの定義は、すべての同意を考える

— カーターTazio Schonwaldの

2

「無限に頻繁に」定義の問題は、通常、「無限に頻繁にはない」定義を除外しないことです。私たちは、恐ろしい結果、この定義で持っているので、が、また、、及び、一部では厳しい注文であることを意味しているのセンス。私はこれが本当に嫌いです。少なくとも@Carterのメジャー0例外の提案は少し恐ろしいものではありませんが、通常の順序よりも細かい順序を許可しています。

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n)=\Omega(n^2)$

f (n) = o (n + 1)

$f(n)=o(n+1)$

Ω

$\Omega$

o

$o$

— アンドラスサラモン

2

@Jukka：いいえ、私は悪用てるここに。あなたが示唆しているように、代わりにを使用するように引数を修正する必要があります。したがって、またはを使用せずに実際の異議を申し上げます。「無限に頻繁に」では、、、さらにという異常があります。そのため、は予約注文も行いません。

o

$o$

O

$O$

o

$o$

o

$o$

O

$O$

n = Ω (f (n))

$n = \Omega(f(n))$

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n) = \Omega(n^2)$

n \neq Ω (n^{2})

$n \ne \Omega(n^2)$

Ω

$\Omega$

— アンドラスサラモン

4

クヌースの定義あなただけ主張することができます。ご覧のとおり、これは直感的ではなく、VitányiとMeertensが「wild」と呼ぶ関数で発生します。彼らは定義することを提案する $f(n)\in\Omega(n)$

Ω (f (n)) = {g ∣ \exists δ > 0 : \forall n_{0} > 0 : \exists n > n_{0} : g (n) \geq δ f (n)} .

$\Omega(f(n))=\{ g \mid \exists \delta>0:\forall n_0>0:\exists n>n_0: g(n)\geq \delta f(n)\}\textrm{.}$

（これはランスの定義と同じです。）この定義では、です。 $f(n)\in\Omega(n^2)$

— マーカス・リット
ソース

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私は最も広く使用されているものについては知りませんが、最も古い使用法を知っていると思います（とにかくコンピューターサイエンスのために）。

Hartmanis＆Stearnsによる1965年の論文「アルゴリズムの計算の複雑さ」では、Corollary 2.1は次のとおりです。

とがような時間関数である場合、 $U$ $T$ $\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$ $S_{U} \subseteq S_{T}$

ここで、は計算可能なすべての問題の複雑度クラスです。T（n）は、整数およびすべてのおよびに従う必要がありますが、時間構成可能である必要はありません。 $S_{K}$ $O( K(n) )$ $T(n) \geq n/k$ $k$ $n$ $T(n) \leq T(n+1)$

関数は、最初の規則に従いますが、2番目の規則に従うことに失敗します。 $k = 1$

系2.2は上記の逆であり、極限を使用しますが、それでもこれらの要件があります。アルゴリズムが年々複雑になったため、要件が緩和された可能性があります。

— チャジソップ
ソース

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次の2つのことを区別する必要があると思います。

関数の下限
問題の下限（アルゴリズム）

関数の場合、順序を修正すると、下限/上限の定義がそれに続きます。順序関係が漸近的である場合majorization（定数因子を無視します）

f ⪯ g : \exists c, n \forall m > n . f (x) \leq c g (x)

$f \preceq g : \exists c,n \forall m>n. \ f(x) \leq c g(x)$

その定義はと通常の定義です。両方とも組み合わせ論のような他の分野で広く使われています。 $O$ $\Omega$

しかし、問題（アルゴリズム）の下限について話すとき、私たちが本当に言いたいのは、問題が（問題を解決するアルゴリズムを実行するために）ある程度のリソースを必要とすることです。多くの場合、複雑度クラスはような関数によってパラメーター化され、問題は関数の下限であると簡単に言いますが、これは素晴らしい関数（アルゴリズムの実行時間など）でのみ機能しますモノトーンなど）。これらの場合に言いたいのは、問題を解決するために実行時間が必要なことです。つまり、未満の実行時間では不十分です。これは、アルゴリズムの実行時間が。 $\mathbf{Time}(t(n))$ $n^2$ $n^2$ $o(t(n))$

— カベ
ソース