Pの決定不能な属性は、P対NPの決定を妨害しますか？（答え：たぶん）

5つのリンクされた質問が尋ねられ、単一の統合された回答が望まれます：

• Q1： Doが言語が存在する認識されているのみで、それらのチューリングマシンによって  Pランタイム指数決定不能ですが？$L$$P$
• Q2：これらのチューリングマシンの例は有限に構築できますか？
• Q3：これらのチューリングマシンを具体的にインスタンス化できますか？（例えば、それらを有限に構築するのではなく「推測する」オラクルによって）。
• Q4：Pの他のどの属性（ランタイム指数以外）が現在決定不能であると知られていますか？この質問はのどの属性に対して開かれていますか？$P$
• Q5：の決定不可能な属性は、P ≠ N Pの決定可能性$P$の障害になり$P \ne NP$ますか？

Q1の「唯一」という言葉に注意してください（Lance Fortnowの提案された答えは除きます）。

結論とコミュニティWikiへの変換

• 「Pの決定不能な属性は、PとNPの決定を妨害しますか？」という質問は、自然に関連付けられている多くの特定の質問（上記のQ1–4など）と同様に、オープンで困難であると考えられます。

• Juris Hartmanisの1978年のモノグラフFeasible Computations and Provable Complexity Propertiesは、文学への良い入り口を提供し、（明らかに）Hartmanis以来のレビューは発表されていません。

• このクラスの質問は十分に未開拓なので、厳密な証明を見つけるという課題は、適切な開始定義を選択するという課題と密接に混ざり合っています。

• Travis ServiceとAlex ten Brinkが提供した思慮深い発言と洞察に満ちた証拠のスケッチは認められ、高く評価されています。

質問が開いているので、それは、複数の数学的なウェブログスレッド（上で議論されているので、1、2、3、4、5、6）、この質問は、コミュニティのWikiへの変換のためにフラグが設定されています。

アップデートIIと概要

私は、Juris Harmanisの1978年のモノグラフFeasible Computations and Provable Complexity PropertiesがQ1–5への詳細な応答として読めることに気づきました。さらに、以下のTravis ServiceおよびAlex ten Brinkが提供する（優れた）Q1およびQ4の証明スケッチは、Hartmanisの全体的な結論の現代的な肯定と拡張を提供します。

公式に証明できる計算の特性のみを考慮すると、計算の複雑さに関する結果はまったく根本的に変化します（Hartmanisによる強調）...

したがって、特定のプログラムと同じ関数を計算するすべてのプログラムの最適性に関する結果は、特定のプログラムと同等であることが正式に証明できるすべてのプログラムに関する最適性の結果とは異なることを期待する必要があります。...

この有名な問題[ $P\overset{?}{=}NP$ ]は、集合論などの形式化された数学的理論では解けない場合があります。

ハートマニスのモノグラフと、トラビスとアレックスの回答から、Q1–5は現在の最先端の複雑性理論をかなり超えていることが明らかです。さらに、これらの質問/回答は、慎重な定義調整を必要とし、モノグラフの長さの博覧会を正当化するほど明らかに微妙です... :)

技術的な詳細については、Joel David HamkinsのMathOverflowに関する質問「問題は同時に多項式時間であり、決定不可能ですか？」を参照してください。（Alex ten Brinkが推奨）。

Hartmanisのモノグラフで「関数の計算」の代わりに「ダイナミクスのシミュレーション」というフレーズを使用すると、結果はシステムエンジニアリングの複雑さの理論的限界に関する論文として読むことができます。問題。

Hartmanis 'とは対照的な意見が、最近、「計算上の複雑さについて」というタイトルのCACMエディターへの手紙の中で、Oded Goldreichによって表明されました。

残念ながら、現在、効率的な計算に関するほとんどの自然な質問に対する優れた理論的答えが不足しています。これは、間違った質問をするからではなく、これらの質問が非常に難しいからです。

（もちろん）ハートマニスとゴールドライヒの両方の意見が正しいことが証明されることは完全に考えられます。例えば、PvsNPの分離可能性の決定不能性の正式な証拠は、両方の観点を検証するものと合理的に見なされます。

更新I

Travis ServiceとAlex ten Brinkによる思慮深いコメント（下）は、Q1で「決定不能」という語句は「検証不可能」と同義ではなく、Q2–5への回答はこの区別に依存する可能性があることを示唆しています 。どの定義の選択が最強の定理につながるか、またクラスPの直観を最もよく捉えることができるかどうかは、私にはまったくわかりません。この質問に答える回答とコメントは歓迎です。

高度な立場からの彼の初等数学でのフェリックス・クラインの発言：幾何学（1939）が思い浮かびます：

空間の素朴な認識で多少の精度で発生する概念の別の例は、幾何学のシステムに補足として追加する必要があり、（任意の）曲線の概念です。すべての人は、数え切れないほどの異常がそれらを混乱させるほど多くの数学を学んだまで、曲線が何であるかを知っていると信じています。

曲線と同様に、チューリングマシンで受け入れられている言語では、 かつて（私には）複雑なクラスの中で最も単純で最も自然であると思われていたものが、そのメンバーの（無数の）検証不能および/または決定不能の属性によって私を混乱させます。Q1–5に尋ねる大きな動機は、この混乱する雑木林を通る道を見つけることでしたが、これまでに与えられた答え（Travis ServiceとAlex ten Brinkによる）は混乱のさらなる根拠を提供しました！$P$

クラインの世代の数学者は、曲線や集合論、幾何学、解析のその他の基本的な要素の適切な定義を見つけるために力を尽くしました。初級レベルの概要は、Alexander Horned Sphereのウィキペディアの議論にあります。

      
      R3での球体の埋め込み

20世紀の間に、アレキサンダー球のような「野生多様体」の分析は、位相多様体、区分連続多様体、微分多様体の区別を明確にするのに役立ちました。同様に、21世紀には、関連付けられた定義を改良することで、Pの野生の言語や野生のチューリングマシンを飼いならすことができます。$P$$P$

バックグラウンド

これらのリンクの質問から生じMathOverflowコミュニティのwikiの質問「数学で最も魅力的なチューリング決定不能問題は何？」と「概念が使用されるが、はっきりと現代数学で定義されていない？何であるか」特に、コリン・タンは、要求された質問があること上記尋ねたこと別の質問として投稿されました。

技術的な背景については、TCのStackExchangeの質問「Pのランタイム境界は決定可能ですか？」、特に答えが「いいえ」であるというEmanuele Violaの簡潔な証拠を参照してください。同様の結果が、Juris HartmanisのモノグラフFeasible計算と証明可能な複雑性プロパティ（1978）で証明されていることにも注意してください。

今週のランス・フォートナウ/ビル・GASARCHはウェ計算量が彼らの十年の世論調査ホスティングしている「ん？またはNot$P=NP$」 5番目と最後の質問はFortnow / GASARCHの質問時に招待解説を尋ねました- 。

質問1の答えはノーです。してみましょうで言語PをしてみましょうMが認識任意の多項式時間チューリングマシンであるL（ランタイム決定不能であると想定されます）。それぞれについてK ∈ NはせMのkは、入力上のチューリングマシンであるXの長さのNの最初のループのN k個のステップ次に実行Mを上のxのためのn個のK + Kあればステップと受け入れMが受け付けるXをそれらの内の（n個のK + $L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$$n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$それ以外の場合は拒否します。実行時あるΘ （n個のK）それぞれについて、K。$M_k$$\Theta(n^k)$$k$

以来多項式時間で実行されますが、いくつかあるK " ∈ NようなMがで実行さO （N K "）（私たちが何を知っていない場合でも、kは"あり）、すべてが故にためのk十分な大きさのM kが認識さLをして持っています決定可能なランタイム。$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

編集

次の回答は、元のポスターが質問1で意図したものの精神に基づいていると思います。

定理：言語が存在するあれば、そのようなことをNが決定した任意のチューリングマシンであるLを、次に、以下のうちの少なくとも1つが真であります：$L \in P$$N$$L$

1）Lを受け入れるという証明が存在しない、または$N$$L$

2）がf （n ）ステップで停止するという証明はありません（関数f （n ）に対して）。$N$$f(n)$$f(n)$

証明スケッチ： レッツ、ブランクテープ上に停止していないと、そのために証拠が存在しないチューリングマシンであるMは Hartmanisとホップクロフトショーで（空のテープに、そのようなコンピュータサイエンスの独立結果を停止しないMの缶を効果的に見つけられます）。$M$$M$$M$

してみましょう。$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

は停止しないため、Lは実際には空の言語ですが、その証拠はありません（Mが停止しないことを証明するため）。$M$$L$$M$

$N$$N$$L$$N$$f(n)$$N$$1$$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

$n^{i+1}$$n^i$$i$$\neq$

主題についてさらに考えた後、私はあなたのQ4の（可能性のある）答えを見つけたと思います。

• Q4：Pの他のどの属性（ランタイム指数以外）が現在決定不能であると知られていますか？この質問はPのどの属性$P$$P$

ほとんどの特性についての質問に答えるライスの定理のバリエーションを証明しました。今回は、より明確に説明しようと思います（Travis Serviceの答えは、以前の答えよりもずっと明確で一般的でした）。

$E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$$g(n)$

$f(n)$$P$

$S$$S$$S$$S \subseteq R$$S$

$P$$S \subseteq P$

$S$

$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

$O(n \log n)$

$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

$A$$i$$C$$s \in S$$P(H)$$P(H)$

私はあなたのQ1に否定的に答えることができ、それによってQ2とQ3にも否定的に答えることができます。私はわからないんだけどQ4またはQ5けれども。

• $L$$P$

$M$$T$$M$$T$

$T$$k$$T$$O(n^k)$$M$$k$$T$$T$$k$ $T$

$L$$P$$T$$O(n^k)$$k$$L$$M$$k$$T$

$L$$P$$T$$L$$T$

$L$$P$$M$$T$$L$$T$$L$

$L$$P$$L$$O(n^k)$$M$$n$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$L$

$M$$P$$L$$L$$k$$M$

この種の決定不能性についての考え方は非常によくあるようです。よく似た問題についての投稿（ブログ？）を覚えています。質問は、「Piに「最後のゼロ」があるかあなたがその表現を十分に下に行くなら、10進表現。現在、これが事実かどうかはわかりません。私たちはそれを証明することさえできないかもしれませんし、公理システムから独立しているかもしれません（それにより証明不可能です）。ただし、答えはtrueまたはfalseのいずれかであるため、TMがtrueを返し、TMがfalseを返すと、どちらの場合でも問題が決定されるため、問題は決定可能です。

インターネット上のどこかでその投稿を見つけることができるかどうかを確認します。

編集：

Mathoverflowで見つけました。