理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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順列ゲームの冗長化
これは以前の質問の言い換えです。 2人のプレーヤー、アリスとボブの間の次の公平で 完璧な情報ゲームを考えてみましょう。プレーヤーには、整数1〜nの順列が与えられます。各ターンで、現在の順列が増加している場合、現在のプレイヤーが負け、他のプレイヤーが勝ちます。そうでない場合、現在のプレーヤーは数字の1つを削除し、プレイは他のプレーヤーに渡されます。アリスが最初にプレイします。例えば： （1,2,3,4）—定義により、ボブはすぐに勝ちます。 （4,3,2,1）—誰がどのようにプレイしても、アリスは3ターン後に勝ちます。 （2,4,1,3）—ボブは、アリスのプレイ方法に関係なく、最初のターンで勝つことができます。 （1,3,2,4）— 2または3を削除すると、アリスがすぐに勝ちます。それ以外の場合、ボブは最初のターンで2または3を削除して勝つことができます。 （1,4,3,2）—アリスは、最初のターンで1を取ると最終的に勝ちます。それ以外の場合、ボブは最初のターンで1を削除しないことで勝つことができます。 完全なプレイを想定して、与えられた開始順列からこのゲームに勝つプレイヤーを決定する多項式時間アルゴリズムはありますか？より一般的には、これは標準的な公平なゲームであるため、すべての順列にはSprague–Grundy値があります。たとえば、（1,2,4,3）の値は* 1で、（1,3,2）の値は* 2です。この値を計算するのはどれくらい難しいですか？ 明らかなバックトラッキングアルゴリズムはO（n！）時間で実行されますが、これは動的プログラミングにより時間に短縮できます。O （2nP O LのY（n ））O(2npoly(n))O(2^n poly(n))
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2つの多項式（木で表される）間の距離を見つける
遺伝子プログラミングに携わっている同僚から次の質問がありました。私は最初に貪欲なアプローチに基づいてそれを解決しようとしましたが、考え直して、欲張りアルゴリズムの反例を見つけました。だから、ここで言及する価値があると思いました。 式ツリーで表される2つの多項式を考えます。たとえば、バツ3− 2 x + 1x3−2x+1x^3-2x+1およびバツ2+ 4x2+4x^2 + 4を以下に示します。 ルール： 各ノードは、変数名（x 、y、z、…x,y,z,…x, y, z, \ldots）、数値、または操作（+、-、×）のいずれかです。 ツリーの順序トラバーサルは、有効な多項式になるはずです。 操作ノードにはインディグリー2があります。他のノードにはインディグリー0があります。すべてのノードにはアウトディグリー1があります（アウトディグリーが0であるルートを除く）。 ツリーのノードNで、次のように基本操作を定義します。 バツxx××\times 基本的な操作では、Nの上に式ツリーを構築できます（以下の例を参照）。 タイプ1の基本操作のコストは1です。タイプ2のコストは、新しく構築された式ツリーの{+、-、×}操作の数に等しくなります。 タイプ2の例：ノードNの上に構築された式ツリーは2つの操作（-と×）を使用するため、次の基本操作のコストは2です。 T1とT2を多項式を表す2つの式ツリーとします。T1とT2の距離を次のように定義します。T1をT2に変換するための基本操作の最小コスト。変換されたツリーがT2と同じ構造を持つ必要はないことに注意してください。T2と同じ多項式を計算するだけです。（例についてはコメントを参照してください。） 問題： T1とT2が与えられた場合、それらの距離を計算するアルゴリズムを提示します。 例1： T1とT2を、この投稿の冒頭で示した2つのツリーとします。右のツリーを左のツリーに変換するには、×の上にコスト3のツリーを構築し、4を1に変更します（合計コストは4です）。 バツ4x4x^4バツ4+ 4 x3+ 6 x2+ 4 x + 1x4+4x3+6x2+4x+1x^4+4x^3+6x^2+4x+1バツxx（x + 1 ）4(x+1)4(x+1)^4バツxx4 x34x34x^36 x26x26x^24x4x4x
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明示的な平衡行列
明示的に構築することが可能である0 / 1と-マトリックスN 1.5のすべてのことをするものなのN 0.499 × N 0.499部分行列は以下が含まN 0.501のもの？N× NN×NN \times N 0 / 10/10/1N1.5N1.5N^{1.5}N0.499× N0.499N0.499×N0.499N^{0.499} \times N^{0.499}N0.501N0.501N^{0.501} または、おそらく、そのようなプロパティの明示的なヒットセットを構築することが可能です。 ランダム行列は、指数関数的に近い確率でこのプロパティを持っていることが簡単にわかります。また、拡張特性の混合補題は、この特性を引き出すのに十分ではありません。111 組み合わせ長方形をだます疑似乱数ジェネレーターはここで役立つと思いますが、それらは均一な分布のために設計されており、基本的にここでです。B （N2、N− 0.5）B(N2,N−0.5)B(N^2, N^{-0.5})
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言語の特別なクラス：「循環」言語。知られていますか？
有限アルファベットシグマ上で、次のクラスの「循環」言語を定義します。実際、この名前はすでに、DNAコンピューティングの分野で使用されていると思われる別のものを示すために存在しています。AFAICT、それは言語の異なるクラスです。 言語Lは、すべての単語に対する循環iffです。wwwΣ∗Σ∗\Sigma^* wwwがLに属するのは、すべての整数、がLに属する場合のみです。k>0k>0k > 0wkwkw^k このクラスの言語は知られていますか？私も定期的で、特に次のような循環言語に興味があります。 それらが既に知られている場合、それらの名前 オートマトン（特にDFA）が与えられた場合、受け入れられた言語が上記の定義に従うかどうかの問題の決定可能性
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Pの決定不能な属性は、P対NPの決定を妨害しますか？（答え：たぶん）
5つのリンクされた質問が尋ねられ、単一の統合された回答が望まれます： Q1： Doが言語が存在する認識されているのみで、それらのチューリングマシンによって Pランタイム指数決定不能ですが？LLLPPP Q2：これらのチューリングマシンの例は有限に構築できますか？ Q3：これらのチューリングマシンを具体的にインスタンス化できますか？（例えば、それらを有限に構築するのではなく「推測する」オラクルによって）。 Q4：Pの他のどの属性（ランタイム指数以外）が現在決定不能であると知られていますか？この質問はのどの属性に対して開かれていますか？PPP Q5：の決定不可能な属性は、P ≠ N Pの決定可能性PPPの障害になりP≠NPP≠NPP \ne NPますか？ Q1の「唯一」という言葉に注意してください（Lance Fortnowの提案された答えは除きます）。 結論とコミュニティWikiへの変換 「Pの決定不能な属性は、PとNPの決定を妨害しますか？」という質問は、自然に関連付けられている多くの特定の質問（上記のQ1–4など）と同様に、オープンで困難であると考えられます。 Juris Hartmanisの1978年のモノグラフFeasible Computations and Provable Complexity Propertiesは、文学への良い入り口を提供し、（明らかに）Hartmanis以来のレビューは発表されていません。 このクラスの質問は十分に未開拓なので、厳密な証明を見つけるという課題は、適切な開始定義を選択するという課題と密接に混ざり合っています。 Travis ServiceとAlex ten Brinkが提供した思慮深い発言と洞察に満ちた証拠のスケッチは認められ、高く評価されています。 質問が開いているので、それは、複数の数学的なウェブログスレッド（上で議論されているので、1、2、3、4、5、6）、この質問は、コミュニティのWikiへの変換のためにフラグが設定されています。 アップデートIIと概要 私は、Juris Harmanisの1978年のモノグラフFeasible Computations and Provable Complexity PropertiesがQ1–5への詳細な応答として読めることに気づきました。さらに、以下のTravis ServiceおよびAlex ten Brinkが提供する（優れた）Q1およびQ4の証明スケッチは、Hartmanisの全体的な結論の現代的な肯定と拡張を提供します。公式に証明できる計算の特性のみを考慮すると、計算の複雑さに関する結果はまったく根本的に変化します（Hartmanisによる強調）... したがって、特定のプログラムと同じ関数を計算するすべてのプログラムの最適性に関する結果は、特定のプログラムと同等であることが正式に証明できるすべてのプログラムに関する最適性の結果とは異なることを期待する必要があります。... この有名な問題[ P=?NPP=?NPP\overset{?}{=}NP ]は、集合論などの形式化された数学的理論では解けない場合があります。最終的には、正式なTCS StackExchangeの「回答」として、Hartmanisの（非常に先見の明のある）モノグラフからのさらなる引用を投稿したいと考えています。 ハートマニスのモノグラフと、トラビスとアレックスの回答から、Q1–5は現在の最先端の複雑性理論をかなり超えていることが明らかです。さらに、これらの質問/回答は、慎重な定義調整を必要とし、モノグラフの長さの博覧会を正当化するほど明らかに微妙です... :) 技術的な詳細については、Joel David …
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Randomness Extractorの実装に関する現在の研究はありますか？
ランダム抽出ツールの構築の実装に関する研究はありますか？ 抽出プルーフはBig-Ohを利用して、大きな隠された定数の可能性を残し、プログラムによる実装を潜在的に非現実的にするようです。 コンテキスト：モンテカルロシミュレーションで使用する（おそらく？）乱数の高速ソースとして乱数抽出器を使用することに興味があります。私たち（ETHZ計算物理学グループ）は、ランダム性を抽出したい量子乱数ジェネレーターからの高エントロピーソースにバイアスをかけています。以前の学生は、トレビザンの構造を実装しようとし、空間的な複雑さの問題に遭遇しました。その学生は別として、エクストラクターを実装しようとしている人々への言及は見つかりませんでした。 注：私はCS学部生で、理論CSおよびランダムネス抽出の分野に初めて参加します。
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コミュニケーションの複雑さ…クラス？
議論： 私は最近、複雑なコミュニケーションのさまざまなことを学ぶために個人的な時間を費やしてきました。たとえば、私はアローラ/バラクの関連する章に再び精通し、いくつかの論文を読み始め、Kushilevitz / Nisanに本を注文しました。直感的に、通信の複雑さと計算の複雑さを対比したいと思います。そして、特に、計算の複雑さが、計算の問題を複雑なクラスに分類する豊富な理論に発展したという事実に驚いています。その一部は、次の完全な問題に関して（少なくとも1つの観点から）想定することができます。各クラス。たとえば、N Pを説明するときNPNPNP 初めて誰かに、SATや他のNP完全な問題との比較を避けるのは難しいです。 それに比べて、コミュニケーションの複雑さのクラスに類似した概念を聞いたことはありません。「定理に完全な」問題について、私が知っている多くの例があります。例えば、一般的なフレームワークとして、著者らは、所与の通信の問題について説明かもしれない、次いで、関連定理ことを証明保持する、通信の問題がで解決することができるまたはいくつかのために少ないビット（特定の定理/問題に依存します問題のペア）。文学で使用される用語は、PがTに対して「完全」であるということです。T i f f X XPPPTTTI Ff私ffiffバツバツXバツバツXPPPTTT さらに、Arora / Barakの通信の複雑さの章のドラフト（最終印刷で削除/調整されたと思われる）には、「一般に、、c o N Pに類似した通信プロトコルを検討できます。、P Hなど」ただし、次の2つの重要な欠落があります。NPNPNPc o NPcoNPcoNPPHPHPH 「類似の」概念は、さまざまなタイプのリソースへのアクセスで特定のプロトコルを解決する通信の複雑さを計算する方法のように見えますが、適切な通信の複雑さのクラスを定義するだけでは終わりません。 通信の複雑さのほとんどは、結果/定理などの圧倒的多数が意味するという意味で、比較的「低レベル」であるようです。小さな、特定の、多項式サイズの値を中心に展開します。これは、たとえば、なぜが計算にとって興味深いのかという疑問を招きますが、類似の概念は通信にとってそれほど面白くないようです。（もちろん、単に「高度な」通信の複雑さの概念に気付いていないというだけのせいかもしれません。） NEバツPNEバツPNEXP 質問： 通信の複雑さのための計算の複雑さのクラスに類似した概念はありますか？ そして： もしそうなら、複雑度クラスの「標準」概念とどのように比較しますか？（たとえば、「通信の複雑さのクラス」に自然な制限があり、本質的にすべての計算の複雑さのクラスに足りない場合）通信の複雑さのために？
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正式な方法が機能することをどのように知ることができますか？
正式な方法の重要な目標は、自動化された手段または人間主導の手段によってシステムの正確性を証明することです。ただし、正当性を証明できたとしても、システムが故障しないことを保証できない場合があります。例えば： 仕様がシステムを正しくモデル化していないか、実動システムが複雑すぎてモデル化できないか、矛盾する要件のためにシステムに本質的に欠陥がある可能性があります。仕様がまったく意味をなすかどうかをテストするためにどのようなテクニックが知られていますか？ 証明プロセスにも欠陥がある可能性があります！これらの推論規則が正しく、正当であることを誰が知っていますか？さらに、証明は非常に大きくなる可能性がありますが、エラーが含まれていないことをどのようにして知ることができますか？これは、デミロ、リプトン、およびペルリスの「社会プロセスと定理とプログラムの証明」の批評の中心です。現代の形式的手法の研究者は、この批判にどのように対応しますか？ 実行時には、システムに深刻な影響を与える可能性のある多くの非決定的なイベントと要因があります。たとえば、宇宙線はRAMを予測不可能な方法で変更する可能性があり、より一般的には、ハードウェアがビザンチン障害を被らないという保証はありません。したがって、静的システムの正確さは、システムが失敗しないことを保証しません！実際のハードウェアの誤りを説明するために知られている技術はありますか？ 現在、テストは、ソフトウェアが機能することを確認するための最も重要なツールです。正式な方法を備えた補完的なツールであるように思われます。しかし、私は主に正式な方法またはテストに焦点を当てた研究を見ています。2つの組み合わせについては何が知られていますか？
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並列擬似乱数ジェネレーター
この質問は主に実用的なソフトウェアエンジニアリングの問題に関連していますが、理論家がより多くの洞察を提供できるかどうか聞いてみたいです。 簡単に言えば、擬似乱数ジェネレーターを使用するモンテカルロシミュレーションがあり、同じシミュレーションを並列で実行する1000台のコンピューターがあるように並列化したいと思います。したがって、擬似乱数の1000個の独立したストリームが必要です。 次のプロパティを持つ1000個の並列ストリームを使用できますか？ここで、は、あらゆる種類の素晴らしい理論的および経験的特性を備えた、非常によく知られ、広く研究されているPRNGである必要があります。XXX ストリームは、私は単純に使用した場合になるだろうどのように良いと証明可能ですしてによって生成されたストリーム分割 1000個のストリームにします。XXXXXX ストリーム内の次の番号の生成は、て次の番号を生成するのと（ほぼ）同じくらい高速です。XXX 別の言い方をすれば、複数の独立したストリームを「無料で」取得できますか？ もちろん、常にを使用し、常に999個の数字を破棄して1を選択した場合、確かにプロパティ1が得られますが、実行時間で1000倍になります。XXX 単純なアイデアは、シード1、2、...、1000 で 1000コピーを使用することです。これは確かに高速になりますが、ストリームに良好な統計特性があるかどうかは明らかではありません。XXX グーグルでいくつか調べた後、たとえば次のことがわかりました。 SPRNGのライブラリは、まさにこの目的のために設計されているように見える、それがサポートしている複数のPRNGを。 メルセンヌツイスターは最近人気のあるPRNGのようで、複数のストリームを並行して生成できるバリアントへの参照をいくつか見つけました。 しかし、これはすべて私自身の研究領域からは程遠いため、実際に最先端のものがどれであるか、どの構造が理論上だけでなく実際にもうまく機能するかを理解できませんでした。 いくつかの明確化：暗号化プロパティは一切必要ありません。これは科学計算用です。数十億の乱数が必要になるので、周期がジェネレーターはすべて忘れてしまいます。&lt;232&lt;232< 2^{32} 編集：私は真のRNGを使用できません。確定的なPRNGが必要です。第一に、それはデバッグに大いに役立ち、すべてを繰り返し可能にします。第二に、マルチパスモデルを使用できるという事実を利用することで、たとえば中央値検出を非常に効率的に行うことができます（この質問を参照）。 編集2：密接に関連する質問@ StackOverflowがあります：クラスタ環境用の擬似乱数ジェネレータ。
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量子複雑度クラスの記述的複雑度表現はありますか？
タイトルは多かれ少なかれそれをすべて言っていますが、少し背景と興味のある特定の例を追加できると思います。 ImmermanやFaginなどの記述的複雑性理論家は、ロジックを使用して最も有名な複雑性クラスの多くを特徴付けています。たとえば、NPは2次の実存クエリで特徴付けることができます。Pは、最小固定小数点演算子を追加した1次クエリで特徴付けることができます。 私の質問は次のとおりです。BQPやNQPなどの量子複雑度クラスの表現を考え出す試み、特に成功した試みはありましたか？そうでない場合は、なぜですか？ ありがとうございました。 更新（モデレーター）：この質問は、mathoverflowに関するこの投稿で完全に回答されています。
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一般的なグラフで完全に一致する決定論的並列アルゴリズム？
複雑度クラスには、クラスにはないと推測されるいくつかの問題、つまり決定論的並列アルゴリズムの問​​題があります。最大流量の問題はその一例です。そして、にあると思われる問題がありますが、証拠はまだ見つかりません。N C N CPP\mathsf{P}N CNC\mathsf{NC}N CNC\mathsf{NC} 完璧なマッチング問題はグラフ理論で育てられ、最も根本的な問題の一つである：グラフ与えられた、我々はのための完璧なマッチング見つけなければならないGを。エドモンズによる美しい多項式時間ブロッサムアルゴリズム、および1986年のKarp、Upfal、Wigdersonによるランダム化された並列アルゴリズムにもかかわらず、インターネット上で見つけることができたように、グラフのいくつかのサブクラスのみがN Cアルゴリズムを持つことが知られています。GGGGGGN CNC\mathsf{NC} 2005年1月に、ブログComputational Complexityに、Perfect Matchingがかどうかは公開されていると主張する投稿があります。私の質問は：N CNC\mathsf{NC} それ以降、ランダム化されたアルゴリズムを超えた進展はありますか？N CNC\mathsf{NC} 私の興味を明確にするために、GENERALグラフを扱うアルゴリズムはどれも素晴らしいです。グラフのサブクラスのアルゴリズムも大丈夫ですが、それは私の注意にないかもしれません。皆さん、ありがとうございました！ 12/27に編集： すべての助けてくれてありがとう、私はすべての結果を1つの図に要約しようとしています： 最も低い既知のクラスには、次の問題が含まれます。 一般的なグラフでのマッチング： [ KUW86 ]、R N C 2 [ CRS93 ]R N CRNC\mathsf{RNC}R N C2RNC2\mathsf{RNC}^2 二部平面/定数属グラフでのマッチング： / S P L [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]U LUL\mathsf{UL}S P LSPL\mathsf{SPL} 総数が多項式の場合のマッチング： [ …
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なぜモンゴメリーのモジュラーべき乗は、量子因数分解での使用が考慮されないのですか？
モジュラー累乗法（RSA操作の主要部分）は計算コストが高いことはよく知られており、私が理解している限り、モンゴメリーのモジュラー累乗法の手法が好ましい方法です。モジュラーべき乗も量子因数分解アルゴリズムで顕著に取り上げられており、同様に高価です。 それでは、なぜ、量子因数分解のための現在の詳細なサブルーチンに、モンゴメリのモジュラー累乗法が明らかに存在しないのですか？ 私が想像できる唯一のことは、何らかの明白でない理由のために高いキュービットのオーバーヘッドがあるということです。 Google Scholarでモンゴメリー量子「モジュラーべき乗」を実行しても、有用な結果は得られません。Van Meterなどによる量子加算とモジュラーべき乗に関する研究は承知していますが、それらの参考文献（この研究はまだ読んでいません）を調べると、Montgomeryの手法がそこで検討されていることを示していません。 これを議論しているように見える私が見つけた唯一の参考文献は日本語であり、残念ながら私は読むことができませんが、明らかに2002年の会議議事録からです。機械翻訳では、何か有用な可能性があることを示すナゲットが以下に追加されます。しかし、私はこれがフォローアップされたという兆候を見つけることができません。それは、アイデアがa）考慮され、次にb）廃棄されたと思うようにします。 算術演算における量子回路国広昇 ...この研究では、比較的大きなキュービットを必要としますが、量子計算時間が短いモジュラーべき乗回路を提案します。モンゴメリー削減[8]と右バイナリ法[9]を組み合わせて、回路Ruを構成します。縮約モンゴメリーは、自然数としてmがランダムに選択され、演算によって2mをmodし、剰余演算を実行します。これにより、計算時間が短縮されます... 3.2モンゴメリー削減の適用モンゴメリー削減[8]は次のように定式化されます...このアルゴリズムは正しい値を返すことができ、簡単に確認できます。MR（Y）彼は法則を求めます。2mポイントの2m多項式は重要であり、除算のみが必要です。さらに、モンゴメリー削減には、さまざまな計算方法があります。...一般に、削減モンゴメリーは1対1の関数ではありません... ...提案された方法は正しいバイナリ法を使用し、Montgomery Reductonは採用された機能を持っています。従来の方法よりも、回路の小さな部品が特徴です。多くの期待をするために必要なキュービットフォールトは、より短い計算時間で計算できます。将来的には、モンゴメリ削減と制御回路は、特に必要とされる量子ビットによって具体的に説明されていません。また、それぞれが効率的な量子回路の計画された構成に関しても、モジュラーべき乗以外の研究結果を利用して非算術（ユークリッド相互除算など）を行います。 ... [8] PL Montgomery、「試行分割のないモジュラー乗算」、計算の数学、44、170、pp。519-521、1985 ...
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線形代数のアルゴリズム/複雑さに関する調査
並列（階層）に重点を置いた線形代数のアルゴリズムと複雑さ（ランク、逆数、固有値などの演算、ブール、、整数/有理数行列など）の良い調査を探しています。およびポリタイムアルゴリズム。私は最近のものを見つけることができませんでした。 NCFpFp\mathbb{F}_pNCNCNC 線形代数の複雑さに関する最近の良い調査または本を知っていますか？
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効率的な一般的なボンフェローニスタイルの境界は知られていますか？
確率論の古典的な問題は、より具体的なイベントに関してイベントの確率を表現することです。最も単純なケースでは、一方が言うことができるP[A∪B]=P[A]+P[B]−P[A∩B]P[A∪B]=P[A]+P[B]−P[A∩B]P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]。レッツ・書き込みABABABイベントのためにA∩BA∩BA \cap B。 P[∪Ai]P[∪Ai]P[\cup A_i]AiAiA_iP[∪Ai]≤∑P[Ai]P[∪Ai]≤∑P[Ai]P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]P[∪Ai]≤∑iP[Ai]−maxj∑i≠jP[AiAj].P[∪Ai]≤∑iP[Ai]−maxj∑i≠jP[AiAj].P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j]. イベントの依存構造は、頂点を持つ重み付きハイパーグラフと考えることができます。エッジの重みは、エッジ内の頂点の交差に関連するイベントの確率を表します。AiAiA_i 包含/除外スタイルの引数は、イベントのより大きなサブセットを一緒に考慮します。これらは、ボンフェローニ境界をもたらします。これらの境界は、サイズまでのエッジにすべての重みを使用します。kkk 依存構造が「十分」であれば、LovászLocal Lemmaを使用して確率を極値0および1から制限できます。Bonferroniアプローチとは対照的に、LLLは依存構造に関する非常に粗い情報を使用します。 ここで、依存構造内の非ゼロの重みが比較的少ないと仮定します。さらに、独立したペアごとあるまだ独立していない多数のイベントが存在すると仮定する（より一般的には、一連のことは全く可能である事象は互いに独立ではなく、ある -wiseはすべてのための独立した）。kkkrrrr&lt;kr&lt;kr < k 効率的に計算できるように、Bonferroni / Kouniasの境界を改善するために、イベントの依存構造を明示的に使用することは可能ですか？ 私は答えがイエスであると期待し、参照へのポインタをいただければ幸いです。私は1976年のハンターの論文を知っていますが、それはペアワイズ依存関係のみを扱っています。ハンターは、サイズ3以上の依存構造のエッジを無視して形成されたグラフ内のスパニングツリーを考慮します。 デビッドハンター、連合の確率の上限、応用確率13 597–603のジャーナル。 http://www.jstor.org/stable/3212481
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硬度の相転移の例
一部の値p_0、p_1について、場合は「簡単に」、p = p_1の場合は「難しい」実数値パラメーターpでパラメーター化された問題があるとします。p=p0p=p0p=p_0p=p1p=p1p=p_1p0p0p_0p1p1p_1 1つの例は、グラフのスピン構成をカウントすることです。重み付きの適切なカラーリング、独立したセットを数えるオイラー部分グラフは、ハードコアモデル、ポッツモデル、およびイジングモデルのパーティション関数にそれぞれ対応します。単純なMCMCの場合、硬度の相転移は、混合時間が多項式から指数関数にジャンプするポイントに対応します（Martineli、2006）。 別の例は、確率モデルの推論です。与えられたモデルを、組み合わせと「すべての変数は独立している」モデルとすることにより、「単純化」します。以下のためにの問題はため、自明である、それはどこかの間では難治性であり、硬度のしきい値嘘。最も一般的な推論方法では、この方法が収束に失敗すると問題が難しくなり、発生するポイントは特定のギブス分布の位相遷移（物理的な意味）に対応します（Tatikonda、2002）。1−p1−p1-ppppp=1p=1p=1p=0p=0p=0 連続パラメータが変化する際の硬度の「ジャンプ」の他の興味深い例は何ですか？ 動機：グラフタイプまたはロジックタイプ以外の硬度の別の「次元」の例を見る
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