効率的な一般的なボンフェローニスタイルの境界は知られていますか？

確率論の古典的な問題は、より具体的なイベントに関してイベントの確率を表現することです。最も単純なケースでは、一方が言うことができる $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ 。レッツ・書き込み $AB$ イベントのために $A \cap B$ 。

$P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

イベントの依存構造は、頂点を持つ重み付きハイパーグラフと考えることができます。エッジの重みは、エッジ内の頂点の交差に関連するイベントの確率を表します。 $A_i$

包含/除外スタイルの引数は、イベントのより大きなサブセットを一緒に考慮します。これらは、ボンフェローニ境界をもたらします。これらの境界は、サイズまでのエッジにすべての重みを使用します。 $k$

依存構造が「十分」であれば、LovászLocal Lemmaを使用して確率を極値0および1から制限できます。Bonferroniアプローチとは対照的に、LLLは依存構造に関する非常に粗い情報を使用します。

ここで、依存構造内の非ゼロの重みが比較的少ないと仮定します。さらに、独立したペアごとあるまだ独立していない多数のイベントが存在すると仮定する（より一般的には、一連のことは全く可能である事象は互いに独立ではなく、ある -wiseはすべてのための独立した）。 $k$ $r$ $r < k$

効率的に計算できるように、Bonferroni / Kouniasの境界を改善するために、イベントの依存構造を明示的に使用することは可能ですか？

私は答えがイエスであると期待し、参照へのポインタをいただければ幸いです。私は1976年のハンターの論文を知っていますが、それはペアワイズ依存関係のみを扱っています。ハンターは、サイズ3以上の依存構造のエッジを無視して形成されたグラフ内のスパニングツリーを考慮します。

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— アンドラス・サラモン
ソース

答えは、LinialとNisanの論文「近似的包含-除外」にあると思います。http：//www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— アリエ
ソース

これは非常に関連性が高いようです（公式リンクはlink.springer.com/article/10.1007/BF02128670）。また、フォローアップlink.springer.com/article/10.1007/BF01271266があります。JeffKahn、Nathan Linial、およびAlex Samorodnitskyがいます。

— アンドラスサラモン