一般的なグラフで完全に一致する決定論的並列アルゴリズム？

複雑度クラスには、クラスにはないと推測されるいくつかの問題、つまり決定論的並列アルゴリズムの問​​題があります。最大流量の問題はその一例です。そして、にあると思われる問題がありますが、証拠はまだ見つかりません。N C N $\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

完璧なマッチング問題はグラフ理論で育てられ、最も根本的な問題の一つである：グラフ与えられた、我々はのための完璧なマッチング見つけなければならないGを。エドモンズによる美しい多項式時間ブロッサムアルゴリズム、および1986年のKarp、Upfal、Wigdersonによるランダム化された並列アルゴリズムにもかかわらず、インターネット上で見つけることができたように、グラフのいくつかのサブクラスのみがN Cアルゴリズムを持つことが知られています。$G$$G$$\mathsf{NC}$

2005年1月に、ブログComputational Complexityに、Perfect Matchingがかどうかは公開されていると主張する投稿があります。私の質問は：$\mathsf{NC}$

それ以降、ランダム化されたアルゴリズムを超えた進展はありますか？$\mathsf{NC}$

私の興味を明確にするために、GENERALグラフを扱うアルゴリズムはどれも素晴らしいです。グラフのサブクラスのアルゴリズムも大丈夫ですが、それは私の注意にないかもしれません。皆さん、ありがとうございました！

12/27に編集：

すべての助けてくれてありがとう、私はすべての結果を1つの図に要約しようとしています：

最も低い既知のクラスには、次の問題が含まれます。

• 一般的なグラフでのマッチング： [ KUW86 ]、R N C 2 [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• 二部平面/定数属グラフでのマッチング： / S P L [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• 総数が多項式の場合のマッチング： [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• レックスファーストの最大一致： [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

さらに、もっともらしい複雑性の仮定の下で：は指数回路を必要とし、一般的なグラフのマッチングはS P L [ ARZ98 ]にあります。$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

一般的なグラフの完全なマッチングのための N Cアルゴリズムはまだ開いていますが、いくつかの進歩がありました。私が知っているいくつかはここにあります：$NC$

一般的なグラフの場合、Agrawal-Hoang-Thieraufは、完全一致の数が少ないという約束が与えられた場合、それらすべてを列挙するアルゴリズムがあることを示しました。$NC^2$

平面グラフのクラスでは、pfaffianが大きな役割を果たします。Kastelynは、pfaffianが完全一致の数と正確に等しくなるように、すべての平面グラフがどのように方向付けられるかを示しました。（これは、さまざまな問題に対して「ホログラフィックアルゴリズム」を与えるためにValiantによって使用されました）Mahajan-Subramanya-Vinayは、クロウシーケンスの修正を使用してでpfaffianを計算する方法を示しました。（実際、KastelynはPの埋め込みを見つけるアルゴリズムを提供しますが、pfaffian埋め込みもN Cで計算できるかどうかはわかりません。はいの場合、平面グラフでの完全一致のカウントはN Cになります）$NC$$P$$NC$$NC$

そしてVinodchandran-Tewariの最近の結果は、平面の到達可能性をに置くために、平面グラフの分離補題を（グリーンの定理を使用して）「デランダム化」できることを示しています。しかし、平面マッチングのN Cアルゴリズムはまだ開いています（U Lにあるという私の主張を修正してくれたRaghunathに感謝します）。Datta-Kulkarni-Royにより、二部平面マッチングのN Cアルゴリズムが提供されました$UL$$NC$$UL$$NC$

お役に立てれば。

数年後:)そして、Perfect Matchingは現在、準NCにあることが知られています（つまり、準多項式的に多くのプロセッサが必要です）。Fenner、Gurjar、およびThieraufの論文（2部グラフ用）https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdfおよびOla Svensson との共同研究（一般グラフ用）：https : //arxiv.org/pdf/1704.01929

Tewari-Vinodchandranによる分離補題の非ランダム化は、残念ながら平面マッチングのUL上限を与えません。実際、NCアルゴリズムは平面マッチングでは知られていないと思います。しかし、最近のDatta、Kulkarni、およびNimbhorkarの研究では、2部平面マッチングのUL上限が示されています（この結果の記述はまだ進行中です）。これは、これまではNLバウンドでさえこの問題について知られていないため、興味深いものです。

最適化の問題が困難であることがわかっている場合、通常は最大バージョンを調べます。たとえば、独立セットはNP完全であるのに対し、lexの最初の最大独立セットはP完全です。

$\sqrt n$

このすべてのポイントは、このために簡単に並列化できるNCバージョンがないかもしれないと言っています。しかし、誰が知っていますか？来週、誰かがRNCバージョンのランダム化を解除するかもしれません！

編集：ありがとうランプラサド。しかし、ここに論文への別のリンクがあります。

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T.フィッシャー、AVゴールドバーグ、DJハグリン、S。プロトキン。マッチングを並行して近似します。情報 手続き Lett。、46（3）：115、1993