2枚のコインを区別する

偏った硬貨と公平な硬貨を区別する複雑さがことはよく知られています。コインとコインを区別する結果はありますか？特殊なケースでは、複雑さはなることがわかります。私は複雑かどうかに依存することは直感を持っているのオーダーであるが、そう厳密に証明することはできません。ヒント/参照はありますか？ $\epsilon$ $\theta(\epsilon^{-2})$ $p$ $p+\epsilon$ $p=0$ $\epsilon^{-1}$ $p$ $\epsilon$

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— エレホビー
ソース

次のペーパーにあるフレームワークを使用することをお勧めします。

線形暗号解読をどこまで進めることができますか？、トーマス・ベニエール、パスカル・ジュノー、セルジュ・ヴォーデネイ、ASIACRYPT 2004。

重要な結果は、あなたが必要と言っている、ここで $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$ は、2つの分布と間のカルバック・ライブラー距離です。KL距離の定義を拡張すると、あなたの場合は $D(D_0 \,||\, D_1)$ $D_0$ $D_1$

D (D_{0} | | D_{1}) = p \log \frac{p}{p + ϵ} + (1 - p) \log \frac{1 - p}{1 - p - ϵ},

$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$

という規則で $0 \log \frac0p = 0$ 。

とき、我々は見つける $p \gg \epsilon$ 。このように、、我々はあなたが必要であることを見つけるコインが反転します。場合、 $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$ $p \gg \epsilon$ $n \sim p(1-p)/\epsilon^2$ $p = 0$ 、あなたが必要とするので、コインが反転します。したがって、この式は、すでに知っている特殊なケースと一致しています...しかし、すべての $D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$ $n \sim 1/\epsilon$ $n,\epsilon$ 。

正当化については、論文を参照してください。

$p \gg \epsilon$ $n$ $\text{Binomial}(n,p)$ $\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$ $n$

$p \ge 5/n$

$\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ $\mu_0 = pn$ $\mu_1 = p+\epsilon)n$ $\sigma_0^2 = p(1-p)n$ $\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$ . You'll find that the probability of error in the optimal distinguisher is $\text{erfc}(z)$ where $z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$ . Thus, we need $z \sim 1$ to distinguish with constant success probability. This amounts to the condition that $n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$ (up to a constant factor)... when $p \gg \epsilon$ .

For the general case... see the paper.

— D.W.
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