理論計算機科学

実際の問題のサイズでは、指数アルゴリズムが最もよく知られている多項式時間よりもはるかに高速に実行される問題を知っていますか（少なくともある程度はよく知られています）。 たとえば、問題の実用的なサイズ*がであり、2つの既知のアルゴリズムがあると仮定します。1つは2 nで、もう1つは定数cに対してn cです。明らかにc > 15の場合、指数アルゴリズムが優先されます。n=100n=100n = 1002n2n2^nncncn^ccccc>15c>15c > 15 *実際のサイズとは、現実の世界で一般的に見られるものを意味すると思います。ネットワーク上の列車の数と同様。

13 time-complexity  polynomial-time  exp-time-algorithms 

拡張性の問題では、ソリューションの一部が与えられ、それを完全なソリューションに拡張できるかどうかを判断したいと思います。いくつかの拡張性の問題は効率的に解決できますが、他の拡張性の問題は簡単な問題を難しい問題に変換します。 たとえば、ケーニッヒ・ホールの定理は、すべての3次2部グラフは3エッジのカラーリングが可能であるが、一部のエッジの色が与えられると拡張性バージョンは完全になるとNPNPNP述べています。 基本的な問題が簡単な（または上記の例のように些細な）ハード拡張性の問題の調査論文を探しています。

13 cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  np-hardness 

時間に実行されているアルゴリズムを考えると、我々は最大でサイズの同じ問題について、「些細な」均一な回路ファミリーに変換することができ≈ T （N ）ログトン（N ）。t(n)t(n)t(n)≈t(n)logt(n)≈t(n)log⁡t(n)\approx t(n)\log t(n) 一方、が最適な実行時間である場合でも、その問題に対してはるかに小さい均一な回路がある可能性があります。回路の生成にはt （n ）より長くかかる場合がありますが、小さいです。t(n)t(n)t(n)t(n)t(n)t(n) しかし、実際にそのようなものを構築する方法を知っていますか？最初に尋ねる質問は （1）非自明な均一回路、つまり同じ問題に対するアルゴリズムの最もよく知られている実行時間よりも小さいサイズの均一回路の建設的な例はありますか？ 今、問題がにある場合、徹底的な検索を使用して最適な回路を見つけるための指数時間アルゴリズムがあると考えています：nが与えられた場合、2つのすべての答えを書き留めますn個の入力（所要時間（2 n）t （n ））; 次に、すべての正解を提供するものが見つかるまで、n入力のすべての回路をサイズを増やしながら列挙します。検索は、単純な変換のサイズt （n ）logで終了しますDTIME(t(n))DTIME(t(n))\mathsf{DTIME(t(n))}nnn2n2n2^n(2n)t(n)(2n)t(n)(2^n)t(n)nnn、または関数の真理値表、 2 n個の出力がある場合は、{ 0 、1 }。（編集：トーマスは、シャノン/ルパノフによる境界が O （2 n / n ）であることを指摘しています。）t(n)logt(n)t(n)log⁡t(n)t(n) \log t(n)2n2n2^n{0,1}{0,1}\{0,1\}O(2n/n)O(2n/n)O(2^n/n) 我々が持っているので、「はい」と不十分な質問に対する（1）：上記のいずれかの時間のために懸命にある言語テイク、まだ決定可能に。上記の手順では、サイズ2 nの真理値表が出力されます。2n2n2^n2n2n2^n したがって、質問（1）を改良する必要があります。2つの最も興味深いケースは （2）多項式サイズの自明でない均一回路の建設的な例はありますか？（たとえ非常に遅いアルゴリズムによって生成されたとしても。） （3）多項式時間生成可能、多項式サイズの自明でない均一回路の建設的な例はありますか？ これは質問するには多すぎるかもしれません。簡単な質問はどうでしょうか：そのようなことが可能であることさえ知っていますか？おそらく、自明でない均一な回路は存在しないのでしょうか？ （4）次の文は、任意に対して偽であることがわかっていますか？（編集：O （2 N / N ）、おかげでトーマス。）「言語場合Lはサイズの均一な回路を有するO （S （n個の））、それは、時間で実行されているアルゴリズムを有する〜O（S （N ））。 」（もしそうなら、「均一」が「多項式時間均一」、「ログスペース均一」などに置き換えられた場合はどうでしょうか？）s(n)=o(2n)s(n)=o(2n)s(n) = …

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  uniformity 

次のパーティションの問題を特定のスケジューリングの問題に削減しました。 入力：非減少順の正整数のリスト。a1⩽⋯⩽ana1⩽⋯⩽ana_1\leqslant\cdots\leqslant a_n 質問： DOESは、ベクターが存在しよう(x1,…,xn)∈{−1,1}n(x1,…,xn)∈{−1,1}n(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n k個のΣ iが= 1 A I X 、I ⩾ 0を∑i=1naixi=0and∑i=1naixi=0and\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and} ∑i=1kaixi⩾0for all k∈{1,…,n}∑i=1kaixi⩾0for all k∈{1,…,n}\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\} 2番目の条件がなければ、それは単なるPARTITIONであり、したがってNPハードです。しかし、2番目の条件は多くの追加情報を提供するようです。このバリアントを決定する効率的な方法があるかどうか疑問に思っています。それともまだ難しいですか？

13 cc.complexity-theory  reference-request  partition-problem  subset-sum 

バックグラウンド： 決定木の複雑さまたはクエリの複雑さは、次のように定義される計算の単純なモデルです。ましょうf：{ 0 、1 }n→ { 0 、1 }f：{0、1}n→{0、1}f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}ブール関数です。決定論的クエリの複雑fff付し、D （f）D（f）D(f)、入力のビットの最小数であり、X ∈ { 0 、1 }nバツ∈{0、1}nx\in\{0,1\}^n決定論的アルゴリズムによって（最悪の場合に）読み取られるその必要があることを計算するf（x）f（バツ）f(x)。複雑さの尺度は、読み取られる入力のビット数であることに注意してください。他のすべての計算は無料です。 同様に、を計算するゼロエラーランダム化アルゴリズムが予期して読み取る必要がある入力ビットの最小数として、で示されるラスベガスランダム化クエリの複雑さを定義します。ゼロエラーアルゴリズムは常に正しい答えを出力しますが、読み取られる入力ビットの数はアルゴリズムの内部ランダム性に依存します。（これが、予想される入力ビットの読み取り数を測定する理由です。）R 0（f ）f （x ）fffR0（f）R0（f）R_0(f)f（x ）f（バツ）f(x) で表されるモンテカルロランダム化クエリの複雑さを、を計算する有界エラーランダム化アルゴリズムで読み取る必要がある入力ビットの最小数として定義します。境界エラーアルゴリズムは常に最後に答えを出力しますが、超える確率（たとえば）で正しい必要があるだけです。R 2（F ）F （X ）2 / 3fffR2（f）R2（f）R_2(f)f（x ）f（バツ）f(x)2 / 32/32/3 質問 かどうかの質問について知られていること R0（f）= Θ （R2（f））R0（f）=Θ（R2（f））R_0(f) = \Theta(R_2(f))？ と知られている R0（f）= Ω （R2（f））R0（f）=Ω（R2（f））R_0(f) = \Omega(R_2(f)) なぜなら、モンテカルロアルゴリズムは、少なくともラスベガスのアルゴリズムと同じくらい強力だからです。 最近、2つの複雑さの間に既知の分離がないことを知りました。この主張に関して私が見つけることができる最新の参考文献は、1998年のものです[1]。 [1] Nikolai K. …

13 cc.complexity-theory  reference-request  query-complexity  decision-trees 

理論的コンピューター科学者（理論的コンピューター科学の修士号を持つ人々）の典型的なキャリアは何ですか？ 理論的なコンピューターサイエンスの知識を求めているのはどのような業界や機関ですか？理論的なコンピューター科学者は通常どのような職業を熟読しますか？

13 soft-question  career 

偏った硬貨と公平な硬貨を区別する複雑さがθ （ϵ − 2）であることはよく知られています。pコインとp + ϵコインを区別する結果はありますか？p = 0の特殊なケースでは、複雑さはϵ − 1になることがわかります。私は複雑かどうかに依存することは直感を持っている、pはのオーダーであるεが、そう厳密に証明することはできません。ヒント/参照はありますか？ϵϵ\epsilonθ(ϵ−2)θ(ϵ−2)\theta(\epsilon^{-2})pppp+ϵp+ϵp+\epsilonp=0p=0p=0ϵ−1ϵ−1\epsilon^{-1}pppϵϵ\epsilon

13 reference-request  time-complexity 

ソリューションの一意性が見つけやすい質問例を読んでいると、新しい（簡単？）質問が思い浮かびました：実際には、グラフ同型（）問題がかどうかわかりません。G IG私GIPPP しかし、と両方が非対称（つまり、どちらも自明な（同一性）自己同型のみである）と仮定するとなりますか？問題は簡単になりますか（多項式時間）？ G1G1G_1G2G2G_2 注：グラフの自己同型（）よりも問題を難しくすることはできません。これは、でを使用するだけで、答えが「はい」の場合、2つのグラフは同型ですJacoboTorán：PPのグラフ同型は低い（ 401-411）。G AGAGAG AGAGAG1∪ G2G1∪G2G_1 \cup G_2

13 reference-request  graph-isomorphism 

タイトルは少し誤解を招くかもしれません：しかし、うまくいけば質問はそうではありません： GrønlundとPettieの新しい結果ことを示す3SUMが唯一持っている決定木の複雑さに私は思っていました：O(n3/2)O(n3/2)O(n^{3/2}) 決定木の複雑さを持つ問題の簡単な例がありますが、それは下限（より詳細なモデル）を認めますか？O(f)O(f)O(f)ω(f)ω(f)\omega(f) 言い換えれば、3SUMの結果は、問題の複雑さの上限がよりも大幅に低くなる可能性についての見解をどのように変えるべきでしょうか？n2n2n^2

13 cc.complexity-theory  machine-models  decision-trees 

決定不能性を証明する通常の方法は、停止問題、1次論理の有効性、ディオファントス方程式の充足可能性などのRE完全問題からの削減です。 再帰的に列挙可能であるが、RE-completeではない未決定の問題があることが知られていますが、これらは人為的な構造（つまり、この「密度」結果を示すためだけに定義されたセット）です。 RE-complete問題を減らすことなく、決定不能性の証明にどのように取り組むでしょうか？対角化？

13 computability 

私は最近、計算のBSSモデルを研究しています（たとえば、Complexity and Real Computation; Blum、Cucker、Shub、Smaleを参照）。 実数場合、多項式与えられた場合、ゼロの存在は -completeです。しかし、それらのが整数係数のみを持つ多項式である場合、つまりである場合、 -hard はまだ問題ですか？（明らかに）。RRRN P Rの Fをfは1、⋯f1,⋯,fm∈R[x1,⋯,xn]f1,⋯,fm∈R[x1,⋯,xn]f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]NPRNPRNP_Rffff1,⋯,fm∈Z[x1,⋯,xn]f1,⋯,fm∈Z[x1,⋯,xn]f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]NPRNPRNP_RNPRNPRNP_R はいと疑いますが、簡単な証拠はありますか？

13 cc.complexity-theory  computing-over-reals 

ましょう大部分の機能、すなわち、であるF （X ）= 1の場合に限りΣ N iが= 1、X I > N / 2。次の事実の単純な証拠があるのだろうかと思っていました（「単純」とは、Valiant 84のような確率的手法やネットワークのソートに依存しないことを意味します。f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}f(x)=1f(x)=1f(x) = 1∑ni=1xi>n/2∑i=1nxi>n/2\sum_{i = 1}^n x_i > n/2 は、 O （log （n ））深さ、poly（n）サイズの回路ファミリで計算できます。ここで、ゲートはNOTゲート、2入力ORゲート、2入力ANDゲートで構成されます。fffO(log(n))O(log⁡(n))O(\log(n))

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  circuit-families  circuit-depth 

最近の質問（NP = PSPACEの結果を参照）は、の「厄介な」結果を求めました。回答には、N P = c o N Pなどを含む、かなりの数の崩壊の結果がリストされており、N P ≠ P S P A C Eを信じる多くの理由が提供されています。NP=PSPACENP=PSPACENP=PSPACENP=coNPNP=coNPNP=coNPNP≠PSPACENP≠PSPACENP\neq PSPACE それほど劇的ではない崩壊の結果はどうなりますか？PH=PSPACEPH=PSPACEPH=PSPACE

13 cc.complexity-theory  complexity-classes  conditional-results 

各頂点に関連付けられた数値（）とターゲット数値有向非巡回グラフが与えられます。G ：V → N T ∈ NG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)g：V→ Ng：V→Ng:V\to \mathbb{N}T∈ NT∈NT\in \mathbb{N} DAGサブセット和問題（別の名前で存在する可能性があり、参照が素晴らしい）は頂点が存在するかどうかを尋ねたとえば、およびはパスです。ΣのV I G （V 、I）= T V 1 → 。。→ v k Gv1、v2、。。。、vkv1、v2、。。。、vkv_1,v_2,...,v_kΣv私g（v私）= TΣv私g（v私）=T\Sigma_{v_i}g(v_i) = Tv1→ 。。→ vkv1→。。→vkv_1\to..\to v_kGGG 完全な推移的グラフは古典的なサブセット和問題を生成するため、この問題は簡単にNP完全です。 DAGサブセット和問題の近似アルゴリズムは、次の特性を持つアルゴリズムです。 合計Tのパスが存在する場合、アルゴリズムはTRUEを返します。 何らかのに対してと間の数までの合計パスがない場合、アルゴリズムはFALSEを返します。T C ∈ （0 、1 ）（1 − c ）T（1−c）T(1 − c)TTTTC ∈ （0 、1 ）c∈（0、1）c\in …

13 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  subset-sum 

グラフます。場合、私はテストしたいVは、 2つの互いに素の集合に分割することができるV 1及びV 2によって誘導されるサブグラフようにV 1及びV 2は、ユニットインターバルグラフです。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)VVVV1V1V_1V2V2V_2V1V1V_1V2V2V_2 間隔番号を決定するNP完全性については知っていますが、上記の問題は異なります。現在、文献では、A。GyárfásとD. Westのマルチトラック間隔グラフでこの作品を見つけましたが、上記の問題に関連するかどうかはわかりません。 上記または同様の問題に関する既存の文献への引用は参考になります。上記の問題に正式な名前があるかどうかも教えてください。

13 graph-theory  partition-problem  interval-graphs