理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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現在および今後の高性能コンピューターのアルゴリズムを設計するための適切な理論モデルは何ですか
この質問は、アルゴリズムとデータ構造を設計するのに適切なコンピューターの理論モデルについてのより一般的な質問に似ています。 ここでは、現在の高性能コンピューター（トップ500としてリストされているコンピューターなど）または今後のスーパーコンピューター。 これらのコンピューターは通常、巨大なデータセット（主に巨大な結合メインメモリがあるためにそのようなマシンを使用しているようです）のI / Oモデル（AggarwalとVitterによって1988年に導入された）とその並列バージョンの側面で動作していることを考えると、PEM（Arge、Goodrich、Nelson、Sitchinava、2008年）が存在するはずです。一方で、通信、特に超小型パッケージを他のすべてのコンピューティングノードに罰することについて何かがあるはずです。 ご想像のとおり、新しいモデルを作成するときにアイデアが不足しているのではないかと心配していませんが、特に1980年から1995年かそこらでは、そのようなモデリングの試み（BSPやブリッジングモデルなど）が広く使用されていないように思われました。 どのモデルを詳しく調べる必要がありますか？
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PPADと量子
今日ニューヨークと世界中で、クリストスパパディミトリウの誕生日が祝われます。これは、Christosの複雑性クラスPPAD（およびその他の関連クラス）と量子コンピューターの関係について尋ねる良い機会です。彼の有名な1994年の論文で、 Papadimitriouは、PLS、PPADなどのいくつかの重要な複雑性クラスを紹介し、体系的に研究しました。（Papadimitriouの論文は以前のいくつかの論文に依存しており、特にAviadが述べたように、PLSは1988年にJohnson-Papadimitriou-Yannakakisによって紹介されました。） 私の主な質問は： 量子コンピューターは問題にいくつかの利点をもたらしますか？または ？または？等...PPA DPPADPPADPL SPLSPLSPL S∩ PPA DPLS∩PPADPLS \cap PPAD 別の質問は、PLSとPPADのいくつかの量子類似体、およびChristosの他のクラスがあるかどうかです。 私は、暗号化にPPADの最近の顕著接続はこれらの論文で発見されたことに注意してください：ナッシュ均衡を見つけるの暗号硬度に N Bitansky、Oパネート、A・ローゼンとによって缶PPAD硬度標準の暗号化の前提に基づいていますか？Aローゼン、Gセゲフ、Iシャハフ、そしてナッシュ均衡を見つけることは、アルカライチョドゥーリ、パベルフバセク、チェサンカマス、クルジストフピエトルザク、アロンローゼン、ガイロスブラムによるフィアット-シャミルの破れほど簡単ではありません。また、私の意見では、Christosのクラスは特に数学と数学の証明に近いことにも注意してください。 更新： Ron Rothblumは（FBを介して）Choudhuri、Hubacek、Kamath、Pietrzak、Rosen、およびG. Rothblumの結果はPPADが量子コンピューターの能力をはるかに超えていることを示唆しているとコメントしました。（私はそれを説明する精巧な答えを見て喜んでいます。） もう1つのコメント：関連する素晴らしい質問は、立方体の一意の単一方向でシンクを見つけるのに効率的な量子アルゴリズムがあるかどうかです。（このタスクはよりも簡単だと思いますが、とどのように関連しているかはわかりません。）これは、量子的利点を見つけるための探求に関連していますhttps://cstheory.stackexchange.com/a/767/712。 んnnPL SPLSPLSPPA DPPADPPADL PLPLP お誕生日おめでとう、クリストス！
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理論的なコンピューターサイエンスで重要なアイデアを思いつくにはどうすればよいですか？
私は理論計算機科学の博士課程の学生です。多くの研究者の研究論文を読み、アルゴリズムの設計に使用する多くのツールと数学を見てきました。たとえば、この研究論文[Primality in P]を参照してください。この研究論文は1つまたは2つのアイデアに基づいているとは言いませんが、深刻な数学を必要とする多くのアイデアに基づいています。私はこのようなアイデアを数年から思いつくのに苦労しています。私は長年にわたって1つの問題に取り組んできましたが、心に浮かぶことは何もありません。これまでに頭に浮かんだアイデアはすべて些細なものであり、理論的なコンピューターサイエンスの研究者にとってはほとんど役に立たないものです。自明ではない結果を生成できるようにするための機械をどのように思い付くのか疑問に思っています。 質問：理論的なコンピューターサイエンスで重要なアイデアを思いつくにはどうすればよいですか？「自明でない考え」という言葉には異なる意味があることを知っています。私にとって、それは理論的なコンピューターサイエンスコミュニティにとって公開可能で興味深いものです。いくつかの（数学的な）用語を定義し、定義した用語を使用してアルゴリズムを設計する研究論文を見てきました。どうやってそんなことを考え出すのだろう。 私の研究友人や先輩から得たアドバイスの1つは、研究論文を注意深く読み、数学（定理と証明）を非常に注意深く読み、自分で証明を行い、それらを拡張することです。
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明確なコンテキストフリー言語の等価性は決定可能ですか？
同等性の問題は一般的な文脈自由言語では決定できないことはよく知られています。しかし、私が知っているこの事実のすべての証拠は、いくつかのあいまいな文脈自由文法を含むようです。このため、問題を明確なコンテキストフリー言語に制限しながら、問題が未決定のままであるかどうかを確認したいと思います。つまり、曖昧でないことがアプリオリに付与された2つの文脈自由文法が与えられた場合、それらが同等であるかどうかは決定可能ですか？ この問題は少し興味をそそります。それは、決定論的コンテキストフリー言語では等価性が決定可能であることが知られているからです。見下ろす。
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コロンが値が型に属していることを示すのはなぜですか？
Pierce（2002）は、次のように記述して、92ページのタイピング関係を紹介しています。 「t：T」と書かれた算術式の型付け関係は、用語を型に割り当てる推論規則のセットによって定義されます 脚注には、「：」の代わりに記号「がよく使用されます。私の質問は、単に型理論家が：を使用することを好む理由です。型が値のセットである場合、を記述することは完全に理にかなっています。新しい表記は必要ありません。∈∈\in∈∈\inTTTt∈Tt∈Tt \in T これは、一部のcsライターが好み、表記法の乱用であり、と書くべきだと思っているのと似ていますか？3n2=O(n2)3n2=O(n2)3n^2 = O(n^2)3n2∈O(n2)3n2∈O(n2)3n^2 \in O(n^2)
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ShorのアルゴリズムのOdlyzkoの改善により、試行回数が
1995年の論文「量子コンピューターでの素因数分解と離散対数のための多項式時間アルゴリズム」で、Peter W. Shorは、彼の因数分解アルゴリズムの順序検出部分の改善について議論しています。標準アルゴリズムの出力は、注文の除数のモジュロ。x ^ {r '} \ equiv 1 \ mod Nをチェックすることによりであるかどうかをチェックする代わりに、改善点は次のとおりです。 r x N r ′ = rr′r′r'rrrxxxNNNr′=rr′=rr'=rxr′≡1modNxr′≡1modNx^{r'}\equiv 1 \mod N [F]または候補rrrは、r'r′r ′だけでなく、その小さい倍数2r'、3r '、\ dotsも考慮2r',3r',…2r′,3r′,…2r ′ , 3r ′ , \dotsして、これらがxの実際の順序であるかどうかを確認する必要がありxxxます。[...この】技術は、最も困難なために試験の予想される数を減少させるnnnからO(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log \log n)をO(1)O(1)O(1)第一の（場合logn)1+ϵlog⁡n)1+ϵ\log n)^{1+\epsilon}の倍数r'r′r ′と考えられている[Odylzko 1995]。 [Odylzko 1995]への言及は「個人的なコミュニケーション」ですが、Peter ShorとAndrew Odlyzkoがこれについて話し合ったときは出席していませんでした。試行回数はO（1）に削減されO(1)O(1)O(1)ます。これの証拠を知っていますか？
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明示的にMSOで表現可能なマイナーな閉じたプロパティ
以下では、MSOは頂点セットとエッジセットの定量化を使用したグラフの2次論理を示します。 してみましょうグラフのマイナー閉じ家族も。そのロバートソンとシーモアのグラフマイナー理論から次のFが有限のリストによって特徴付けられるH 1、H 2、。。。、禁じられた未成年者のH k。換言すれば、各グラフのG、我々はそれを持っているGがに属しF場合に限りGを除くすべてのグラフH iは、未成年者として。FF\mathcal{F}FF\mathcal{F}H1,H2,...,HkH1,H2,...,HkH_1,H_2,...,H_kGGGGGGFF\mathcal{F}GGGHiHiH_i この事実の結果として、我々は、MSOの式を有するグラフに真であるG場合に限り、G ∈ Fを。例えば、平面グラフは、グラフの不在によって特徴付けられるK 3 、3およびK 5未成年者として、従って、それが明示的に平面グラフを特徴付けるMSO式を書くことは容易です。φFφF\varphi_{\mathcal{F}}GGGG∈FG∈FG\in \mathcal{F}K3,3K3,3K_{3,3}K5K5K_5 問題は、多くの素敵なマイナークローズグラフプロパティについて、禁止されているマイナーのリストが不明であることです。そのため、グラフのファミリーを特徴付けるMSOの式が存在することはわかっていますが、この式が何であるかはわかりません。 一方、グラフのマイナー定理を使用せずに、特定のプロパティの明示的な式を思い付くことができる場合もあります。私の質問はこの可能性に関連しています。 質問1：禁止された未成年者のセットは不明ですが、そのグラフのセットを特徴付けるいくつかのMSO公式φが既知であるような、グラフマイナーなクローズドファミリはありますか？FF\mathcal{F}φφ\varphi 質問2： いくつかの明示的なMSO式は、次の特性のいくつかを特徴付けることが知られていますか？φφ\varphi 属1（グラフはトーラスに埋め込み可能） （下記の編集を参照） 固定数k（下記のEDITを参照）k>1k>1k>1 固定k > 1のk外平面性k>1k>1k> 1 この件に関するご意見やご意見をいただければ幸いです。他のマイナーな閉じたプロパティを自由に検討してください。上記のリストは例示にすぎません。 Obs：明示的に言うと、必ずしも小さいというわけではありません。指定されたプロパティを特徴付ける式を作成する方法を示す明示的な引数またはアルゴリズムを与えるだけで十分です。同様に、この質問の文脈において、禁止されている未成年者の家族は、その家族を構成する明示的なアルゴリズムを与えた場合に知られていると考えます。 編集：私はAdler、Kreutzer、Groheによる論文を見つけました。この論文は、属k-1のグラフを特徴付ける式に基づいて、属グラフを特徴付ける式を構築します。したがって、この論文は質問2の最初の2項目に答えます。一方、これは質問1には答えません。なぜなら、k属のグラフを特徴付ける禁じられた未成年者の家族であるk したがって、この家族は質問の意味で「知られている」。kkk
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数学の話：gitリビジョン管理システムに関する定理？
gitで数学の話をしたいと思いますリビジョン管理システムます。現在では、数学とコンピューターサイエンス業界で広く使用されています。たとえば、HoTT（Homotopy Type Theory）コミュニティはそれを使用しており、テキストファイルがソースコードまたはラテックスマークアップであるかどうかに関係なく、テキストファイルを共同編集するシステムです。 gitは、開始点である有向非循環グラフの概念を使用していることを知っています。ただし、優れた数学の話では、証明と定理に言及しています。 gitについて実際に使用に関連する定理を証明できますか？
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#Pの2つの関数による除算
してみましょうFFF、そのようなことを、整数値の関数であるである。ということにしていである？これが常に成り立つとは考えにくい理由はありますか？知っておくべき参考文献はありますか？2F2F2F#P#P\#PFFF#P#P\#P やや意外にも、この状況では機能のために、（はるかに大きい定数で）思い付いた用は古い未解決の問題です。 FFFF∈?#PF∈?#PF \in? \#P 注：私は紙M.荻原、L. Hemachandra、を認識してい実行可能な閉鎖性のための複雑性理論の関連部門ごとの2の問題が研究されている（THM 3.13を参照してください）。ただし、フロア演算子を介してすべての機能の部門を定義するため、問題は異なります。これにより、パリティの問題をいくつか簡単に減らすことができました。
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USTCONNが対数空間を必要とすることを証明する方法は？
USTCONNは、グラフGのソース頂点からターゲット頂点tへのパスがあるかどうかを決定する必要がある問題です。これらのパスはすべて入力の一部として与えられます。ssstttGGG Omer Reingoldは、USTCONNがLにあることを示しました（doi：10.1145 / 1391289.1391291）。この証明は、ジグザグ積によって一定次数のエキスパンダーを構築します。一定次数のエキスパンダーは直径が対数であり、一定数の対数サイズのマーカーを使用してすべての可能なパスを確認できます。 Reingoldの結果は、USTCONNの空間の複雑さの対数上限を与え、論文によると、その空間の複雑さを「一定の係数まで」解決します。論文のどこにも言及されていない、対応する下限に興味があります。 最悪の場合にUSTCONNを決定するには対数空間が必要であることをどのように証明しますか？ 編集：入力表現を修正して、基礎となるN頂点対称単純有向グラフの隣接行列とし、N 2ビット文字列を形成するために行を連続してリストします。N×NN×NN \times NNNNN2N2N^2 LewisとPapadimitriouは（doi：10.1016 / 0304-3975（82）90058-5）USTCONNはSL完全であり、Reingoldの結果ではSL = Lであることを示しました。：Savitchは（DOI示し10.1016 / S0022-0000（70）80006-Xのこと）。さらにDSPACE （F （N ））= DSPACE （1 ）任意の計算可能関数のためのF （N ）= O （ログログN ）NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)f(n)=o(loglogn)f(n)=o(log⁡log⁡n)f(n) = o(\log\log n)Stearns、Hartmanis、およびLewis（doi：10.1109 / FOCS.1965.11）により、USTCONNには少なくともスペースが必要です。最後に、Lより下にあることが知られている通常のクラス（NC 1など）は、回路の観点から定義されており、空間限界の観点から定義されたクラスとは明らかに比較できません。Ω(loglogn)Ω(log⁡log⁡n)\Omega(\log\log n)NC1NC1\text{NC}^1 私が見る限り、これにより、いくつかのδ < 1に対して、がΩ （log log n ）空間のみを使用するさらに優れた決定論的アルゴリズムが存在する可能性がありますまたはUSTCONNに対しても非決定性アルゴリズムを使用することO （（ログN ）1 / …
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実数の計算：浮動小数点vs TTE vsドメイン理論vsなど
現在、ほとんどの一般的な言語での実数の計算は、まだ浮動小数点演算を介して行われています。一方、タイプ2有効性（TTE）やドメイン理論などの理論は、実数の正確な計算を長い間約束していました。明らかに、浮動小数点の精度の問題は関連性で低下していません。なぜこれらの理論がより主流にならないのか、そしてなぜそれらのより顕著な実装がないのか？ たとえば、浮動小数点エラーをあまり気にしないアプリケーションのドメインはありますか？複雑さに関する重大な懸念事項はありますか？
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スコットの確率的ラムダ計算
最近、Dana Scottは確率的ラムダ計算を提案しました。これは、グラフモデルと呼ばれるセマンティクスに基づいて確率型要素を（型なし）ラムダ計算に導入する試みです。彼のスライドは、たとえばここでオンラインで見つけることができ、彼の論文はJournal of Applied Logic、vol。12（2014）。 しかし、Webで簡単に検索したところ、たとえばHindley-Milner型システムに関する同様の以前の研究が見つかりました。確率論的なセマンティクスを導入する方法は、スコットのものに似ています（前者ではモナドを使用し、後者ではスコットは継続渡しスタイルを使用します）。 スコットの研究は、理論自体またはそれらの可能な応用の点で、利用可能な以前の研究とどのように異なりますか？
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ランダムに生成されたツリーの予想される深さは？
私はずっと前にこの問題について考えましたが、それについての考えがありません。 生成アルゴリズムは次のとおりです。0からn − 1までの番号が付けられたnnn離散ノードがあると仮定します。そして、それぞれの私で{ 1 、... 、nは- 1 }、我々は作る私ツリー内の番目のノードの親はランダムノードで{ 0 、... 、I - 1 }。結果がルートノード0のランダムツリーになるように、各iを順に繰り返します。（おそらくこれは十分にランダムではありませんが、これは重要ではありません。）000n−1n−1n - 1iii{1,…,n−1}{1,…,n−1}\{1, \dotsc, n - 1\}iii{0,…,i−1}{0,…,i−1}\{0, \dotsc, i - 1\}iii000 このツリーの予想される深さは何ですか？
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Pの回路の複雑さに関するコルモゴロフの推測に対する/反対の議論
（未検証の）歴史的記述によれば、コルモゴロフはすべての言語が線形回路の複雑さを持っていると考えました。（が線形サイズの回路を持っているという以前の質問Kolmogorovの推測を参照してください。）意味することに注意してください。PP\mathsf{P}PPPP≠NPP≠NP\mathsf{P}\neq \mathsf{NP} しかし、コルモゴロフの予想は失敗すると思われます。たとえば、ライアン・ウィリアムズは最近に書いた紙：「真の場合の予想は、驚くことでしょう言語のために。必要 時、それはこのような問題の複雑さとは考えにくい表示されます単に入力長ごとに異なる回路を設計できるため、サイズに魔法のように縮小します。」PP\mathsf{P}n100100n100100n^{100^{100}}O(n)O(n)O(n) 一方、アンドレイ・コルモゴロフ（1903-1987）は、20世紀の主要な数学者の1人として広く認識されています。彼が完全に不条理な推測を提案したと想像するのはかなり難しい。したがって、それをよりよく理解するために、私は彼の驚くべき推測を実際にサポートするかもしれないいくつかの議論を見つけようとしました。ここに私が考えることができるものがあります： と仮定します。次に、言語L \ in \ mathsf {P}を選択して、Lが均一モデルと非均一モデルの両方で超線形の複雑さを持つようにします。その場合、2つの可能性があります。P⊈SIZE(lin)P⊈SIZE(lin)\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)L∈PL∈PL\in \mathsf{P}LLL Lを受け入れる既知の 明示的アルゴリズム（チューリングマシン）があります。これから、超線形回路の複雑さを持たなければならない明示的な関数ファミリーを構築できます。しかし、60年以上にわたる回路の熱心な研究でこのような例を見つけることができた人はいないため、これは考えにくいかもしれません。LLL Lの既知の明示的なアルゴリズムはありません。たとえば、その存在は、選択の公理などの非構成的手段によって証明されます。または、明示的なアルゴリズムが存在する場合でも、誰もそれを見つけることができませんでした。ただし、Lの役割を果たすことができる言語の数は無限にあるため、これらすべての言語がこの非友好的な方法で動作する可能性は再びありません。LLLLLL しかし、その後、両方のオプションをありそうもないものとして却下した場合、残っている可能性は、そのようなLLLが存在しないことだけです。これは P⊆SIZE(lin)P⊆SIZE(lin)\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)を意味します。これはまさにコルモゴロフの予想です。 質問：コルモゴロフの予想に対する/反対の議論を考えることができますか？
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