言語の特別なクラス：「循環」言語。知られていますか？

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有限アルファベットシグマ上で、次のクラスの「循環」言語を定義します。実際、この名前はすでに、DNAコンピューティングの分野で使用されていると思われる別のものを示すために存在しています。AFAICT、それは言語の異なるクラスです。

言語Lは、すべての単語に対する循環iffです。 $w$ $\Sigma^*$

$w$ がLに属するのは、すべての整数、がLに属する場合のみです。 $k > 0$ $w^k$

このクラスの言語は知られていますか？私も定期的で、特に次のような循環言語に興味があります。

それらが既に知られている場合、それらの名前
オートマトン（特にDFA）が与えられた場合、受け入れられた言語が上記の定義に従うかどうかの問題の決定可能性

fl.formal-languages automata-theory regular-language

— ビンセンゾム
ソース

1

これは非常に興味深い質問です。2つの関連する質問：1）通常の言語Lと関連するDFAがある場合、それを循環させることができますか？2）任意の言語Lが与えられた場合、circ（L）が規則的であるか、いくつかの優れた特性を持っているのでしょうか？

— スレシュヴェンカト

psこれは明らかかもしれませんが、なぜ循環言語は通常の言語のサブクラスだと思いますか？

— スレシュヴェンカト

3

@Suresh、彼は言語が循環的であると定義していると思う。B）を満たす閉鎖性。

\forall w \in L, n \in N : w^{n} \in L

$\forall w \in L, n \in \mathbb{N} : w^n \in L$

— ピーターテイラー

MOのクロスポスト。

— Hsien-Chih Chang張顯之

1

たぶん感謝は掲示されるべきではありませんが、これは私の最初の質問であり、コメント、回答、議論の質を高く評価しました。ありがとう。

— ビンセンゾムール

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最初の部分では、真円度を決定するための指数アルゴリズムを示します。2番目の部分では、これがcoNP困難であることを示します。3番目の部分では、すべての循環言語がの形式の言語の結合であることを示します（ここで、は空の正規表現です）。組合は必ずしもばらばらではありません。4番目の部分では、互いに素な和として記述できない循環言語を示します。 $r^+$ $r$ $\sum r_i^+$

編集：マークのコメントに続いていくつかの修正を取り入れました。特に、私の以前の主張では、循環性がcoNP完全またはNPハードであると修正されています。

編集：標準形式をから修正しました。「本質的に曖昧な」言語を展示しました。 $\sum r_i^*$ $\sum r_i^+$

ピーターテイラーのコメントを続けて、言語がそのDFAを考慮して循環型であるかどうかを（非常に非効率的に）決定する方法を次に示します。状態が古い状態のタプルである新しいDFAを構築します。この新しいDFA は、古いDFAのコピーを並行して実行します。 $n$ $n$

言語が循環型でない場合、初期状態からDFAを繰り返し実行すると、が受け入れているが他の1つである状態得られるような単語があります。onesは受け入れていません（それらすべてが受け入れている場合、シーケンスはが常に言語になるように循環する必要があります）。換言すれば、我々は、から経路有するに受け入れているが、他の一つは受け付けていませんが。逆に、言語が循環型の場合、それは起こり得ません。 $w$ $s_0$ $s_1,\ldots,s_n$ $s_1$ $s_0,\ldots,s_n$ $w^*$ $s_0,\ldots,s_{n-1}$ $s_1,\ldots,s_n$ $s_1$

そのため、問題を単純な有向到達可能性テストに減らしました（考えられるすべての「悪い」タプルをチェックするだけです）。 $n$

循環性の問題はcoNP困難です。変数と句持つ3SATインスタンスが与えられたと仮定します。（ダミー変数を追加）およびが素数であると仮定できます（そうでなければ、AKS素数性テストを使用してと間の素数を見つけ、ダミー変数と節を追加します）。 $n$ $\vec{x}$ $m$ $C_1,\ldots,C_m$ $n = m$ $n$ $n$ $2n$

次の言語を考えてください：「入力はの形式ではありませんここで、は満足のいく割り当てです」。この言語の DFA は簡単に作成できます。言語が循環型でない場合、言語には単語があり、その一部の力は言語にありません。言語にない単語の長さは、の長さはまたはでなければなりません。長さが場合、代わりに（まだ言語にある）を考慮し、が言語にあり、 $\vec{x}_1 \cdots \vec{x}_n$ $\vec{x}_i$ $C_i$ $O(n^2)$ $w$ $n^2$ $w$ $1$ $n$ $1$ $w^n$ $w$ $w^n$ は言語ではありません。事実言語手段ではないことをある割り当てを満たします。 $w^n$ $w$

逆に、満足のいく代入は、言語の非円形性を証明する単語に変換されます。満足のいく代入は言語に属しますが、は属しません。したがって、3SATインスタンスが満たされない場合、言語は循環型になります。 $w$ $w^n$

このパートでは、循環言語の標準形式について説明します。循環言語 DFAを検討してください。シーケンスは、（初期状態）で、他のすべての状態が受け入れられ、が場合に実数です。したがって、すべての実数列は最終的に周期的であり、有限数の実数列しかありません（DFAには有限数の状態があるため）。 $L$ $C = C_0,\ldots$ $C_0 = s$ $C_i = C_j$ $C_{i+1} = C_{j+1}$

すべてのについて、単語が状態から状態にDFAを取る場合、単語はに従って動作する $C$ と言います。そのようなすべての単語のセットは規則的です（引数はこの回答の最初の部分に似ています）。はサブセットであることに注意してください。 $c_i$ $c_{i+1}$ $i$ $E(C)$ $E(C)$ $L$

実際のシーケンス与えられた場合、をシーケンスとして定義します。シーケンスも実数です。有限数の異なるシーケンスしかないため、すべての和集合である言語 $C$ $C^k$ $C^k(t) = C(kt)$ $C^k$ $C^k$ $D(C)$ $E(C^k)$ も規則的です。

我々は、と主張性質を有する場合次に。実際、その仮定と。次に。したがって、はの形式で記述できます $D(C)$ $x,y \in D(C)$ $xy \in D(C)$ $x \in C^k$ $y \in C^l$ $xy \in C^{k+l}$ $D(C) = D(C)^+$ 正規表現。 $r^+$ $r$

言語のすべての単語は、実際のシーケンス対応します。つまり、動作する実際のシーケンスが存在します。したがって、はすべての実数列上の和集合です。したがって、すべての循環言語には、という形式の表現があります。逆に、そのような言語はすべて循環的です（簡単に）。 $w$ $C$ $C$ $w$ $L$ $D(C)$ $C$ $\sum r_i^+$

円形の言語検討上のすべての単語の偶数またはいずれかの含有のまたは偶数のの（または両方）。素な和として書くことができないことを示します。"ばらばら"によって、私たちはその意味。 $L$ $a,b$ $a$ $b$ $\sum r_i^+$ $r_i^+ \cap r_j^+ = \varnothing$

$N_i$ $r_i^+$ $N > \max N_i$ $x = a^N b^{N!}$ $x \in L$ $x \in r_i^+$ $i$ $x$ $N$ $r_i^+$ $z = a^{N!} b^{N!}$ $y = a^{N!} b^N$ $r_j^+$ $z$ $i \neq j$ $xy \notin L$ 。したがって、表現をばらばらにすることはできません。

— ユヴァル・フィルマス
ソース

ここには多くのエラーがあるようです。SATではなくUNSATから削減しているため、coNPが難しいことを示しています。（非）メンバーシップの多項式時間証人は何ですか？

— マークReitblatt

「言語にない単語の長さはなので、それはいけませんか？

n^{2}

$n^2$

n m

$nm$

— マークReitblatt

私はそれが「coNPで些細なこと」だとは思わない。少なくとも、私には自明ではありません。「明白な」証明書は、言語の文字列と、が言語にないようなのパワーになります。しかし、なぜこのような単語が多項式サイズでなければならないのか、すぐにはわかりません。たぶん、私が見落としているのは、オートマトン理論の単純な事実です。

l

$l$

k

$k$

l^{k}

$l^k$

— マークReitblatt

さらに深刻な明らかな欠陥は、各句が個別に満足できるものから、式全体が満足できるものにジャンプすることです。もちろん、私が誤解していない限り。

— マークReitblatt

循環性がcoNPにあることは明らかではないことに同意します。一方、引数の残りの部分には問題はありません（）。各句が同じ割り当てで満たされる場合、3SATインスタンスはこの割り当てで満たされます。

n = m

$n = m$

— ユヴァルフィルマス

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これらの言語を議論するいくつかの論文があります：

Thierry Cachat、1文字の合理的な言語の力、DLT 2001、Springer LNCS＃2295（2002）、145-154。

S. Hovath、P。Leupold、およびG. Lischke、「Roots and powers of regular languages」、DLT 2002、Springer LNCS＃2450（2003）、220-230。

H. Bordihn、文脈自由言語の力の文脈自由性は決定不能、TCS 314（2004）、445-449。

— ジェフリー・シャリット
ソース

6

@Dave Clarke、L = a * | b *は円形ですが、L *は（a | b）*になります。

$L$ $L'$ $L$ $L'$

$>$ $\ge$

— ピーター・テイラー
ソース

あなたが正しいです。間違った投稿を削除しました。

— デイブクラーク

適応に関して：最小DFAには常に1つの受け入れ状態、つまり開始状態が必要だと考えています。より多くの受け入れ状態が発生する可能性がありますが、開始状態への

遷移が必要です。

\geq

$\geq$

ε

$\varepsilon$

— ラファエル

1

@Raphael、もう一度L = a * | b *を検討してください。開始状態が唯一の受け入れ状態であり、aおよびbを受け入れるDFAは、（a | b）*を受け入れなければなりません。

— ピーターテイラー

n

$n$

n_{a}

$n_a$

w

$w$

w^{2}

$w^2$

w^{3}

$w^3$

w^{n_{a} + 1}

$w^{n_a+1}$

w^{x}

$w^x$

x > 0

$x > 0$

| w |

$|w|$

w

$w$

x

$x$

n

$n$

| w | <= n + 1

$|w| <= n+1$

上記の@Raphaelのアイデアをフォローアップします。開始状態=受け入れ状態のみという考え方は、この問題にとっては間違っていますが、興味深い特性をキャプチャします。MがminDFAの場合、L（M）が接頭辞のない言語のKleeneスターである場合にのみ、開始状態が唯一の受け入れ状態になります。これは私のお気に入りのDFAの雑学小説の1つなので、すぐに共有できます！;）

— mikero

5

編集：完全な（簡略化された）PSPACE完全性証明が下に表示されます。

$\omega$

次に、DFAがPSPACE完全であるため、言語が循環型であるかどうかを判断します。

$A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $|Q|=n$ $L(A)$ $n^n$ $L(A)$ $w$ $n^n$ $w \in L(A)$ $w^k \notin L(A)$ $k \leq n$ $w$ $\delta_w(q) = \delta(q,w)$ $q \in Q$ $O(n\log n)$ $n^n$ $\delta_w(q_0) \in F$ $\delta_w^{(k)} \notin F$ $k \leq n$

$A_1,\ldots,A_n$ $p \in [n,2n]$ $A$

L (A) = \bar{{2 w_{1} 2 w_{2} \dots 2 w_{p} : w_{i} \in L (A_{1 + (i \mod n)})}} .

$L(A) = \overline{\{2w_12w_2\cdots2w_p : w_i \in L(A_{1+(i\mod{n})})\}}.$

A

$A$ バイナリも同様です。）が空の場合にのみ、が円形であることを（が素数であるという事実を使用して）見ることは難しくありません。

p

$p$

L (A)

$L(A)$

L (A_{1}) \cap \dots \cap L (A_{n})

$L(A_1) \cap \cdots \cap L(A_n)$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

0

長さすべては、として記述できますここで、、です。それは明らかだことおよび。ポンピング補題により、言語は空でない入力に対して規則的であることになります。 $s \in L$ $p>0$ $xy^{i}z$ $x = z = \epsilon$ $y = w \neq \epsilon$ $|xy| \leq p$ $|y| = |w| > 0$

以下のために、定義はまた、空の文字列の任意の数を受け入れる空の文字列を受け取りNDFAいるので、保持しています。 $w= \epsilon$

上記の言語の結合は言語Lであり、通常の言語は結合の下で閉じられているため、すべての循環言語は通常であることになります。

ライスの定理により、は決定できません。証明は規則性に似ています。 $CIRCULARITY/TM$

— チャジソップ
ソース

1

ポンピング補題は、規則性に必要な条件ですが、十分ではありません。特に、ポンピング条件を満たす非正規言語があります。また、ライスの定理では、は決定不能であると言われ。これは、が決定できないことを意味しません（はDFA、はTM）。たとえば、DFAの空性テストは決定可能ですが、TMの空性テストは決定できません。

{⟨ M ⟩ | L (M) is circular}

$\{\langle M\rangle\vert L(M)\text{ is circular}\}$

{⟨ D ⟩ | L (D) is circular}

$\{\langle D\rangle\vert L(D)\text{ is circular}\}$

D

$D$

M

$M$

— アルポゲ

1

これは計算不可能な循環言語です。LET、いくつかの非計算言語である（停止TMの例えばコード）。次いで、円形ではなく、明らかに非計算（するためのオラクルさを決定するために使用され得る）。

D = {0^{x} 1 : x \in R}

$D = \{ 0^x 1 : x \in R\}$

R

$R$

D^{*}

$D^*$

D^{*}

$D^*$

R

$R$

— ユヴァルフィルマス

2

@ピーター、あなたはこの答えを読みましたか？循環言語（規則性の条件なし）が規則的であることを証明しようとしていました。

— ユヴァルフィルマス

1

@Yuval、私の間違い。@chazisop、ポンピング補題は言語の非規則性を証明するのに役立ちますが、規則性は証明しません。（さらに、最初の文のアサーションは、「長さすべては、 whereとして記述できる」になります。これは明らかに偽です）。

s \in L

$s \in L$

p > 0

$p > 0$

y^{i}

$y^i$

y \neq ϵ

$y \ne \epsilon$

— ピーターテイラー

1

はい、CIRCULARITY / TMを使用してこれを参照します。CIRCULARITY / DFAはおそらく決定可能です。

— chazisop