（N）同じ初期/受け入れ状態のDFA

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同じ初期状態および受け入れ状態を持つ有限オートマトンによって認識される言語のクラスについて何が知られていますか？これは通常の言語の適切なサブセットです（そのような言語にはすべて空の文字列が含まれているため）が、どの程度弱いのでしょうか？単純な代数的特徴付けはありますか？

同じ初期状態と受け入れ状態のセットを持つ非決定的オートマトンによって認識される言語についても同じです。

— ノアム・ツァイルバーガー
ソース

13

あなたは、初期状態は、フォームの正規表現の言語にこのような構造の対応を持つユニークな受理状態、有限オートマトンでなければならないことを意味すると仮定すると、、いくつかの正規表現です。

r^{*}

$r^*$

r

$r$

— ハックベネット

ああ、もちろん。ありがとう！このコメントを回答として投稿する場合は、それを受け入れて質問を終了します。

— ノームツァイルバーガー

8

この問題は、本の決定性オートマトンおよび明確なオートマトンについて解決されます[1]

[1] J. Berstel、D。Perrin、C、Reutenauer、Codes and automata、Vol。Encyclopedia of Mathematics and its Applications、Cambridge University Press、2009年の129。

決定性オートマトンの場合、特性付けは命題3.2.5に記載されています。リコールsubmonoidというのある右の単一の場合は、すべてのため、暗示。 $M$ $A^*$ $u, v \in M$ $u, uv \in M$ $v \in M$

命題。してみましょう定期的サブセットである。次の条件は同等です。 $L$ $A^*$

は正しい単一のサブモノイドであり、 $L$

いくつかのプレフィックスコードに対して、 $L = P^*$ $P$

の最小オートマトンには、固有の最終状態、つまり初期状態があります。 $L$

初期状態を一意の最終状態として持つを認識する決定論的オートマトンが存在します。 $L$

明確なオートマトンの場合、特徴付けは定理4.2.2に従い、次のように記述できます。

命題。してみましょう定期的サブセットである。次の条件は同等です。 $L$ $A^*$

は無料のサブモノイドです。 $L$ $A^*$

いくつかのコード用の、 $L = C^*$ $C$

初期状態を一意の最終状態として持つを認識する明白なオートマトンが存在します。 $L$

最後に、非決定的オートマトンの特徴は、がサブモノイドであるということだけです。 $L$ $A^*$

— J.-E. ピン
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1

Eilenbergの通常の（彼の専門用語では合理的な）言語のユニタリプレフィックス単項分解を見る価値があるかもしれません。私は本のコピーを持っていませんが、Automata、Languages and Machines、Volume A（1974）の以前のセクションのどこかにあります。

— gdmclellan

1

@gdmclellanあなたは完全に正しいです。正確なリファレンスはChapです。IV、命題3.2。

— J.-E.

両方の命題で、

と

が規則的であることを追加できますか？すなわち、

規則的に選択できるプレフィックスコード

に対して

ですか？

P

$P$

C

$C$

L = P^{*}

$L = P^*$

P

$P$

P

$P$

— -StefanH

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初期状態が一意の受け入れ状態でもある有限オートマトンの形式はで、は何らかの正規表現です。ただし、J.-E。以下にピンを示しますが、逆は当てはまりませんという形式の言語は、固有の受け入れ状態を持つDFAによって受け入れられません。 $r^∗$ $r$ $r^*$

直感的に、状態のシーケンスの所与のようにのいずれかまたは基礎状態図を含むサイクル有していなければならない。後者の場合は、クリーネ星によって代数的に捕捉されます。 $q_0, \ldots, q_n$ $q_0 = q_n$ $n = 0$ $q_0$

— ハック・ベネット
ソース

2

初期状態も一意の受け入れ状態でもあるオートマトンによって受け入れられる言語は、

の形式です。ただし、この条件は、そのようなDFAで受け入れられる言語を特徴付けるものではありません。たとえば、言語

を受け入れるDFAには、少なくとも2つの最終状態があります。

r^{*}

$r^*$

(a, a b)^{*}

$(a, ab)^*$

— J.-E.

2

L

$L$

L

$L$

α^{*}

$\alpha^*$

α

$\alpha$

@ J.-E.Pin：はい、ありがとう、答えを更新しました。

— ハックベネット

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このファミリーの重要なサブクラスは、0可逆言語のサブクラスです。言語の最小DFAの反転も決定論的である場合、言語は0可逆です。反転操作は、初期状態と最終状態の交換、およびDFAのエッジ関係の反転として定義されます。これは、0リバーシブル言語には1つの受け入れ状態しか設定できないことを意味します。あなたの質問は、この状態を初期状態にするという制限を追加しています。0リバーシブル言語は、これらの言語の最小DFAで初期状態と最終状態が異なるため、制限では定義されていません。

リバーシブル言語のクラスは、非常に興味深い例です。なぜなら、それは、肯定的な例からのみ学ぶことができる無限に多くの文字列を持つ言語の最初のファミリーの1つだったからです。Angluinの論文は、代数的特徴付けも提供しています。

リバーシブル言語の推論、Dana Angluin、Journal of the ACM、1982

— ヴィジェイD
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1

セミフラワーオートマトンを参照してください。「セミフラワーオートマトン（SFA）は、すべてのサイクルが通過する固有の最終状態に等しい固有の初期状態を持つトリムオートマトンです。初期状態」。「円形半花オートマトンのホロノミー分解」-KVクリシュナ、Shubh Narayan Singhを参照してください。

— ヴィレッシュ
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