理論計算機科学

あなたは、いくつかのプロのプログラミングコース（/自己思考）を受講しているが、大学レベルの数学を勉強していないプログラマーと会うとします。 TCSの美しさを示すために、TCSから寄せられた素晴らしい結果/未解決の質問を集めて、簡単に説明したいと思います。 この目的に適した候補（IMHO）は、停止する問題を決定できないことを示します。もう1つは、比較ベースの並べ替えの実行時間の下限を示します（ただし、それは、私が理解することを期待しているものから少し押し出されています）。 また、Explain P = NP問題から10歳までのアイデアを使用することもできますが、それらのいくつかはそれに慣れていないことが前提です。 したがって、質問は次のとおりです。 （0.美しい） （せいぜい）高校の数学で説明可能。 （できれば）プロフェッショナルなプログラミングコース（C ++ / Java / Web /など）で表示するほど簡単ではありません。

13 soft-question  big-list  big-picture  teaching 

次のすべてが同時に成立しますか？ LsLsL_sは、すべての正の整数 sに対して含まれLs+1Ls+1L_{s+1}ます。sss L=⋃sLsL=⋃sLsL = \bigcup_s L_s上のすべての有限の単語の言語であり{0,1}{0,1}\{0,1\}。 いくつかの複雑なクラスがあるCCCとする減速適切なの概念CCCそれぞれになるようにsss、LsLsL_sハードであるCCC。

13 cc.complexity-theory  complexity-classes  reductions 

でBundeswettberweb Infomatik 2010/2011、興味深い問題がありました： 固定場合、最小kとマップ φを見つけます。{ （i 、j ）| I ≤ J ≤ N } → { 1 、... 、K }何三重がないように、と。nnnkkkφ ：{ （i 、j)|i≤j≤n}→{1,…,k}φ:{(i,j)|i≤j≤n}→{1,…,k}\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}φ （i 、j ）= φ （i + l 、j ）= φ （i + l 、j + l ）（i 、j ）、（i + l、j ）、（i …

13 graph-theory  sat  combinatorics 

理論的なコンピューターサイエンスとは何ですか？さまざまな言語でコーディングし、プラットフォームでアプリを作成することを学習していますか？それとも、コンピューターによってタスクをより効率的に達成できるように、より高速なアルゴリズムを考えているだけですか？それとも、コンピューターでシミュレートできる新しい生活状況のプログラミングと思考ですか？ここで何をしようとしていますか？ たとえば、物理学はそれを支配するすべての自然の法則を見つけようとしています。数学は、現実をモデル化するトートロジーであり、他の科目で非常に正確な言語として使用されます。 理論的なコンピューターサイエンスとは何ですか？コンピュータがアプリケーションの目的で私たち人間によって設計されたとき、それゆえ、それはすべて数学と物理学に最終的にドロップダウンしなければなりませんか？それでは、コンピュータサイエンス自体の「理論」はどこにありますか。 素朴すぎてすみませんが、理論的なコンピューター科学者は何をしているのか知りたいですか？

13 big-picture 

回路評価の問題がN C 1にあるかどうかはわかっていますか？どのようにA L O G T iがm個の電子（均一 N C 1）？NC1NC1\mathsf{NC^1}NC1NC1\mathsf{NC^1}ALogTimeALogTime\mathsf{ALogTime}NC1NC1\mathsf{NC^1} 我々は、深さの回路ことを知って深さの回路で評価することができ、K + C cは普遍定数です。これは、深さk lg n + o （lg n ）の回路が深さO （lg n ）の回路によって評価できることを意味します。ただし、O （lg n ）には、最終的にO （lg n ）のすべての関数を支配する関数が含まれていません。kkkk+ck+ck+ccccklgn+o(lgn)klg⁡n+o(lg⁡n)k\lg n + o(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n) 数式評価の問題はことがわかっています。すべてのN C 1回路はブール式と同等です。A L o g T i m eの特定のN C 1回路の論理式から、同等のブール式の拡張接続表現を計算することはできませんか？ALogTimeALogTime\mathsf{ALogTime}NC1NC1\mathsf{NC^1}NC1NC1\mathsf{NC^1}ALogTimeALogTime\mathsf{ALogTime} …

13 cc.complexity-theory  reference-request  circuit-complexity 

次の問題を考慮してください。 入力：無向グラフ。 出力：Aグラフのマイナーであるのすべての未成年者の中で最も高いエッジ密度を有する、すなわち、最も高い比。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)HHHGGGGGG|E（H）| / |V（H）||E（H）|/|V（H）||E(H)|/|V(H)| この問題は研究されましたか？多項式時間で解けるのか、それともNP困難なのか？未成年者が除外されたクラスのような制限されたグラフクラスを考慮するとどうなりますか？ 代わりに最も密な部分グラフを要求すると、問題は多項式時間で解くことができます。追加のパラメータを追加し、個の頂点を持つ最も密な部分グラフを要求する場合、問題はNP完全です（これは -clique から簡単に削減できます）。kkkkkkkkk

13 graph-theory  graph-algorithms  np-hardness  graph-minor 

少し前に、両方のセットがカーディナリティに関係のないプロパティを満たすエッジの2つのパーティションを検索するグラフ問題の参照リクエストを投稿しました。私は次の問題がNP困難であることを証明しようとしていました： トーナメント所与、フィードバック・アーク・セットが存在するF ⊆ EにおけるG推移関係を定義しますか？G = （V、E）G=（V、E）G = (V,E)F⊆ EF⊆EF \subseteq EGGG 私は証明の試みのための構造を持っていますが、それは行き止まりに陥るだろうと思われるので、私はここで私が明白な何かを見逃していないかどうかを尋ねるかもしれないと思った。あなたの創造性を、私が使用したものと同様の思考の線に限定しないために、ここに私の試みを投稿しません。 この問題はNP困難ですか？もしそうなら、それを証明する方法は？

13 np-hardness  reductions 

この質問に関連して、シングルテープシングルヘッドチューリングマシンが入力の長さを計算するための時間の複雑さは何だろうと思いました。具体的には、テープのアルファベットであることレッツ言う、入力中の文字列である（0 + 1 ）*左端の入力シンボルでブランク、マシンが起動に囲まれ、そしてそれはで終端しなければなりません（0 + 1 ）∗の文字列の左端の記号{ 0 、1 、B }{0、1、b}\{0,1,b\}（0 + 1 ）∗（0+1）∗(0+1)^*（0 + 1 ）∗（0+1）∗(0+1)^*（これも空白で囲まれています）入力長のバイナリ表現を提供します。これは、数値を単項からバイナリに変換する問題と考えることもできます。 これは、2テープマシンまたは2ヘッドマシンで線形時間で簡単に解決できます（一方のヘッドで入力をスキャンし、もう一方のヘッドを使用してカウンターを繰り返しインクリメントします。インクリメントは一定の償却時間操作です）。しかし、私が思いつくシングルヘッドソリューションはのみです（たとえば、カウンターを繰り返しインクリメントし、テープに沿って1ポジションずつシフトします）。一致する下限はありますか？O （n ログn ）O（nログ⁡n）O(n\log n) 私はいくつかの検索を試みましたが、「one head」や「input length」などのフレーズは非常に一般的であるため、この問題に関する既知の結果について文献を検索することは困難です。

13 turing-machines 

非公式には、一方向関数はPTIMEアルゴリズムに関して定義されています。これらは、多項式時間で計算できますが、平均ケースの多項式時間では可逆ではありません。このような関数の存在は、理論的なコンピューターサイエンスの重要な未解決の問題です。 私は、さまざまなリソースの境界に関して定義された一方向関数（暗号化アプリケーション用ではない）に興味があります。そのようなリソース境界は、LOGSPACEまたは境界非決定性である可能性があります。 LOGSPACEアルゴリズムに関して一方的である（自然な）問題の候補はありますか？非決定的な線形時間アルゴリズム（）に関して一方向である（自然な）問題の候補はありますか？NTIME（n）NTIME（n）\text{NTIME(n)} 上記のリソースの限界に関して、最悪の場合の可逆性の硬度には問題ありません。

13 cc.complexity-theory  one-way-function 

してみましょうブール関数であるn個のブール変数。ましょうG （X ）= T ε（F ）（xは）の期待値であるF （Y ）Yがから得られるX各確率と座標反転によってε / 2。fffnnng(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=T_\epsilon (f) (x)f(y)f(y)f(y)yyyxxxϵ/2ϵ/2\epsilon/2 を近似するのが計算上困難な場合に興味があります。私は"近似"の概念を固定してみましょう（他のものがあってもよい）：ブール関数Hは近似gであれば、H （xは）= 1ときG （X ）≥ 0.9とH （xは）= 0場合、G （Xは）≤を0.1ggghhhgggh(x)=1h(x)=1h(x)=1g(x)≥0.9g(x)≥0.9g(x)\ge 0.9h(x)=0h(x)=0h(x)=0 g(x)≤0.1g(x)≤0.1g(x)\le 0.1（正のレートエラー修正コードの存在に基づく）カウント引数は、そのような近似には指数サイズの回路が必要なブール関数があることを示しているようです。しかし、問題は、最初にがNPまたはその近傍にあるときに何が起こるかです。fff Q1：の例でありすべてようNP回路（またはP-空間）によって記載さhは NP困難である、またはいくつかのより弱い意味でハード。fffhhh それを参照するには、我々は大きさのクリーク持つのグラフの性質を検討することができます（私はそれについての有益な議論のためのヨハン・ハスタッドに感謝）必ずしも容易ではないかもしれませんnは1 / 4ランダムな入力のために、それが困難であると考えられます大きなクリークが存在するかどうかを検出しますが、これはノイズの多いグラフにlog nのサイズのクリークが予想以上にあることで現れます。この場合、任意のhは難しい可能性があります（ただし、証明できず、準多項式回路が伝えるほどひどく難しくありません）。hhhn1/4n1/4n^{1/4}hhh Q2：開始する複雑さが低い場合はどうなりますか。（A C 0、モノトーンT C 0、A C Cなど）fffAC0AC0AC^0TC0TC0TC^0ACCACCACC Q3：ブール関数のいくつかの基本的な例の状況はどうなっていますか。（質問は実数値関数にも拡張できます。） Q4：計算の均一（チューリングマシン）モデルについて、上記の質問を正式に求めることはできますか？ 更新：アンディの答えを見て（こんにちは、アンディ）最も興味深い質問は、さまざまな特定の機能の状況を理解することだと思います。 別の質問Q5 [モノトーン関数のQ1]を更新します（これもAndyの答えを考慮して）。が単調な場合はどうなりますか？NPの完全な質問を引き続き堅牢にエンコードできます>fff

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions 

リコールとる（CPS変換）変換通過継続AAAにβA ：= RRAβA：=RRA\beta A \mathrel{{:}{=}} R^{R^A}（固定され）、とによって定義 実際、単位を持つ継続モナドがあり定義され 及び乗算によって定義 F ：A → B β F ：β A → β B βRRRf：A → Bf：A→Bf : A \to Bβf：βA → βBβf：βA→βB\beta f : \beta A \to \beta BβfκR ：= κ （R ∘ F）。βfκr：=κ（r∘f）。\beta \, f \, \kappa \, r \mathrel{{:}{=}} \kappa (r \circ …

13 functional-programming  monad  continuations  cps-transforms 

合理的なエントリを持つ行列Aが与えられます。Aが対角化可能であることを確認する複雑さは何ですか？n × nn×nn\times nAAAAAA これはPで実行できると思いますが、参照はわかりません。しかし、より興味深い質問は、この問題を捕捉するためのより複雑なクラスはありますか？ どんなガイダンス/コメントも歓迎します！ありがとう。

13 cc.complexity-theory  linear-algebra  matrices 

多くの論理問題（たとえば、いくつかのモーダルロジックの充足可能性の問題）は決定できないことが知られています。アルゴリズムの理論、例えば組み合わせ最適化にも多くの決定できない問題があります。しかし、実際には、発見的アルゴリズムと近似アルゴリズムは実用的なアルゴリズムに適しています。 したがって、論理問題の近似アルゴリズムも同様に適切であると期待できます。しかし、私が見つけたこれらの線に沿った唯一の研究トレンドはmax-SAT問題であり、その開発は90年代に活発でした。 他のアクティブな研究動向、ワークショップ、キーワード、モーダルロジックの近似メソッドの使用と開発、ロジックプログラミングなどに関する参考資料はありますか？ 自動推論が将来のコンピューターサイエンスのアプリケーションで顕著になると予想される場合、ロジックの不確実性の制約を超えて、近似メソッドまたはヒューリスティックが自然な道をたどることができる必要があります。

13 lo.logic  approximation-algorithms  undecidability 

同じ初期状態および受け入れ状態を持つ有限オートマトンによって認識される言語のクラスについて何が知られていますか？これは通常の言語の適切なサブセットです（そのような言語にはすべて空の文字列が含まれているため）が、どの程度弱いのでしょうか？単純な代数的特徴付けはありますか？ 同じ初期状態と受け入れ状態のセットを持つ非決定的オートマトンによって認識される言語についても同じです。

13 fl.formal-languages  automata-theory  algebra  regular-language 

私は2つの有限語の正規言語間の「近さ」の概念を定義したいで（および/または無限の単語ΣのωΣ∗Σ∗\Sigma^*ΣωΣω\Sigma^\omega）。基本的な考え方は、2つの言語が多くの単語で異ならない場合、2つの言語を近くにすることです。また、何らかの方法で編集距離を使用することもできます。この問題に関する適切な参照が見つかりませんでした。 すべての距離公理が真である必要はないので、距離とは呼びません（ただし、距離公理が悪くないわけではありません）。 最初の試みは、ここで、L、N及びKNの制限であるLとKのΣN、およびΔは対称差です。d（L 、K）= lim supn → ∞| LnΔ Kn|| Ln∪ Kn|d（L、K）=リムサップn→∞|Ln△Kn||Ln∪Kn|d(L,K)= \limsup_{n\to\infty} \frac{|L_n\Delta K_n|}{|L_n\cup K_n|}LnLnL_nKnKnK_nLLLKKKΣnΣn\Sigma^n△△\Delta この「距離」は研究されていますか？主題に関する参照はありますか（距離関数の代替選択肢がある可能性があります）どんな助けやポインタも感謝します、ありがとう。

13 reference-request  fl.formal-languages  regular-language